1、專題16 等腰三角形的性質閱讀與思考等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質，這些性質為角度的計算、線段相等、直線位置關系的證明等問題提供了新的理論依據因此，在解與等腰三角形相關的問題時，除了要運用全等三角形知識方法外，又不能囿于全等三角形，應善于利用等腰三角形的性質探求新的解題途徑，應熟悉以下基本圖形、基本結論 圖1中， 圖2中，只要下述四個條件：；中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成立 B C A D 圖1 A D B C 1 2 圖2 例題與求解【例1】如圖，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，則A=_ （五城市聯賽試題）解題思路：圖中有很多

2、相關的角，用A的代數式表示這些角，建立關于A的等式 A B C D E 【例2】如圖，在ABC中，已知BAC=900，AB=AC，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，求證：ADB=CDF（安徽省競賽試題）解題思路：ADB與CDF對應的三角形不全等，因此，需構造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線A B C D E F 【例3】如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=900，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，又AE=BD，求證：BD是ABC的角平分線（北京市競賽試題）解題思路：ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應作輔助線補全圖

3、形，構造全等三角形、等腰三角形A E B C D 【例4】如圖，在ABC中，BAC=BCA=440，M為ABC內一點，使MCA=300，MAC=160，求BMC度數 （北京市競賽試題） B C M A B C M A 圖3 N 解題思路：作等腰ABC的對稱軸(如圖1)，通過計算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點C所在的一側作等邊ABN，連結CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點B所在的一側作等邊ACN，連結BN(如圖3) B C M A 圖1 D O B C M A 圖2 N 【例5】如圖，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角BDC=1200的等腰三角形

4、，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結MN，形成一個三角形求證：AMN的周長等于2（天津市競賽試題） 解題思路：欲證AMN的周長等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補短法證明 B A C D N M 【例6】如圖，ABC中，ABC=460，D是BC邊上一點，DC=AB，DAB=210，試確定CAD的度數（北京市競賽試題） 解題思路：解本題的關鍵是利用DC=AB這一條件B D C A 能力訓練A級1如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個等腰三角形的底角為_2如圖，已知A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則FEM=_3如圖，在等邊ABC的AC

5、，BC邊上各取一點P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，則 BOQ=_.4如圖，在ABC中，BCA=900，BAC=600，BC=4，在CA的延長線取點D，使AD=AB，則D，B兩點之間的距離是_(第2題) B A C D E F M N A B C Q P O (第3題) A B C D (第4題) 5如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么EDF等于（ ） A900-AB900-A C1800-A D450-A6如圖，在ABC中，ACB=900，AC=AE，BC=BF，則ECF=（ ） A600B450 C300D不確定（安徽省競賽試題） A C B

6、 E F 第5題圖 第6題圖7ABC的一個內角的大小是400，且A=B，那么C的外角的大小是（ ）A1400B800或1000C1000或1400D800或1400(“希望杯”邀請賽試題)8三角形三邊長，滿足，則三角形一定是（ ）A等邊三角形B以為底邊的等腰三角形C以為底邊的等腰三角形D等腰三角形 （北京市競賽試題）9如圖，在ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長線上的點，且BD=CE，連結DE交BC于G，求證：DG=EG （湖北省競賽試題）A B C D G E 10如圖，在ABC中，BAC=900，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，求證：CE=BD（江蘇省競賽試題）A B

7、C D E 11已知RtABC中，AC=BC，C=900，D為AB邊中點，EDF=900，將EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長線)于E、F，當EDF繞D點旋轉到DEAC于E時(如圖1)，易證：SDEF+SCEF=SABC，當EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明 （牡丹江市中考試題）A B C A B C A B C E D F E D F D F 圖1 圖2 圖3 12如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=800，O為ABC內

8、一點，且OBC=100，OCA=200，求BAO的度數（天津市競賽試題） B級1如圖，在ABC中，ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則MNP=_ A B C N M P (第1題) A B C P E F (第2題) A B C N M (第3題) 2如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=900，直角EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下4個結論：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S四邊形AEPF=SABC；EF=AP當EPF在ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)上述結論正確的是_ （蘇州市中考試題）3如圖，在ABC中，AB=BC，M，

9、N為BC邊上兩點，并且BAM=CAN，MN=AN，則MAC的度數是_4如圖，在ABC中，AB=AC，BAC與ACB的平分線相交于D，ADC=1300，那么CAB的大小是（ ）A800 B500 C400 D200 A (第4題) B C D (第5題) A B C D A B D E C M (第6題) 5如圖，在ABC中，BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，則C的大小是（ ） A200 B250 C300 D4506如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=900，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延長線于M，連CD，下列四個結論：ADC=450；BD=AE

10、；AC+CE=AB；AB-BC=2MC其中正確結論的個數為（ ） A1個 B2個 C3個 D4個7如圖，已知ABC為等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，并且使AE=BD，連結CE、DE，求證：CE=DEA B C D E 8如圖，ABC中，已知C=600，ACBC，又ABC、ABC、ABC都是ABC外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC=DC 證明：CBDBDC； 證明：ACDDBA； 對ABC、ABC、ABC、ABC，從面積大小關系上，你能得出什么結論？（江蘇省競賽試題）A B C D A B C 9在ABC中，已知AB=AC，且過ABC某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC各內角的度數 （江蘇省揚州中學測