1、概率統計模型決策模型 決策是人們在生活和工作中普遍存在的一種活動，是為解決當前或未來可能發生的問題，選擇最佳方案的一種過程。比如，某人決定要到某地出差，而天氣預報可能有寒流，考慮出差是否要帶棉大衣，帶上棉大衣無寒流是個累贅，若不帶又可能遇上寒流而挨凍，到底帶不帶？這就要他作出決策;又如生產某種產品的工廠，若對此種產品的市場需求不是很了解，生產的數量太小，影響企業收入，生產的數量太大，又勢必造成產品積壓，影響資金周轉，給企業造成損失，到底生產多少為宜？這就需 要有關人員通過市場調查后作出決策。所以， 小到個人生活，大至企業經營以及國家的政 治經濟問題，都需要決策。 一、展銷會選址問題： 某公司為

2、擴大市場，要舉辦一個產品展銷 會，會址打算選擇甲、乙、丙三地，獲利 情況除了與會址有關外，還與天氣有關， 天氣分為晴、陰、多雨三種，據天氣預報， 估計三種天氣情況可能發生概率為0.2，0.5，0.3，其收益情況見表42，現要通過分析，確定會址，使收益最大。 在決策問題中，把面臨的幾種自然情況稱為自 然狀態或客觀條件，簡稱為狀態或條件，如N1，N2，N3，這些是不可控因素，把A1，A2，A3稱為行動方案或策略，這些是可控因素，至于選擇哪個方案由決策者決定。表42中右下方的數字4，6，1，5，4，1.5，6，2，1.2稱為益損值，根據這些數字的含義不同，有時也稱為效益值或風險值，由它們構成的矩陣

3、稱為決策的益損矩陣或風險矩陣，表42 中的P1，P2，P3是各狀態出現的概率。2 . 1265 . 145164M 一般地，如果決策問題的可控因素，即行動方案用Ai（i=1m）表示，狀態用Nj（j=1n）表示，在Nj狀態下 采用Ai行動方案的益損值用aij表示，Nj狀態下的概率用Pj（j=1n）表示，可得到決策矩陣（或稱益損矩陣） 的一般結構，如表43所 示。 二、風險決策問題當n1，且各種自然狀態出現的概率 可通過某種途徑獲得時的決策問題，就是風階決策問題。如例4.1就是風險決策問題，對于這類問題，我們介紹兩種決策準則和相應的解決方法。 1. 最大可能準則 由概率論知識，一個事件的概率就是該

4、事件在一次試驗中發生的可能性大小，概率越大，事件發生的可能性就越大?；谶@種思想，在風險決策中我們選擇一種發生概率最大的自然狀態來進行決策，而不顧及其他自然狀態的決策方法，這就是最大可 能準則。這個準則的實質是將風險型決策問 題轉化為確定型決策問題的一種決策方法。 ), 2 , 1(nipi若對例4.1按最大可能準則進行決策，則因為自然狀態 出現的概率 最大，因此就在這種自然狀態下進行決策，通過比較可知，采取 行動方案獲利最大。因此，采用 方案是最優決策。 應該指出，如果各自然狀態的概率較接近時，一般不使用這種決策準則。 2.期望值準則（決策樹法） 如果把每個行動方案看作隨機變量，在每個自然狀

5、態下的效益值看作隨機變量的取值，其概率為自然狀態出現的概率，則期望值準則就是將每個行動方案的數學期望計算出來，視其決策目標的情況選 擇最優行動方案。 2N50. 02p1A1A若對例4.1按期望值準則進行決策，則需要計算各行動方案的期望收益，事實上顯然， 最大，所以采取行動方案 最佳，即選擇甲地舉辦展銷會效益最大。 值得提出的是，為了形象直觀地反映決策問題未來發展的可能性和可能結果所作的預測而采用的決策樹法就是按期望值準則進行決策的一種方案。以例4.1來說明其決策步驟。56. 23 . 02 . 15 . 022 . 06)(45. 33 . 05 . 15 . 042 . 05)(1 . 4

