1、數學教學的基本策略涂榮豹(發表于在南京師大附中聽講座2007.9. 江蘇教育出版社)我今天報告的題目是“數學教學的基本策略”。關于教學的基本策略，我還沒有很深入成熟的思考。講到教學策略，究竟有哪些教學策略，或者說教學的策略究竟是什么，我在概念上還不是很清楚。但是，我想有關教學的一些基本的東西，總是可以作為基本策略的。在我頭腦的概念里，策略應該比原理要具體，原理的理論性應該更強一些，策略應該介于操作和原理之間。策略可以指導操作，但是它又沒有固定的程式或具體步驟可循，所以策略比操作要抽象一些，但是比原理具體一些，或者說是原理的具體化。關于教學策略這個問題，我想談三個方面的策略。第一是教什么的策略，

2、第二是怎么教的策略，第三個是解題教學的策略。這些都是中學教學重要的基本問題。關于教什么的問題，記得去年11月初，附中搞了一次高一新課程公開課活動，當時我對公開課作了一個點評，我在點評記錄稿基礎上形成了一篇文章，發表在中學數學教學參考今年第一、二期合刊上，反響比較好。我對教學的認識與對教學一般的認識不太相同。一般認為教學就是 “教師教”，“學生學”；我認為教學是“教師教學生學”，更強調教師“教學生學什么”。我提出這樣的想法，與這幾年深入中學數學課堂進行了實踐研究有關系。把“教學”理解成教師“教”，學生“學”，很容易形成“教師教什么，學生就學什么”的一種局面，學生往往就處在被動學習的地位。如果把“

3、教學生學什么”換在“教什么”的位置上，那么就不是具體的“教他什么”，而是教他“你學什么”。他很可能不知道學什么，但是通過你的引導，讓他發現要學什么。這就是教“學什么”。“教學生學什么”呢？第一是教學生“學習建構新概念、新方法”。不是我把概念、方法拿出來你來學，而是教你“建構新概念、新方法”。這時可能新概念或者新方法還沒有呢，而是通過我的教學，你來建構這個“新概念、新方法”。第二是教學生“學習科學研究一般方法”。數學是一門科學，它的研究方法與其它科學的研究方法應該是相通的，盡管它的對象是抽象的形式化的思想材料，我們仍然可以借鑒實驗科學的研究方法，只不過數學主要是進行頭腦里的思想實驗。我們的教學除

4、了要求學生掌握知識以外，可能真正要學生掌握的就是這種“科學研究的一般方法”了 。因為掌握了一般方法就可以利用一般方法去學習任何東西。這是“教”的一個內容。“教”的另一個內容是，“教學生怎么學”。“教學生怎么學”就是教學生“用科學研究的一般方法去學”。現在你要學生學習構建新概念和新方法，那怎么建構呢？就要用一般的科學研究的方法來建構，這當然就要教學生學習一般科學研究方法。教他學習一般科學研究的方法，并不是一般意義上的“教”，而是引導他在用的過程中學，也就是在用科學研究的一般方法建構新概念、新方法的過程中，學習一般科學研究的方法。這同“在游泳中學游泳”，“在做數學中學數學”是一個道理。這個過程同時

5、就在教他怎么學了。那么，什么是科學研究的一般方法？數學研究一般可以概括為四個組成部分，或者是四個研究階段。第一個階段就是提出問題，這個是毫無疑問的。在數學課里如何提出問題，總體有兩種。一種是教師提出問題，另一種是學生提出問題，最好是學生提出問題。但是進入高中階段以后的數學，它的問題往往不是學生能夠直接提出來的，即使是初中階段，依賴學生有限的生活經驗要提出數學問題，還是有困難，所以主要是教師提出問題。當然，教師提出問題的方式是多種多樣，一種是構建一個數學問題的情境，就是問題；另一種是設計一些實際情境，比如說生活的一些畫面情景，來提出問題。提出問題，這個是最重要，因為問題是數學的心臟，繼而發生的一

6、切數學活動都是圍繞問題來展開的。提出問題，其目的是為了要解決問題，但并不是一步就能解決。因此在提出問題以后，接著要提出解決問題的假設和思想。怎么樣才是解決問題，或者說問題解決以后它是一個什么狀況呢？要假設，要猜想。這個問題被解決以后應該是什么樣子，要假設。這樣你就有了一個目標，就要設法實現這個假設，或者去驗證這個假設，或者是修正這個假設，當然也可能否定這個假設。這樣一來，數學研究的活動就開始了，先提出問題，再提出解決問題的假設和猜想。提出假設以后，就要建立這個研究對象的數學模型。要實現這個假設的話，我可能現有的知識和方法不夠用了，那就要在中間不夠的地方增加一些東西。這個增加的東西往往是概念。概

7、念是怎么提出來的呢，有一個宗旨，不是為概念而概念，是為了解決問題而提出必要的概念。在解決這個問題的過程中，很可能現有的概念不夠用，因為現有的概念不夠用，所以我就來提出新概念，因而就來引導學生去建立新概念。這樣一來，就是引導學生學什么了，學什么學習建立新概念。所謂建立新概念也好，新方法也好，新的公式也好，在數學里都是建立一種模型。于是你就提出所研究對象的一個模型了。對于這個模型或者是概念，或者是關系，或者是一些定理和公式，從數學上來講，還要盡可能用數學語言來描述它們，就是用數學語言來描述這個概念，或者說用數學符號建立這個數學模型，給出一個數學符號的表達式。這個過程，是一個建構的過程，是學生經歷了

8、若干具體的對象，然后抽取它的本質特征而形成的。 有了新概念以后，在這個概念的基礎上，要想解決問題，還要研究解決問題的工具，就是設計工具，或者改造已有的工具，或者是創造一個工具。在高中數學里，創造的部分還是比較多的，后面我會用一些例子來說明。創造一個工具，然后用這個工具來解決問題，用這個工具來解決問題的過程中，將形成說明這個對象及其活動變化規律的一整套理論，那就是知識。最后再利用知識去解決具體的問題，形成解決問題的方法，因為解決問題的過程中，還需要一套方法。我舉一個計數原理的課例。我研究課例的方式，是攝像以后把全部學生、老師的對話全部記錄下來，其中個別的有點不一樣。然后把記錄稿分為兩欄，左邊是上

