1、 近幾年來國內學者有關數學教育研究綜述數學思維研究綜述近十幾年來，在數學教育研究中，有關數學思維的研究經久不衰。幾乎每一本數學教育學主面的著作都有一定篇幅論述數學思維，專門研究數學思維的著作也陸續出版了多本，數學教育及中學數學教學類期刊刊載了相當數量關于數學思維的文章。對國內出版的幾本數學教育學著作和期刊雜志發表的有關數學思維文章做文獻分析，并歸納總結出幾點研究現狀。一、廣泛研究了數學思維品質及創造性思維。幾乎每部涉及數學思維的數學教育學著作，都探計了數學思維品質的意義，并結合實例說明了如何培養。大量的文章表明，研究數學思維品質的群體是廣泛的。但是，人們對數學思維品質的定義與內容并未達成共識。

2、大量的文章還表明，創造思維在當今數學教育研究中備受重視。許多學者從廣闊的視角研究了創造思維，包括直覺思維、形象思維、靈感思維、合情思維以及培養措施等多方面內容。二、對數學思維與總是解決人關系進行了研究許多研究均指出，數學思維與問題解決是唇齒相依、水乳交融的關系。具體是通過三個方面開展研究的。首先，結合數學方法論探計了數學思維與問題解決的關系；其次，探計了思維定勢與問題解決的關系；最后，結合數學元認知探計了數學思維與問題解決的關系。三、較深入地研究了啟發式教學啟發式教學是永葆青春的先進教學思想。數學教育工作者立足數學思維，較為深入地研究了啟發式教學。總起來看，數學思維已成為數學教育研究的一個熱點

3、。關于數學思維的研究，無論在廣度上，還是在深度上，都獲得了長足的進展，涌現了眾多研究成果，取得成績固然可喜可賀，但數學思維研究現狀暴露出一些不容忽視的問題，如：研究較零散、孤立、缺乏交流和協調，有重復研究現象；對同一數學思維有關的名詞和術語提法分散，真正帶有數學教育特征的數學思維成果并非俯首皆是。今后數學思維研究的范疇應包括：數學思維內部諸要素，以及數學思維與數學教育相關外部因素之間的判斷與析因研究；基于素質教育，對數學思維地位與作用的進一步認識；在數學素質教育實踐中，數學思維教育規律的提煉與總結等。這些問題不解決，必將限制數學思維的深入研究，影響數學思維在數學教育實踐中發揮更大的素質教育效益

4、。即解決這些問題，兼具理論與實踐雙重意義，但這雙重意義能否落實，又與是否選好、用好攻堅利器密切相關。如果研究仍局限于經驗總結，單純定性描述，單純移植和借鑒心理學研究成果；而不注意開展實證研究，不注意將理論與實踐很好地結合起來，這將會阻礙數學思維研究再上新臺階，使數學思維在原地踏步，也并非杞人憂天。數學元認知研究綜述1976年，美國心理學家弗萊威爾在其認知發展中提出了元認知的概念。隨之，有關元認知的研究便得到了廣泛的響應和關注。元認知就是對認知的認知，其實質是認知個體對自身認知活動的自我意識和自我調節，它含三部分：元認知知識(對認知活動過程、結果及相關信息的認識)、元認知體驗(伴隨認知活動而產生

5、的情感體驗)、元認知監控(主體對認知活動的監控與調節)。元認知監控是元認知的主體，它表現為主體根據自己的認知特點、知識的特點和學習的要求等定出計劃、選擇策略、評價其有效性、作出補救措施等。大量的實證研究表明：如果學生具有較高的元認知水平，學生就能有效地對自己的學習過程進行監控、調節，能夠提高學習的效率。（一）、元認知的概念 在眾多的元認知定義中，以元認知研究的開創者Flavell所作的定義最具代表性。1976年，他將元認知表述為“個人關于自己的認知過程及結果或其它相關事情的知識”,以及“為完成某一具體目標或任務，依據認知對象對認知過程進行主動的監測以及連續的調節和協調”。1981年，他對元認知