6、3 . 015 . 062 . 04)(321AEAEAE1AE1A例4.1的決策樹如圖41所示，其中： 表示決策點，從它引出的分枝叫方案分 枝，其數目就是方案數 表示機會節點，從它引出的分支叫概率分 支，每條概率分支代表一種自然狀態，并標 有相應狀態發生的概率。 稱為末稍節點，右邊數字表示各方案在不同 自然狀態下的益損值。 計算各機會節的期望值，并將結果標在節點止方，再比較各機會節點上標值的大小，進行決策，在淘汰方案分枝上標“”號，余下方案即為最優方案，最優方案的期望值標在決策點的上方。本例上方標4.1為最大，因此選定方案 ，其收益數值的期望4.1。 4.1 丙 地 多 雨 P（ N3） =

7、0.1 +1.2 陰 P（ N2） =0.5 +2 晴 P（ N1） =0.2 +6 多 雨 P（ N3） =0.1 +1.5 陰 P（ N2） =0.5 +4 晴 P（ N1） =0.2 +5 多 雨 P（ N3） =0.1 +1 陰 P（ N2） =0.5 +6 晴 P（ N1） =0.2 +4 乙 地 甲 地 3.45 2.56 4.1 決策 A1 aA 111111aa A A 1 A2 aA 111111aa A A 1 A3 aA 111111aa A A 1 投資決策 問題的提出投資決策問題：為了生產某種產品，設計了兩個基建方案，一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資300萬元，小

8、廠需要投資160萬元，兩者的使用期都是10年。估計在此期間，產品銷路好的可能性是0.7，銷路差的可能性是0.3，若銷路好，建大廠每年收益100萬元，建小廠每年收益40萬元；若銷路差，建大廠每年損失20萬元，建小廠每年收益10萬元（詳見表31），試問應建大廠還是建小廠？進一步的，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據市場預測，前三年銷路好的概率為0.7，而如果前 三年的銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9， 如果前三年的銷路差，則后七年的銷路肯定差， 在這種情況下，建大廠和建小廠哪個方案好？ 自然狀態益損值 概率方案 銷路好 0.7 銷路差 0.3建大廠 100 -20建小廠 40 10 圖41

9、 決策樹注意：決策問題的目標如果是效益（如利潤、投資、回報等）應取期望值的最大值，如果決策目標是費用的支出或損失，則應取期望值的最小值。（2）多級決策問題下面以投資決策問題為例，說明決策方法。（a）畫決策樹（圖42） （b）計算各點的益損期望值：點2：0.7100+0.3(-20)10(年)-300（大廠投資）=340萬元點3：0.740+0.31010(年)-160（小廠投資）=150萬元由此可見，建大廠的方案是合理的。 現在考慮一種情況：假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期 考慮。根據市場預測，前三年銷路好的概率為 0.7，而如果前三年銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年銷

10、路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠那個方案好？（a）畫出決策樹如下（圖43）圖43 決策樹 （b）計算各點的益損期望值點4：0.9100+0.1(20)7(年)=616萬元點5：1.0(20)7(年)= 140萬元點2：0.71003(年)+0.7616+0.3(20)3(年)+0.3(140) 300(大廠投資)=281.2點6：0.940+0.1107(年)=259點7：1.0107(年)=70點3：0.7403(年)+0.7259+0.3103(年)+0.370160(小廠投資)=135.3通過比較，建大廠仍然是合理方案。上例只包括一個決策點，稱為單級決策問題。在有

11、此實際問題中將包括兩個或兩個以上的決策點，稱為多級決策問題，可利用同樣的思路進行決策。 例4.2 某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在30天內按期完成工程，但據天氣預報，15天后肯定變壞，有40%的可能出現陰雨天氣，但這不會影響工程進度;有50%的可能遇到小風暴而使工期推遲15天;另有10%的可能遇到大風暴而使工期推遲20天。對于以上可能出現的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內完成，實施 此方案需增加額外支付18 000元。（2）先維持原定的施工進度，等到15天后根據 實際出現的天氣狀況再作對策： a）若遇陰雨天，則維持正常進度，不必支付額外 費用。 b）若遇小