9、課老師的教學文字記錄，右邊是研究的評注，就是對整個的教學過程做一些研究性的說明。我著重于研究的，并不是評價這個課上的怎么樣，我覺得應該從研究的角度，這節課應該怎么上，這節課得到了什么，或者還有可以再提高的地方。這節課一開始，教師就給出一個問題情境：一個學生考上了北京大學，要從南京去北京上學，去的過程就有交通工具和路線的選擇，這樣就把兩種計數原理的模型具體化，用現實生活的實例作為數學模型一個具體模型，“模型”一般指理論上的抽象模型，抽象模型的實際原形常常也叫做“模型”，例如生活原形。這節課所創設的情境是以實際生活為背景提出的數學問題，是這節課要解決的數學模型的生活原形。 這兩個數學問題情境，暗示

10、了兩種數學模型。一個是分類計數的模型，一個是分步計數的模型，就是這兩個數學模型。我們常講“數學是模型科學”，怎么來理解？實際上每天我們都在接觸模型，大大小小，有的直接，有的間接，但是我們在中學階段大多是直接接觸。通過這兩個問題，學生對這兩個模型有了初步的感知體悟，但是，這個模型的數學本質究竟是什么？這個問題核心的思想是什么？還需要深入思考和探究，于是在提出兩個模型以后，要學生思考兩個小問題：第一個情境中這兩個問題有什么異同；第二個你能不能夠把這個問題解決，能不能把解決方法一般化。 這個時候，學生就要帶著這兩個問題來回顧兩個模型，就會針對教師提出的思考題，對應情境中間的兩個問題提出一些質疑和思考

11、。實際是讓學生進入孔夫子講的“憤”“悱”狀態，讓他自己質疑，釋疑。他產生疑惑了以后，你教師不直接去告訴他是什么，而是要他去尋找一般的規律。這已經是一種啟發，表面上沒有結論，實際上在暗示，暗示你要去尋找規律。要尋找這個規律，你就要把本質的東西異同提煉出來，同在什么地方，不同在什么地方。為了讓學生理解和提煉模型的本質，更合適的是向學生提出這樣的要求：“我提出了兩個問題情境，代表了兩種模型，你能不能舉出類似的問題。”這個要求的用意是，學生如果能舉出類似問題，那就表明他對這個問題的本質有所感悟。他如果不能，就說明他對這個問題的本質理解還有欠缺，還沒有抓到本質。這時候正好，不同的舉例就把學生在對本質理解

12、方面存在的問題反饋給你。等到學生都提出各式各樣問題以后，拿出來一比較，一分析，哦，這個舉例大家公認，反映出來的與模型中問題的本質是一致的；那個舉例呢，有所不同，與模型中的問題有差異，實際是對模型中問題的本質沒有把握住。這時候大家來一起分析，一起修正，這樣學生就會經歷既尋找共同屬性，又尋找不同屬性的這樣一種過程，從而把共同的本質屬性提取出來。學生獨立編制反映模型的不同問題的好處，就是能夠進行情境遷移。剛才你提的兩個問題是這個學生到北京上學，是交通工具和路線的問題。學生想到的可能就不是交通工具的問題。課堂上實際舉例時，有學生舉的例子是中午到食堂買飯配餐，是買飯，還是面條；然后買什么菜；再買什么湯。

13、這樣就形成了一個類似的問題。這時，他涉及的情境就和交通工具完全不是一個事件，但是他能夠把模型的本質遷移到這個事件上來構造問題，表明他對這個模型本質的認識已經很好。所以我主張，要讓學生在情境上進行大范圍遷移。 今天我上午也聽了一節課，有個學生利用的生活經歷就是吃麥當勞，買什么套餐，有哪幾種套餐，套餐里面配什么主食，配什么飲料，配什么點心。更有學生提出CBA籃球聯賽場次的問題，更復雜一些。學生們一聽這些非常熟悉的東西，討論積極，氣氛活躍。這樣學生就把模型問題的本質遷移到其他的一個個情境中了。通過不同情境的遷移來編制問題，從而抽取問題的本質，用這種方式所把握的本質的遷移性就高，遷移的價值就大。學生越

14、是在不同情境下認識問題的本質，就越能促進他對問題本質的把握。從教育心理學理論可以知道，遷移的能力越強，解決問題的能力就越強。因為解決問題，都是在新的一種情境下來解決的。 第二個你在讓學生編題的過程當中，先要讓學生自己編，然后交流，四人小組一交流就是四個問題，至少不會與你的問題相同。但這個前提是先獨立思考，獨立編題，然后再交流。這也就是現在獨立思考與合作交流的一種關系。數學學習第一是獨立思考，而且從培養和教育人的角度，首先是培養獨立思考的能力。如果一個人經過教育的培養以后，不能獨立思考，什么事情都要依賴別人，沒有別人在旁邊幫助他就做不了決定，那肯定不是我們教育所希望的人。所以獨立思考，獨立探究，

15、非常重要，通過這樣一個獨立思考，自己提出各種各樣類型的問題，就是在建構這個問題的本質性東西。獨立思考以后，把自己的意見拿出來與大家交流，交流的過程當中再進行交鋒，“你同意不同意”，“你有什么新的補充”，“你能不能說得更準確一點”。這些語言都是一種帶有鼓勵激勵的作用，暗示或者是提示。暗示和提示其實差不多，我教師始終沒有告訴你這是什么，只是要你能不能改善一下，能不能說得更好一點，什么是改善，什么是好，你自己判斷。說的過程中，你說他說，最后達成共識某一種說法最好。這樣人人都參與了，大家都提高了。這樣一來就把他們的意圖概括提煉出來，這當中有本質的屬性也有非本質的屬性，在概括的過程當中非本質的屬性舍去，