6、作了更簡練的概括：“反映或調節認知活動的任一方面的知識或認知活動”。自從美國心理學家弗萊維爾（J·Flavell）于1976年提出元認知概念以來，元認知直到20世紀90年代才引起我國數學教育界的關注，并發表了一些科研成果。我們以國內出版的一些數學教育期刊和教育類期刊的有關文章為文獻源，對數學元認知研究現狀進行綜述，并歸納總結出幾點研究現狀：一、重點是圍繞數學元認知概念開展研究的。大多數文獻，借鑒一般元認知的概念，介紹了數學元認知概念，包括其定義和結構等。因此，介紹數學元認知概念是20世紀90年代數學元認知研究的重點之一。由于一般元認知研究先于數學元認知而開展，數學元認知是元認知的種概

7、念，研究伊始，移植元認知概念，介紹數學元認知概念，無可非議。但決不能停留于此，數學元認知的特殊屬性還應予以揭示，這應是今后研究需要解決的。二、揭示了問題解決與數學元認知的關系。大多數學者認為，培養學生數學問題解決能力，前提是要培養其數學元認知意識能力，沒有數學元認知參與，數學問題的演練將是低效的。這種對數學元認知與問題解決關系的揭示，對提高問題解決的教學效益是有指導意義的。三、給出了培養學生數學元認知能力的一些建議。一些文獻給出了培養學生數學元認知能力的一些措施，但大多數是建議性和說明性的，可操作性需要進一步加強。四、零星地開展了一些數學元認知實驗。在我國，開展了為數不多的數學元認識實驗。典型

8、實驗當屬周建華老師于1989年9月-1995年7月進行的兩輪“高中數學學法指導實驗研究”。實驗表明，通過開發學生的元認知，可以提高學生的數學學習能力及數學學習成績。總起來看，數學元認知已受到一些專家、學者的重視。近些年來，涌現了一些可喜可賀的研究成果。但研究成果少而且研究亟待深入，在我國尚示形成 數學元認知的規模實驗，許多一線教師對數學元認知一無所知，這是令人憂慮的。事實上，數學元認知能夠科學地揭示學生的高級心理活動自我意識對其數學學習活動的控制調節作用，為豐富和完善已有的數學學習理論提供重要的依據，而且，它有助于發揮學生學習的主動性和自覺性，解決學生如何科學地學習、形成良好的學習習慣的問題。

9、為此，一線數學教師學習和掌握數學元認知理論，并用其指導數學教學實踐，有助于實現科學“導學”，提高課堂教學效益，實現“高效低耗”。因此，數學教師要在觀念上重視元認知，學習它并用來指導學生科學學習數學，培養學生良好的學習數學的習慣。客觀地講，數學元認知尚是一片廣闊的“待開墾的田地”，任何教師不論“起點如何”，只要做到研究“得法”，就會在數學元認知的教學與科研中摘得累累碩果。目前，數學元認知研究大多仍停留于移植和借鑒一般元認知的研究成果上，盡管這是一種由一般到特殊的研究方法，但僅局限于此，就不可能充分揭示數學元認知的本質，從而必定影響和限制數學元認知在數學教育實踐中發揮其應有的作用。研究數學元認知可

10、考慮運用下列方法：口語報告法、問卷法、評價法、假想情景法、個案+反思方法以及調查和實驗方法等等。中學數學思想、方法研究現狀綜述基于數學思想、方法在數學教學中的重要性，數學教育類期刊及中學數學類期刊刊載了大量關于數學思想、方法及其教學的文章。以這些文章以及有關論著為文獻源，對中學數學思想、方法的研究現狀進行了綜述研究，并歸納總結出幾點研究現狀：一、關于數學思想、方法的教育意義達成共識。在查閱的文獻中，有許多論文或從理論上或從實踐上論及了數學思想、方法的教育功能及意義，并達成共識。二、關于數學思想、方法教學原則的認識基本趨于一致。相當多的文獻論及了數學思想、方法的教學原則，包括：滲透性、漸進性、明