12、風暴，則有下述兩個供選方案：一是抽空（風暴過后）施工，支付工程延期損失費20 000元，二是采用應急措施，實施此措施可能有三種結果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費和應急費用24 000元; 的可能減少誤工期2天，支付延期損失費和應急費用18 000元;有20%的可能減少 誤工期3天支付延期損失費和應急費用 12 000元。3）若遇大風暴，則仍然有兩個方案可供選擇： 一是抽空進行施工，支付工程的延期損失費 50 000元;二是采取應急措施，實施此措施可能 有三種結果：有70%的可能減少誤工期 2天，支付 延期損失費及應急費用54 000元;有20%可能減小 誤工期3天，支付延期損失

13、費及應急費用46 000元;有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費及應急費用38 000元。 試進行決策，選擇最佳行動方案。 解 （1）據題意畫出決策樹，如圖44。（2）計算第一級機會點E,F的損失費用期望值 將19 800和50 800標在相應的機會點上，然后在第一級決策點C,D外分別進行方案比較：首先考察C點，其應急措施支付額外費用的期望值較少，故它為最佳方案，同時劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標明最佳方案期望損失費用19 800元;再考慮D外的情況，應急措施比抽空施工支付的額外費用的期望值少，故劃去應急措施分標，在D上方標上 50 000元。 50800380001 . 046

14、0002 . 0540007 . 0)(19800120002 . 0180003 . 0240005 . 0)(FEEE（3）計算第二級機會點B的損失費用期望值 將其標在B的上方，在第二級決策點A處進行比較，發現正常進度方案為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將14 900標在A點上方。 因此，合理的決策應是開始以正常施工進度進行施工，15天后再根據具體情況作進一步決策，若出現陰雨天，則維持正常 速度;若出現小風暴可采用應急措施;若出現大風暴，則進行抽空施工. 0198005 . 004 . 0)(BE 三、不確定型決策 當風險決策問題的自然狀態發生的概率既不知

15、道、也無法預先估計或利用歷史資料得到時的決策問題就稱為不確定型決策問題。仍用 ，表示決策問題中的自然狀態，表示行動方案， 表示在自然狀態 下采取第 種行動方的益損值。若 為效益值時取正值;若 為損失值時取負值。下面介紹幾不確定型 的決策則。 1. 樂觀準則 樂觀準則的思想就是對客觀情況總是持樂觀態度，事事都合人意，即選最大效益的最大值 所對應的行動方案作為決策。 12,nN NNmAAA,21ijajNiijaijaijjiaxmaxma2. 悲觀準則 悲觀準則的思想就是對客觀情況總是持悲觀態度，萬事都不會如意，即總是把事情的結果估計的很不利，因此就在最壞的情況下找一個較好的行動方案。也就是在

16、每個狀態下的最小效益值中選最大值 所對應的行動方案作為決策。 3. 等可能準則 等可能準則的思想就是既然不能斷定哪種 自然狀態出的可能性的大小，就認為各自然狀 態出現的可能性相同，即 。然后按 風險決策的方法進行決策。njnNpj, 2 , 1,1)()min(maxijjia例4.3 某廠有一種新產品，其推銷策略有 三種可供選擇，但各方案所需資金、時間都不同，加上市場情況的差別，因而獲利和虧損情況不同，而市場情況有三種： 需求量大， 需求量一般， 需求量低。市場情況的概率并不知道，其效益值見表43。 （1）用樂觀法進行決策。 （2）用悲觀法進行決策。 （3）用等可能法進行決策。 123,S