16、留下來就是本質屬性。這個過程就是用啟發或者暗示來幫助學生。到底模型中問題的本質屬性是什么呢？他想要表達清楚，而表達的過程中總是表達不清楚，這時老師給他一點暗示或者提示。這就是“不悱不發”，他有所“悱”了，你老師點撥他一下，然后他“發”。在這個過程中舍棄了非本質屬性，提取了本質屬性。這是典型的數學活動過程，數學活動過程就是要把對象共同的屬性概括出來，把非本質屬性舍棄。同時，在這個過程中也學習了科學研究的一般方法。一般科學方法是先提出問題，然后提出問題的假設。提出問題的假設，就是提出問題本質屬性的假設。實際上學生在構造自己的實例的時候，就在提出假設了，提出猜想了，然后通過討論驗證假設，通過對編制的

17、眾多問題的概括提煉，把這個概念建立起來。建立了什么概念？分類的概念和分步的概念。這是新概念。這個新概念就是，從計數的角度有兩個模型，分類計數模型和分步計數模型。這兩個模型的本質是一個是分類，一個是分步。學生把它們的本質概括出來，新的概念就建立了。不僅建立新概念，還要求學生考慮能不能把剛才解決問題的具體方法一般化。前面學生編制的例子很多，每個例子都有一個解決方法，現在要求他把體現在各個例子中的方法的一般化。因為經歷的例子很多，學生把方法一般化是可能的，只不過是語言的準確性、簡練性可能一時難以達到完美。我們對語言的要求不必太高，只要感覺到他的意思對了就行，每個學生能夠用自己的語言把數學的對象描述出

18、來，就行了。不是要他與書本上數學的定義一字不差，他用自己的語言描述出來就行，然后教師幫助他把語言精練一下。這樣新的概念建立了，新的模型產生了，最后又創建了新的方法。 經歷了這個過程以后，到這個時候，教師就教學生學到了分類和分步的計數兩個數學原理。怎么學會的呢，是在一個過程經歷中學會的。什么過程經歷啊？這個過程經歷，不是告訴他程序，第一步是提出問題，第二步是建立模型，第三步提出猜想。這些程序是老師需要清楚知道的，學生只要經歷按程序進展的過程。如果學生在多年的學習中，經常經歷這樣的過程，通過長期這樣的熏陶，就會自然而然地逐步的把這種研究問題的方法的銘刻在心，這比記住方法的程序步驟更重要。教師因為要

19、教，所以要搞清楚方法的這些程序步驟，但是對學生來講是通過方法的運用，把方法變成他自己的東西。一旦遇到問題就隨時拿出來，下意識地去運用這種方法。所以不是記住程序步驟，而是讓他反反復復地經歷、體驗，到那個時候用這個方法，就是在無意識的按這個方法去解決了。 我想，這就是在教學生學什么。其實我們很多課里面都有學什么的問題和怎么學的問題，記得曾經有節課討論過一個問題，03年兩個新西蘭的數學教育專家到南師大附中來參觀聽課，內容是“到角”公式的建立，就是“一條直線到另一條直線的所成的角”的公式。這個“到角”是俗稱，并非科學名詞。上課伊始，教師從已學習了直線平行和垂直位置關系的刻畫，引導學生發現和提出課題任意

20、兩條相交直線的位置關系如何刻畫？在這之前只有“夾角”的概念，但是要刻畫平面內的任意相交直線位置關系的時候，夾角的概念就不夠用了，自然先要建立新的概念“到角”的概念。建立這個概念，不是老師告訴學生。假如告訴學生，那就沒有什么意思。而如果由學生自己設法刻畫，就發現用“夾角”刻畫會出現矛盾，這說明原有的“夾角”概念不夠用了。那怎么辦？提出新的概念呀！提出什么樣的新概念呢？大家討論想辦法，經過多次假設、爭辯、驗證、修改，提出可以用“到角”刻畫，也就是用“以交點為中心，一條直線逆時針旋轉到另一條直線時的角度”來刻畫。這樣一個新的概念就提出來了“一條直線到另一條直線所成的角”簡稱“到角”。那怎么來計算這個

21、“到角”呢，假如能夠找到一個公式就好了，接著來探究這個公式。這個教學過程就把“教學生學什么和怎么學”的思想體現出來了。老實說，“計數原理”這節課上好不容易。老師一般覺得“分類和分步”的教學很簡單，一下子就能夠把學生講懂。但是你把學生講懂，與你讓學生通過一系列類似于科學研究的活動，自己去真正把本質搞清楚，提取出來，并且建立新概念，這樣一種搞懂完全不是一回事情。你告訴他，碰到這個問題就用乘法，碰到那個問題就用加法，他就把這些記住，那他就變成一個記憶的工具和實施的工具，而不是一個獨立能動的思想者。所以這節課中的兩個計數原理，就是兩個新的數學模型。我們老師在教的時候，頭腦里是不是這樣的認識。可能很多老

22、師沒有這樣的認識，沒有把它當作數學模型來認識。所以，這節課教學設計前提就是你對數學模型的認識，以及對數學模式本質的理解。如果你不這樣理解，這節課的對象你就不可能把它作為學習數學模型去組織教學。那我就只要三五分鐘講一講，把“什么是加法原理，怎么算；什么是乘法原理，怎么算”告訴學生，然后舉兩個例子，題目一布置，學生肯定會做起來，只要模仿嘛。那他就只能解解題，套用模式，而對模型的本質完全不知，對科學研究一般方法的學習更是全無。 你告訴他以后，他就不可能去意識這些，就不可能把今天要學的東西當作一個探索的對象來學習，不把它當作一個不知道的東西，不會如此這樣的一種滿懷求知欲望地去學習。他也不會知道，在這個