11、確性、系統性和學和參與原則等，認識基本趨于一致。三、對數學思想與數學方法的定義存在差異。盡管數學思想、方法已經成為數學教育研究中的熱點問題，但數學教育界對其概念的定義的認識并未達成統一。四、對中學數學思想、方法的內容的認識分歧嚴重。可以說，每位學者都是在各自的意義下談論和使用數學思想、方法的，即使在同一分類前提下，兩位學者談論中學數學思想、方法的內容也不盡一致，當然可以肯定地講，每位教師即使在各自的意義下選擇數學思想、方法，指導數學教學，也均會取得程度不同的教學效果，這是因為，他畢竟或多或少使用著中學數學范圍內應該重視的數學思想、方法。我們認為，為使教學研究更趨科學化，目前應盡快給出一些標準，

12、在此標準下圈定中學數學思想、方法的內容，以從實踐上大面積提高我國數學教育質量，從理論上促使數學思想、方法的學術研究再上新臺階。五、廣泛地開展了數學思想、方法的教學實踐研究。在查閱的文獻中，大多數論文都結合教學實例說明了如何在具體數學知識或數學問題教學中進行數學思想、方法的教學。其中，MM、MA（發展學生烤學思想，提高數學素養的實驗）等實驗則系統地開展了數學思想、方法研究已不再是空中樓閣，而已經深深扎根于數學教育實踐土壤之中。總起來看，中學數學思想、方法的研究是較為深入的，而且研究者采用的主要研究方法不是借鑒和移植教育學、心理學研究結論和國外的研究成果。因此，中學數學思想、方法是具有我國特色和數

13、學教育特色的研究課題。如果說數學教育科研領域，科研課題及其研究星光燦爛，那么，中學數學思想、方法及其研究當之無愧是其中的一顆耀眼明星。當然，這顆明星并非完美無瑕，譬如，對有關概念內涵及其關系的揭示，考慮落實素質教育的需要及促進學生發展的需要，根據學生接受能力對中學數學思想、方法內容的圈定，如何利用數學思想、方法培養學生數學地思維，學生形成和掌握數學思想、方法的個性差異與規律等都是予以繼續深入研究的。幾個成功數學教育實驗的研究方法人們在學習成功的數學教育改革實驗時，比較注重改革的內容、措施和成果。其實，在成功的教改實驗背后也必有思想觀念的更新，有時還有研究方法上的突破。對青浦經驗、實驗、教育方式

14、、935實驗和JSJ課題做了一些分析。總的看，青浦實驗、MM教育方式、935實驗是比較規范的。有課題的提出，有實驗的總設計，提出了實驗的理論假設，安排了實驗因子的操作和實驗結果的分析鑒定而GX實驗與JSJ課題則不太拘泥于教育實驗的種種規定。青 浦 實 驗顧冷沅先生在第8屆國際數學教育大會（ICME8，1996，西班牙）上作了一個精彩、系統的講演青浦實驗-一個基于中國當代水平的數學教育改革報告。報告中提到：青浦實驗以新的實踐把理論推向前進，在基本原理與研究方法上有所突破，并將研究方法上的這個突破定名為“實踐篩選法。”顧先生在演講中對“實踐篩選法”是分散介紹的。為了便于說明，我們把它集中一下，并參

15、考一些早期的材料，還加上了幾句“串聯詞”，但愿這不致篡改了青浦實驗的本意。教育調查能夠獲取問題的信息，但一般無法得出具有因果聯系的假說；教育實驗能夠確證事件的因果關系，從而獲得可靠知識用以指導實踐，但它必須以理論假說為先導。青浦實驗在進行中察覺到調查和實驗之間缺少一個如何從發現問題到形成假說的中間過程。現在回過頭來看，“實踐篩選法”恰好填補了這個空白。對此，顧先生給出了一張“研究方法總流程”的示意圖:文 獻結 論實 驗假 說篩 選調 杳現 狀 文獻積累 現狀改造青浦實驗的實踐篩選過程大體是這樣的：（1）在大量調查的基礎上，分析優秀的教學經驗，提出實施計劃；（2）按計劃在授課中實施這些經驗；（3