17、SS1N2N3N 表4-3 市場情況銷售策略 S1 S2 S3 N1 N2 N3 50 10 -5 30 25 0 10 10 10解 （1）因為每個行動方案在各種狀態下的最大效益值為所以最大效益的最大值為其最大值50對應的行動方案為 ，因此用樂觀法的決策結果是執行策略 。 （2）因為每個行動方案在各種狀態下的最小值為1010,10,10max300 ,25,30max505,10,50max321jjjjjjaxmaaxmaaxma5010,30,50maxijjjaxmaxmi1S1S1010,10,10min00 ,25,30min55,10,50min321jjjjjjanmianmi

18、anmi所以，最小效益值的最大值為其最大值10對應的行動方案為 。因此用悲觀法決策的結果是應執行策略 。（3）取 計算出各行動方案的期望值為 1010, 0 , 5maxijjianmixma3S3S; 3 , 2 , 1,31)(jNpi10103110311031)(35503125313031)(355)5(3110315031)(321SESESE顯然 都達到最大值，這時究竟選那一個策略可由決策者的偏好決定，若是樂觀型的，可選 ，否則選 。 從本例可以看出，對不確定型的決策問題，采用不同的決策準則所得到的結果并非無全一致。但難說哪個準則好，哪個準則不好。究竟在實際問題中采用哪個準則，依

19、決策者對各種自然狀態的看法而定。因此，為了改進不確定型決策，人們總是設法得到各自然狀態發生的概率，然后進行決策。12()()E SE S1S2S 討論題：抗災決策 根據水情資料，某地汛期出現水平水情的概率為 0.7，出現高水水情的概率為0.2，出現洪水水情的 概率為0.1。位于江邊的某工地對其大型施工設備擬 定三個處置方案： （1）運走需支付運費18萬元； （2）修堤壩保護，須支付修壩費5萬元； （3）不作任何防范，不需任何支出； 若采用方案（1），那么無論出現任何水情都不會遭受損失；若采用方案（2），則緊當發生洪水時，因堤壩沖垮而損失600萬元的設備；若采用方（3），那么當出現平水水位時不遭

20、受損失，發生高水位時損 失部分設備100萬元，發生洪水時損失設備 600萬元。根據上述條件，選擇最佳方案。 決策樹 由此看來，運走是最佳方案ABC運走修壩不發生洪水 0.9發生洪水 0.1不 防平水位 0.7高水位 0.2發生洪水 0.1-18萬元-5萬元-605萬元0-100萬元-600萬元-65-80-18 4.3 最佳預訂票策略最佳預訂票策略 問題的提出在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個優質服務項目是預訂票業務。公司承諾，預先訂購機票的乘客如果未能按時前來登機，可以乘坐下一班機或退票，無需附加任何費用。當然也可以訂票時只訂座，登機時才付款，這兩種辦法對于下面的討論是

21、等價的。設某種型號的飛機容量為n，若公司限制預定n張機票，那么由于總會有一些訂了機票的乘客不按時來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本，如果不限制訂票數量呢，那么當持票按時前來登機的乘客超過飛機容量時，必然會引起那些不能登機飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨， 公司不管以什么方式予以補救，也會導致受損和一定的經濟損失，如客員減少，擠掉以后班機乘客，公司無償供應食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經濟利益，必然存在一個恰當訂票數量和限額。 假設飛機容量為300，乘客準時到達機場而未乘上飛機賠償費是機票價格的10%，飛行費用與飛機容量、機票價格成正比（由統計資料知，比例系數為0.

22、6，乘客不按時前來登機的概率為0.03），請你: 1）建立一個數學模型，給出衡量公司經濟利益和社會聲譽的指標，對上述預定票業務確定最佳的預定票數量。 2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜 歡上述這種無約束的預定票業務，他們寧 愿接受較高的票價，而按時上下班的雇員或游客，會愿意以若不能按時前來登機則機票失效為代價，換取較低額的票價。公司為降低風險，可以把后者作為基本客源。根據這種實際情況，制定更好的預訂票策略。 4.4.2 模型的假設及符號說明（1）模型的假設假設預訂票的乘客是否按時前來登機是隨機的。假設已預訂票的乘客不能前來登機的乘客數是一個隨機變量。假設飛機的飛行費用與乘客的多少無關。（2）