23、過程中我還能夠獲得科學研究的一般方法，因為沒有這個過程嘛。如果是直接告訴，那我們就丟失了一個給予學生這兩個方面培養的良好機會。 這是我講的第一個問題，就是教學生學什么和教學生怎么學，學習任何知識都要把它當作學習建構新概念和新方法，還要學習科學研究的一般方法。但是這個科學一般方法的學習又不是機械的，而是把方法用到建構新概念和新方法的過程中來學。所以這個科學研究的一般方法，既是他要學的東西又是他要用的東西，他在用的過程中來學，在用的過程中不斷領悟科學研究一般方法的本質，不斷提高運用科學研究一般方法的水平。這是第一個問題。第二個問題就是“怎么教學生學”。既然要教學生學，當然就有一個“怎么教”學生學的

24、問題。實際上，剛才講“教學生學什么和怎么學”的過程當中，已經蘊涵了“怎么教”學生學的問題。總體上來講，你怎么教學生學呢？教師要作為一個課堂“教學向導”來教學生學什么和怎么學。我想，“教學向導”這個概念可能我們還第一次聽說，這是一門新的學科“學習科學”提出來的觀點，但是目前還沒有引起我國教育界的重視。我對這個新概念非常感興趣，為什么？因為我認為這就是“教師主導”的真正含義所在。平時我們講“學生是主體，教師是主導”，總是分不清楚。原因在什么地方？教師的“導”是向導，不是領導，不是主宰，不是以權威自居。不過教師是向導的主角。課堂上“教學向導”有很多，不僅僅是老師，課本、教具、同學、環境等等都是教學向

25、導，但是在眾多的教學向導中，教師是“主角”，是“教學向導的主角”。這樣理解，我覺得更準確。原來，教師是課堂上“主要的教學向導”是這樣的“教學主導”。否則的話，總是分不清楚主導和主體的關系，究竟哪個是“主”？我想，這個關于“教師主導”的認識可能會比較準確、清楚了。 教師怎樣才能成為教學向導呢？就是把學生放在探究的地位上，讓他自己去探究，自己去發現，讓他成為一個主動的學習者。這個時候，教師就是一個向導和引導了：認不得路了，帶一下；看不清楚方向，指一下；甚而至于不指，只是暗示一下，提醒一下而已。暗示和提示是杜威的著作思維與教學里提出來的。這個“暗示”，我覺得特別好，在我們數學教學中進行“暗示”最好，

26、我們不能告訴學生，但又不能完全不講，那怎么辦？我就給一個“暗示”，看你學生能不能獲得這個暗示。我不明講，讓他自己感悟，這就有了一個學生感悟的過程。探究教學，要用“從無到有”的探究方法來解決。每個新的知識、新的問題提出來的時候，都要按照一個“從無到有”的過程來進行探究。這個新知識我還沒有，或者這個新問題我還不會解，這不是“無”嗎？然而這個“無”并不是真正的無，為什么呢，學生已經擁有一些知識、方法和經驗，只不過這個新東西本身不知道。現在，我用已有的東西可以使它“從無到有”，使這個無變為有。為什么強調“從無到有”？因為必須是“從無到有”才是真正的探究。 之所以要強調“從無到有”就是要突出“探究”，沒

27、有“從無到有”的過程就沒有探究。“從無到有”就能夠使得學生從不會到會，不懂到懂，不明白到明白。從我們中國目前的現實條件和現狀來看，探究教學主要有兩種形式：一種就是“以學生自主活動為主的探究”以“探”為主，另外一種是“教師引導下的學生主動探究”以“導”為主。兩者有什么區別呢？實際上可以看到，前者教師引導是次要，是少量的，后者教師引導是主要的，引導是比較多的。在本質上來看，“以學生自主活動為主的探究”是學生自主活動，自己主宰自己的活動，那就包含一個尋找目標的過程。自主探究中，學生的目標還不清楚，需要在探究的過程中明確目標，要找，首先要把目標找到，然后再尋找新的目標，一個一個新的目標要靠自己尋找。“

28、教師引導下的學生主動探究”就是一種目標引導的探究，老師通過引導暗示他的探究目標，這個目標是不明確的，是暗示，但是仍然是一種目標，或明或暗，由暗到明。我比較提倡這種“由暗到明”的引導探究，這樣能使一個班上不同思維層次的幾十個人，各種水平的學生，都能獲得探究的機會，得到相應的提高。因為學生獲得暗示是與他的悟性有關，與他的能力有關，悟性高、能力強的學生，給一個隱蔽的暗示他都能獲得。就像“計數原理”這節課的最后，教師問：“你們通過這節課有什么收獲？”這似乎是一個無邊無際的問題，但悟性大的學生有收獲，他想到，當然是通過這節課的活動來總結有什么收獲啰。但是一些悟性比較低的學生就想，我有什么收獲啊？覺得這個

29、問題漫無邊際，對他來說這個暗示太不明白了，他不知道要收獲什么東西。這個時候，就把目標明確一下：“通過這幾道題你有什么收獲？”于是他就知道了，是解這幾道題以后我收獲了什么。但是也許還有學生覺得解這幾道題能有什么收獲？這時教師再進一步明確：“這幾道題是用前面學習的原理解決的，那么你對這兩個計數原理的運用有什么收獲啊？”這樣他就會明白了。這樣一步一步地暗示，由暗到明，越來越多的學生就在不斷的概括自己的收獲，逐步的有少到多得到收獲。最后當然可能還有少數學生概括不出收獲，那么老師就讓學生把自己概括的收獲相互交流，匯合起來讓所有的學生都明確，這樣每個學生的收獲就大了。但是我們這個概括收獲的工作往往是老師來

30、做的。一節課完了，教師把規律、要點歸納一下，沒有學生的思考，沒有學生的歸納，這就叫告訴，還有一種變相告訴好學生告訴一般的學生。告訴學生是最不好的。用發問來引導學生探究的時候，每提出一個問題，都先不要回答。最初提一個遠離目標的問題，悟性好學生明白了你的隱喻，就先行概括總結；然后靠近目標再提一個問題，又有一些學生感悟到你的隱喻；以后不斷地接近目標發出一個個問題，實際是一個個由遠及近的暗示，這使得不同層次的學生都能在相應的水平上感悟出你的隱喻。在交流心得的時候，讓悟性最低的學生先說，最后讓悟性高的學生說，這樣所有的學生都有不斷獲得提高的感受。如果讓悟性高的學生先說，無異于讓他去告訴其他學生。你的啟發