16、）考察與評價實施效果并進行淘汰、發展及優化處理；（4）再計劃、再實施、再評價，多次往復直至篩選出有效的教學措施。青浦縣數學教改實驗小組正是經過了三年現狀調查，將一線數學教師的零星經驗歸納整理成160余條原型經驗；然后通過一年實踐篩選從中選出4條比較有效的教學措施，才形成了大面積提高數學教學質量的實驗假說，并將“嘗試指導”與“效果回授”列為實驗的主因子；接下去又經過三年教改實驗將經驗描述逐步上升為科學認識。青浦教改小組在實踐中也認識到，由于控制條件不嚴，實踐篩選法獲得的結果可信度不夠高，研究也不夠精細。從而在圖1上還有從實驗結論返回進行再篩選的反復過程。我們認為這恰恰是實踐篩選法有新意有生命之所

17、在。事實上，人和人的思維的復雜性決定了在教育實驗中條件的控制只有相對的嚴格性，沒有也不可能達到理化實驗里那樣的嚴格的條件控制。為了彌補這方面的不足，對實驗結論再篩選實驗假設的修正再實驗就是一個可行的好辦法。可以說，實踐篩選法正是數學中“逐步逼進”思想的具體運用，它具有普遍意義。在西方國家，教育科研主要是由專家、學者來進行的，20世紀70年代國際上對教育研究反思所得的一個歷史性教訓正是研究者必須與教師通力合作。但以搞運動的方式搞教育科研同樣可能會走到另一個極端。因此使教師成為教育科研的局內人，就可以看成在兩個極端中尋找更為合適的平衡點的一個有力措施。青浦實驗在1992年由國家教委以：“基礎教育改

18、革的重大成果”向全國推廣，在初期確實起到了一定的示范與推動作用。但是隨后就逐漸地“冷”了下來。拋開“自上而下”地推廣教改實驗這種做法本身就是一種不甚可取的手段不談，青浦實驗也確實存在一些增加了推廣難度的因素。貴州省麻江中學蕭世斌老師曾著文談及個中原由，蕭老師認為，教學實踐活動因學科的類別、課型、知識點等的不同而千姿百態。運用青浦實驗時，課堂組織形式中的誘導、嘗試、變式等均需教師在課前作出充分準備，課后的作業量也自然較大，教師批改作業需較多時間總之，用青浦經驗上課的教師負擔較重，說不累恐怕是極個別的。這一來自教學第一線的呼聲是值得注意并加以認真解決的。G X 實 驗由已故西南師大基礎數學博士導師

19、陳重穆先生主持的“初中數學提高課堂效益實驗”，取其漢語拼音“Gao Xiao”的字首而簡稱GX實驗。現在GX實驗已為許多教師所接受。然而我們查看了有關GX的眾多材料，卻始終沒有看到對實驗假設、實驗主因子、怎樣控制實驗條件等等的明確提法，但實驗的32字訣“積極前進，循環上升；淡化形式，注重實質；開門見山，適當集中；先做后說，師生共作”卻幾乎是每文必見。看來這是認識與剖析GX實驗的一把鑰匙了。人們最初接觸到GX時，覺得32字訣既易于理解又便于具體操作，于是較快地接納了它，并嘗試著把它用到自己的教學中去。繼而GX的滲透力逐漸展現出來，它對后進生有效。結優秀生也起到作用；對一般校適用，在重點校也有施展

20、的空間；甚至還被移植到了“歷史”這樣的純文科的課堂教學中去廣大教師正是從這一樁樁的事實中逐漸體會到32字訣體現的是基本的教育原則。于是，我們想提出：是否可以把32字訣中的每一句話當作一個實驗因子（？）而把八句話合起來（當然還要加點聯結詞）就是一個相當完整的實驗假設（？）在教學上，有許多原則或說法，聽起來是有些相悖的。比如“學習如逆水行舟，不進則退”與“溫故而知新”與“低起點高速度”與“循序漸進”；“教什么永遠比怎樣教更重要”與“怎樣教永遠比教什么更重要”等等。但是站在更高的層次上看，它們卻極可能是互為所用、相輔相成的。GX的“積極前進，循環上升”就揭示出一個真諦：“前進”是學習的基點，只有“前