23、符號說明n：飛機的座位數，即飛機的容量；g：機票的價格；f：飛行的費用；b：乘客準時到達機場而未乘上飛機的賠償費； m：售出的機票數；k：已預訂票的乘客不能前來登機的乘客數，即遲到的乘客數，它是一個隨機變量；pk：已預訂票的m個乘客中有k個乘客不能按時前來登機的概率；p：每位乘客遲到的概率；Pj（m）：已預訂票前來登機的乘客中至少擠掉j人的概率，即社會聲譽指標；S：公司的利潤；ES：公司的平均利潤。 問題的分析及數學模型（1）問題的分析通過上面引進的符號易知，賠償費b=0.1g，飛行費用f=0.6ng，每位乘客遲到的概率p=0.03，已預訂票的m個乘客中，恰有k個乘客不能按時前來登機，即遲到的

24、乘客數k服從二項分布B（m，p），此時，當m-kn時，說明m-k個乘客全部登機，此時利潤S =（m - k）g - f當m-kn時，說明有n個乘客登機，有m-k-n個乘客沒有登上飛機，即被擠掉了，此時利潤S = ng f - (m k - n) b 根據以上的分析，利潤S可表示為： 遲到的乘客數k=0,1,2,m-n-1時，說明有m-k-n個乘客被擠掉；遲到的乘客數k=m-n，m-n+1，m時，說明已來的m-k個乘客全部登機了。)()()()(nmknkmbnkmfngnmknkmfgkmS 于是平均利潤 因為kmnmknmkkpfgkmpbnkmfngES)()(10101010010)()

25、()()()1)()()(nmkknmkknmkkmkknmkkmnmkkmnmkkkmnmkkpgkgEpfmgfmgkpkpgpfmgkpgpfmgpfgkmv所以v由于kB（n，p）， ，可知，隨機變量k的數學期望E（k）=mp，此時，1010101010)()()()()()()()()()(nmkknmkknmkknmkknmkkpnkmgbfgkEmpgkfmgbnkmfngfgkEmkpgkgEpfmgfmgpbnkmfngESkmkkmnmkppCnkmgbfmgpES)1 ()()()1 (10kmkkmkppCp)1 (kmkkmkppCp)1 ( （2）數學模型通過以上對

26、問題的分析，可以在一定的社會聲譽 指標Pj（m）范圍內，尋求合適的m，根據f=0.6Ng的關系，使得目標函數ES/f達到最大，即 1)1 ()()1 ()1(6 . 01max10kmkkmnmkppCnkmgbmpNfES1)1 ()300(1 . 197. 0180110kmkkmnmkppCkmm 下面考慮社會聲譽指標。由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即當被擠掉的乘 客數為j時，等價的說法是恰有m-n-j個遲到的乘客。 公司希望被擠掉的乘客人數不要太多，被擠掉的概率不要太大，可用至少擠掉j人的概率作為聲譽指標，相應地k的取值范圍為k=0,1,2,m-n-j，社會聲譽指標 （2）k

27、mkkmjnmkjppCmP)1 ()(0 模型求解 為了對模型（1）進行求解，可以分別 給定m，比如m=305,306,350，計算ES/f，同時，給定j，比如取j=5，計算社會聲譽指標Pj（m），從中選取使ES/f最大，且社會聲譽指標Pj（m）小于等于某個（比如取=0.05）的最佳訂票數m。 下面給出MATLAB計算程序。% 飛機最佳訂票策略ch34% 文件名：ch34.m% m 表示售出的票數；Es 表示平均利潤；p表示聲譽指標； for m=305:325 sm=0; p=0; for k=0:m-305 pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k)*0.03k*0.97(m-k); p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*0.97*m-1.1*sm-1; m Es p end m ES p 305 0.6436 9.2338e-005 306 0.6490 9.3723e-004 307 0.6543 0.0048 308 309 310 311 312 313 314 315 0.6596 0.6649 0.670