31、是由遠及近，由對悟性高的學生到對悟性低的學生啟發，而在概括心得的時候是由低到高，先讓悟性低的學生概括，逐步到讓悟性高的學生概括。這樣一來，所有的學生或者說多數學生都會得到好處，多多少少都會得到，不論悟性高的、低的，都能得到提高，每個人都在自己相應的水平上獲得提高。即使那些悟性低的學生，也可以在數學智力方面提高一點，當然不可能提高到最高水平，但是不要看不起他。他僅僅是對數學的悟性不高，他可能對其他的某些東西悟性高，根據多元智力理論，每個人有不同的智力強項嘛。數學悟性不高沒關系，其他的悟性高也行啊，拉琴，唱歌、畫畫、運動等等，他這些方面悟性高，將來照樣成材。這怎么說呢？數學好就是好學生，數學不好就

32、是差學生，這個不對。為什么呢，數學的悟性高的學生，對其他的悟性不見得高。我們國家重視數學，什么選拔考試都要考數學，為什么呢？因為一般認為數學好的人聰明，當然全世界都有這樣一個共識。的確，數學學得好一點，表明抽象思維強一些，但抽象思維不能代替一切，進入21世紀，形象思維更重要，并不是抽象思維才至高無上。這兩種探究方式在中國的情況下的數學教學是最合適的。為什么？一是我們中華民族思考方式，就是有一個孔夫子總結的“不憤不啟，不悱不發”這樣一個特點。他再怎么獨立思考，也不是一想就成功的，我們也沒有那么多的時間給他想，不像外國的學生，他有的是時間，這個問題想不好，可以什么事情都不干，光想這個問題。我們不行

33、，語文、物理這些課總要開，他可以其他課本都不學，今天我就學這個，他們學校允許，國家制度也允許。我們的教學總要圍繞目標，規定進度，所以教學中必須學生的獨立思考與教師的啟發點撥相結合。 二是數學學習特點的要求。數學畢竟完全靠自己去探究發現的可能性不大，至少問題的提出不容易，像“負負得正”，學生無論如何也不會想到，要他從生活中找一個事例能夠說明負負得正，他找不到，只有老師來幫他找，有時老師也找不出來。這兩種探究模式實際上與兩種啟發方式有關系，或者說與兩種啟發策略有關系。我們探究的過程，教師的作用是向導，就是引導，怎么來做向導？怎么來做引導呢？靠啟發。啟發有兩大策略，我把它概括成兩大策略，一個是“憤誹

34、術”，一個是“產婆術”。“產婆術”大家都知道，“憤悱”我們知道，“憤悱術”可能很少聽說。數學講究對稱，我想既然有“產婆術”，也可以有一個“憤誹術”，它的核心內涵就是“不憤不啟，不悱不發”。這兩種啟發的策略的本質需要搞清楚。很奇怪，“憤誹術”是以探為主，體現地道的建構主義思想，恰恰是我們中國的孔夫子提出來的，“憤悱術”啟發策略是道道地地的建構主義思想。來自古希臘的“產婆術”倒是平時不被我們認為是徹底建構主義思想的策略，是反過來的。為什么呢？“憤誹術”是“不憤不啟，不悱不發”，學生必須去獨立思考，產生疑問了，但究竟質疑的是什么，或明或暗，達到“憤”的狀態，你教師及時“啟迪”，使他豁然開朗。對種種疑

35、問，他經過深思熟慮明白了其中的一些真諦，但說不清道不明，滯陷于“悱”的迷茫，這時候教師再啟發他，使他撥云見日。這不是典型的學生在自主活動嗎，所以“憤誹術”是適宜以學生自主活動為主的探究中的啟發策略。當然并不是說其他的探究中就不適合用，其實以學生自主活動為主的探究有的大，有的小，有的是整節課進行這種探究，有的是在幾分鐘里進行這種探究。在幾分鐘的探究里，也可以是以學生自主活動為主的探究，那就使用“憤悱術”。像剛才我舉的例子中，前面一段15分鐘探究，既有老師引導的學生主動探究，又有以學生自主活動為主的探究。“產婆術”是古希臘哲學大師蘇格拉底的啟發模式。蘇格拉底從來沒有著作，他的思想是通過柏拉圖的著作

36、流傳于世的。他一生就是給學生提問題，教學生的方式就是提問，他提問題學生回答。但是，他只提問而不告訴你答案，那么學生就要主動去思考，主動去學習，所以是教師引導下學生主動探究。他提出問題，你必須自己去想，自己主動思考，思考以后你的想法有了，講出來。他發現你的想法有問題，于是又提出問題，當然他主要是反詰，找出你想法的漏洞，你再去思考。問答就如此不斷進行下去，所以“產婆術”又叫“問答術”。這樣一來就是以教師引導為主，以教師啟發為主。他每次發問就是給你一種暗示，或者一個目標。這就是一種目標引導的探究，教師設問提問，學生思考求答，這樣的探究過程是一種“目標引導的探究”。每次設問都是給出了一個目標，盡管這個

37、目標有時是明確的，有時候是隱蔽的。 不論是“憤誹術”，還是“產婆術”，你的啟發用提示也好，暗示也好，都是用發問的方式，并不是簡單的告訴。不論“憤啟”的關系，或者“誹發”的關系，你總歸是發問。為什么要發問呢？發問能真正使學生獨立思考，去解決問題。而且數學跟其他學科有不同的地方，數學教學中的啟發，主要是提示或者是暗示。你用提示或者暗示來進行，實際目的在于要學生通過感悟獲得這個提示或暗示。提示和暗示的最根本的特點，就在于你不告訴他結果，結果一定要他自己去尋找，自己得出來，不論學什么都要他自己去進行。 數學啟發教學的方法主要是設計情境。設計情境有多種方法，一種是設計問題情境，一種是真實的生活情境，或者

38、能夠揭示數學本質的多媒體的動態情境。創設情境來發問，可以使得這個發問很自然，不是很生硬地牽強的，是水到渠成。前一個問題解決的同時，新的問題很自然地跟出來。問題這樣自然連貫地發生，學生的探究就以連續性的思維自然而然進行，知識就自然而然在頭腦中“流淌”出來，而不是我們灌輸進去。問題是自然地一個一個產生的，解決了前一個問題就自然產生后一個問題，這個問題在思維的延續的活動中自然地出現，然后自然地解決，知識也就自然地形成。數學教學中，主要的啟發行為是教師引導下的學生主動探究，也就是這兩種探究形式中的第二種，我想70%，甚至多于70%是教師引導下學生探究，因為數學的對象是抽象的思想材料，思想材料就必須要通

39、過大腦去想，完全要學生自己把今天要學的問題從生活中提出來，是不太現實的。比如說，有一次我聽指數函數的教學，老師設計的情境是房地產價格問題，學生對這個情境熟悉，但是要他根據這個情境抽象出一個數學模型，就很困難。這個問題對應的是以指數函數為基礎的數學模型，學生直接構建不太容易，那么就要進行教師引導下的學生主動探究。教師要進行引導性發問，這個發問我們叫提示，或者暗示。但是究竟什么樣的發問是屬于提示，還是屬于暗示，我對它有一個大致的認識。關于“啟發性發問”主要是利用三類提示語：一類叫“元認知提示語”，一類是“認知性提示語”，還有一種“方法論意義的提示語”。我認為“方法論意義的提示語”是最好的一種，本質

40、上它也一種元認知提示語，但更具方法論意義，我就把它單獨列為一類。元認知提示語是給出了一種提示，但不涉及具體知識，這樣的提示語就是元認知提示語。解決某個問題要怎么思考，我給你提示，但是并不涉及具體知識或具體方法。認知性提示語就涉及具體知識。這樣才會有由遠到近的提示。距離目標遠，是元認知提示，不涉及具體的知識，但是到你最后要去啟發那些感悟能力比較弱的學生的時候，就是運用認知性提示語了。啟發只用元認知提示語，是不科學的。不是對所有的學生都用一種提示語，對不同的學生應該用不同的提示語，根據學生悟性的高低用不同的提示語。對悟性高的學生，用元認知提示語就可以讓他產生感悟；對悟性稍低一些的學生，減少一些元認

41、知成分，多一些認知成分，實際是與目標接近一些，他也能感悟；以后提示的認知成分越來越多，越來越靠近目標，一直到揭示目標。這叫做“分級提問”。不要怕他不能感悟目標，就直接揭示目標。你必須讓他經歷這個過程，經歷由元認知到認知性提示的過程，最后他會想到，噢，你從元認知發問到認知性發問實際只是同一個問題，這就使所有學生的悟性在他的層次上都能得到一定的提高，他這個悟性的發展就明顯。 這就是“教師引導下的學生主動探究”。有人可能要問，教師引導為什么還是學生主動探究呢？因為教師提出問題還是要學生去思考，去回答嘛。蘇格拉底只提問，柏拉圖必須回答問題嘛。我還是用一個例子來說明吧。 我用“對指、對函數關系”這節課為

42、例來說明。 這節課里，教師有很多提示語，他自己可能不一定有意識。但可以說明他在平時教學中有所感悟，才會提出一些問題類似于啟發性提示語。比如說，他這兒有一段，“學習完了一段知識以后我們要有一個習慣，就是能不能把這些知識橫向聯系起來。”這雖然不是一個問題，但是一個有方法論意義的提示語，提示你要橫向聯系所學的知識。這個提示雖然提到了知識，但它是泛指所有的知識，不涉及某個具體知識，所以是元認知提示語。 “你有沒有想法了？你打算怎么研究？”這個是元認知提示，是與研究的方法相關的提示。然后學生進行橫向對比，對比結束后，教師說“對比完了，有什么樣的發現？”這還是元認知提示，他沒有問“對它們的定義域有什么發現

43、啊？對它們的值域有什么發現啊？”這樣發問就涉及具體知識，那就沒有什么意思了，你相當于直接告訴他“你在定義域上、值域上去尋找吧”，那學生還能學什么思想方法呢？“我們其他同學還有沒有別的想法，你是怎么研究的？”這個地方教師不明說，而是用元認知提示語暗示學生可以通過另一種方法研究，研究函數除了用解析式就是用圖像。學生獲得了暗示，提出可以畫函數圖像來研究。教師就用幾何畫板畫出圖像來，讓圖像運動起來并反復演示，然后提示學生：“你們覺得這兩個圖像成什么關系？”更好的可以先暗示：“你不是要通過圖像研究嗎？現在研究出什么來了？”這樣又是“由遠及近”的發問。然而他那個暗示比較明白，兩個圖像“成什么關系”，只能是

44、“成對稱關系”。其實“成對稱關系”正是你啟發的目標，你的暗示明顯指向目標，離目標很近，所以是認知性提示語。后面那個發問沒有明確提出“成什么關系”，只是“研究出什么來了”，暗示指向不很明確，離目標就遠一些，這個發問元認知成分就多一些，認知成分少一些了。如果你發問指向很明白，學生無須思考探究，當然不假思索地嘴里蹦出“兩個圖像對稱”。這樣的發問，學生幾乎無須經歷“從無到有”，因而不能達到啟發探究的目的。“兩個圖像對稱？那你能證明嗎？你打算怎么想？”“你能證明嗎？”認知性發問；“你打算怎么想？”元認知提示語。學生做了一番闡釋，根據何在呢？雖然這里并不要求進行嚴格意義上的證明，但總得有一些理論依據吧。所

45、以教師降低要求，并靠近目標進行一些發問：“那我想問一下，當A點運動的時候，C點是不是我們所謂的對數函數圖像上的點，我們可以來驗證一下嗎？”“驗證一下”方法論意義的提示。學生對兩個圖像的關系提出了猜想對稱，按照科學研究的一般方法，提出了猜想，就要驗證猜想。這就蘊涵了學研究一般方法的引導。剛才學生的闡釋不能看作嚴格的幾何證明，兩個函數圖像關于直線y=x對稱的嚴格證明，必須包含完備性和純粹性兩方面，當時沒有證明這兩個方面。不是嚴格的證明怎么辦呢？我們可以來驗證一下，于是把圖像運動一下，發現果然兩個函數圖像完全重合。這個啟發性提問如果改成：“兩個圖像對稱？那你能驗證嗎？你打算怎么想？”那么由證明改成驗

46、證的彎路可能就少走或不走了。這個探究過程結束后，教師概括說：“我們研究一個問題，可能有兩種方法，一個從純代數的角度出發，一個可以從形的角度出發。”這是典型的方法論意義的提示語。然后把代數的角度怎么樣，形的角度怎么樣，就把這兩個之間的關系總結了。這個概括過程和結論如果也通過啟發，由學生探究出來可能更好。不過如果問題不分巨細都要啟發，時間就不夠了。這節課里面有很多認知性提示，元認知提示。比如，“為什么你叫它反函數？為什么不叫別的名稱？你覺得這個反到底反在什么地方？”這就與前面的問題聯系起來了：前面我們把函數y=ax叫做指數函數，這是大家起的名稱，大家為什么給它起這個名稱？是因為自變量x在指數上，所

47、以叫它指數函數。那現在這個函數叫它“反函數”，為什么給它起這樣的名字呢？追問“到底反在何處”？這個追問既有認知性成分，也有方法論意義的成分，同時把它跟原有的問題聯系起來，和以前學過的問題聯系起來。 這節課因為并不是有意識地按照啟發性提示語進行引導，所以提示語不是非常準確，但是總體上看出，教師已經意識到要用一些提示語來進行啟發，而不是直接告訴學生，這個是很重要的意識。老師一定要有這種意識，不是什么事情都告訴他，尤其是附中，在南京市幾百個班中間，這16班的學生還是屬于高層次，什么結論告訴他就沒有意義了，而是啟發，讓他自己來探究。 元認知提示語、認知性提示語、方法論意義的提示語，實際上帶有一定程度的

48、隱蔽性。利用提示語隱蔽性的強弱進行暗示和提示：隱蔽性強，這個暗示或提示就弱；隱蔽性弱，這個暗示或提示就強。最初給出的弱暗示，隱蔽性非常強，然后逐步向隱蔽性弱的方向過渡，過渡到強暗示。這個過程叫做“分級提問”。通過這樣的分級提問來達到對不同層次的學生的啟發引導。對不同層次的學生引導，是由弱暗示到強暗示實現的，是根據隱蔽程度的不同級別，由隱蔽到明顯的不斷發問而循序漸進發展的過程。 所以啟發性提示語的暗示，有一個“暗”到什么程度的問題。暗示“暗”到什么程度，當然要根據學生具體的情況。教學策略里面有一個非常重要的策略，就是你對學生的認識和了解，今天來不及細講了。因為你了解、認識了你的學生，你才能把握提

49、示語和暗示語應該“暗”到什么樣的程度？這樣的問題我要給他什么樣的暗示？或者對這樣一種提示語，這個班的同學會有什么樣的反應？每個人接觸到的班級和學生不一樣，你就會獲得不同的對暗示的把握。 暗示離目標越近，暗示就越透明，元認知成分就越少，認知的成分就越多。這就涉及到教育教學的理論，什么是元認知，什么是認知，我這里簡單了說一點，你如果看一些理論性著作的時候就容易看懂，就是在你的認知結構里先擴充一些有關的知識。我們搞數學的人滿腦袋數學，搞物理的人滿腦袋物理，很多人看了一些教學理論的書籍總會問，這些東西跟我的專業怎么聯系啊？原因就是原有認知結構里這方面的知識太少。有一些研究生剛進校時，看教育理論的書，他

50、不知道怎么看，看了以后究竟要學什么。書上的字都能看懂，最后收獲到什么呢，不知道，就是頭腦里原有知識結構當中缺少相應的東西造成的。 有一個重要問題是，人不會天生探究，教師要學生探究，就要教他怎么探究。怎么探究呢？也不是明白告訴他，怎么怎么探究，而是讓他在探究的過程中潛移默化獲得探究的方式方法，或者叫做獲得默會知識、體驗、經驗這類東西。他經歷得多了以后，探究的策略和方法就越來越多，越來越熟練，實際上跟我們很多人一樣，比如說搞電腦，你搞多了你就清楚了，一開始連鼠標鍵盤都不清楚，一開始雙擊都不清楚，漫漫地經歷多了就知道。所以你教他探究，是通過教師暗中引導，他來探究。你的引導一定盡量不讓他覺察出來，這樣

51、學生會認為是自己搞出來的。當然你越來越暗，越來越暗，最后你不暗示提示，他也能探究，那他就達到最高境界了。 啟發和探究的關系，體現為用啟發性發問來推動探究。啟發性發問推動的探究，提示語不僅有元認知的，還有認知的、方法論意義的，啟發是教師教學的基本功，啟發的技巧和水平可以有高低，但是啟發是必須的。你不能說我不會啟發，我就不啟發，我什么都告訴你。甚而至于：把書打開，看這段內容。然后問：看好啦？學生說：看好了。好，你來完成我黑板上兩個題。這還有啟發嗎？沒有啟發，一點啟發沒有。用課本，我們怎么用，數學教學用課本和文科教學用課本可能有不同。如果你要他探究的東西他已經看過了，今天來探究，他探究什么？結論都知

52、道了，你問什么他都知道，一點探究的意思都沒有。實際上他沒有真正獲得和提高學什么以及如何用一般科學研究方法來學習的認識。 剛才講的是用問題進行啟發。啟發的時候，也可以用動態的畫面來提示或暗示。比如說，新課程高一有一個求方程近似解的內容。要求方程的近似解，首先是把求方程解的問題轉化為求函數零點的問題，這是第一步。然后，函數零點有一個性質，函數零點附近兩邊的函數值正好異號；這樣問題就轉化為尋找使函數值異號的自變量x兩個取值，函數的零點總歸在x的這兩個數值之間；怎么能夠找到精確到0.1水平的近似數呢？現在x的這兩個數值是整數，要找到精確到0.1水平的近似數，這就要用逼近思想。但是這個思想要通過暗示，讓

53、學生去發現要用逼近思想，而不是直接告訴他。我想起最近臺灣抓捕一個要犯，抓他很困難，他躲到山上，警方來個大包圍，然后縮小包圍，縮小包圍，最后把他抓到了。這就是應用逼近思想的。用通俗的事例，很容易啟發學生想到逼近思想，這就是啟發。問題是你如何創設情境，把存在他心中的本原的思想激發出來，通過你的暗示使他能夠感悟出來。這里我創設了一個求方程近似解的教學情境，當然我這個創設未必是最合適的，老師們可以仁者見仁，智者見智。原來要求近似解的方程是lnx=3-x，學生對這個方程比較陌生，因為加了一個“lnx”在里面，帶有了超越方程的性質，所以學生不知所措。這個方程陌生，我們就找一個比較熟悉的方程來探究求近似解的

54、方法。把陌生的對象轉化為熟悉的對象，這是方法論思想，方法論意義的提示語就在這里就有用武之地了。什么方程我們熟悉？當然是一元二次方程。于是選擇x2-x-1=0，這個方程的解只能是近似數。方程轉化為函數，把函數f(x)= x2-x-1圖像畫出來，我們給它畫出來。(演示多媒體創設的教學情境) 紅點是它的零點，那么，零點兩端附近的函數值f(x)和f(x)異號，一下一上，零點就是夾在x和x這兩個數之間。現在要把它找到，你看怎么找到？ 然后演示x和x的運動，你也不講話，就演示，反復演示幾遍。那么這個演示的過程實際上就給學生暗示，讓他看到把x和x這兩個數越來越靠近紅點，也就是函數零點，那么f(x)和f(x)

55、就越來越接近于0，這樣就能找到。這樣演示以后，提出一個問題：你能不能提出一個方案來，求這個方程解，我不要你求出來，只要你提出一個能找到這個解的方案。(元認知提示語，方法論意義提示語)然后學生就去討論，當然先獨立思考，然后討論，以后全體交流。現在已經知道1和2的函數值異號，這個零點必在1，2之間，零點值取1，2都不合精確度要求。要想符合精確度要求，就要讓x和x向零點靠近。怎么來靠近呢？學生會提出縮小x，x的范圍。接下來是怎么來縮小呢？這時候二分法就發揮作用了，把中點求出來，區間x，x就被中點一分為二。那么零點在其中哪個區間里呢？應該在使函數值異號的兩個端點構成的區間里，一看或者一算，就知在1.5

56、，2之間，不過兩個端點近似值顯然達不到精確度。那就如法繼續這個過程。一直到區間端點近似值相等，并且精確度達到要求為止。零點在兩個端點之間，兩個端點近似值都相同了，也就是兩個端點重合，那零點近似值也就是它。找到區間為1.56，1.52的時候，兩個端點的近似值都是1.6，精確度達到要求，那么x =1.6就是所求的方程的近似解。你如果提出新問題，要求近似到0.01位怎么辦？那就接著再找，再把更多的中點區間選出，到某一步發現，符合兩個端點近似值相等，并且精確到0.01要求的是x =1.62。這個新問題的過程是在后面，是在學生領悟了逼近，知道用縮小的方法，并且探究出來用二分法的方法來逼近以后。整個過程經

57、歷了幾個轉化，求方程解的問題轉化為求函數的零點問題，求函數的零點問題轉化為求使函數值異號的兩個自變量值的問題，然后由逼近思想轉化為縮小這兩個點構成的區間的問題，再轉化為如何縮小這兩個區間的問題，最后轉化為用二分法求區間中點來縮小區間的問題，一步一步地進行。 通過這樣一個情境，你沒有告訴他逼近，也沒有告訴他求中點，也沒有告訴他任何東西，僅僅通過動態的畫面讓學生從中間領悟。可能有學生有所感悟，也有一些沒有感悟。我們不能指望通過一個動態畫面的一次演示便使每個學生都能感悟，因而要反復演示。為什么要多動幾次呢，為什么要從左邊動動，又從右邊動動，再兩邊一起動。這些多次演示實際都是在由弱到強，由暗到明地進行

58、暗示。通過這樣一種啟發暗示，可以達到引導學生進行主動探究的學習。 教師引導下的學生主動探究，這種探究方式比較符合我們國家目前的國情，我們教學內容容量大，教學進度快，采用以學生自主活動為主的探究，花費的時間多，時間不允許。再說也沒有必要，人類經過幾千年文明史發現的那么多東西，這些都是人類的遺產，我們接受過來就行了，每個東西都要發現一下，人能經過幾千年嗎？不可能的事情。這是我講的第二個問題，就是怎么教學生學。第三個問題是解題教學。 解題教學在中學是十分重要的問題，但是解題教學這個問題解決得不是很好。原因有幾個問題，最主要的什么是解題教學，這個問題沒有明確。首先“解題教學教什么”呢，還是“教學生學”啊！這又回到“教學生學什么”的這個問題。解題教學“教學生學什么”呢？教學生“學解題”，他要學習怎么解題！不是說今天解題課，你拿出幾道題，讓學生來解，再說說解的過程，就是進行解題教學了。其實他這是在“解題”，而不是在“學解題”。學解題是什么呢？是要學習“尋找和發現解題思路的方法”，以及“與解題活動有關的各式各樣策略”，這才叫“學解題”。所以，學生在解題教學中最主要的任務不是“解題”，而是“學解題”。這樣一來，教師教的重點，學生學的重點都不在“解”，而在“學解”。你老師或者哪個學生，上黑板把題解一遍，再重復一遍，這不是解題教學，這個是解題，而不是學解題。