21、進”才能使十幾歲的青少年在數學學習中常有新鮮感，常有積極性；而“循環”則可加深與完善認識，從而保證教學質量的提高。正是在這一思想的指導下，課題組下決心動手編寫GX實驗教材，采取了以知識塊為單位，以問題為線索的編寫原則，巧妙地實現了“開門見山適當集中”。“淡化形式”要有個“度”，“注重實質”則首先要了解實質之所在。至于“先做后說，師生共作”更是體現了“教師主導、學生主體”之精髓。GX實驗把美國“新數運動”失敗的教訓與提高教師素質聯系在一起，緊緊地抓好對實驗教師的培訓，這無疑是成功的重要保障。注意實驗中期的抽樣調杳分析是GX實驗的又一個特色。1997年4月，課題組組織專門力量，以國際上正流行的IR

22、T（項目反應理論）為工具，在重慶市南岸區對參加GX實驗的全體初三學生進行了能力提高狀況的測驗與分析。這個調研比較客觀，也比較公正，既肯定成績也分析不足，這就有效地提高了GX實驗的整體可信度。GX實驗在提高45分鐘的課堂效益，大面積提高初中數學差生的數學成績上是成功的。但鑒于當時的認識水平，GX教材選取的例題和習題注意貫徹了32字訣的精神，但仍與生活實際聯系較少。在GX進一步走向高中、走向職校的時候，注意突出數學應用意識當是一個不可忽視的課題。此外，有人認為GX的某些做法仍然有較強的應試教育的影響與痕跡。MM教育方式MM實驗是“貫徹數學方法論的教育方式，全面提高學生素質實驗”的簡稱，從而又常稱為

23、MM教育方式。MM實驗有一個重要的學術活動為后盾，即“全國波利亞數學思想與MM教育方式研討會”（簡稱PM與MM研討會）。從1989年至1999年研討會已舉行了五屆年會，這對交流各地情況，活躍學術空氣，充實骨干隊伍，穩步推廣前進起到了良好的作用。擁有這一學術背景，使得MM實驗明顯優越于其他幾個實驗。MM實驗的特征集中地體現在“二·二·三·八MM教學方法”上，對此，我們不妨適當展示一下。（1）第一個“二”，即充分發揮兩個功能數學的科學技術功能與文化教育功能。這一提法很好地反映了20世紀80年代以來人們對數學與數學教育的深刻反思與新認識。要想破除數學神秘感，改變人們頭腦

24、中的數學形象（或數學地位），就應該從這里做起。（2）第二個“二”即貫徹兩條原則“教學、研究、發現”同步協調原則和“既教證明又教猜想”原則。這明確地指出了優秀數學教師的成長之路和優秀數學課不可或缺的重要組成部分。難怪許多青年教師把學習與實施MM教育方式，看作自己成長的“搖籃”。（3）“三”，即瞄準三個具體目標引導學生不斷自我增進一般科學素養；提高他們的社會文化修養；形成和發展其數學品質。這些要求當然是較高的，但在明確了數學教育的兩個功能之后又是十分自然的。有人曾問：為什么MM實驗可以經受住高考的考驗？我們以為從這里是不難找到答案的。（4）“八”，即恰當地操作八個變量數學的返璞歸真教育；數學審美教

25、育；數學發現法教育；數學家優秀品質教育；數學史志教育；演繹推理教學；合情推理教學；一般解題方法的教學。這八個變量實際上是MM教育方式向教師展示的八條具體措施，同時也為教師留下了廣闊的活動空間，它表時MM教育方式確實不是某種固定的模式，而是一種教學指導思想，一個有生命力的教學設計大賽。要求一個數學教改實驗包容一切，處處適用顯然是不妥當甚至是不可能的。但MM教育方式的創始人還有不斷完善“二·二·三·八”的想法，比如提出再增加一個“二主原則”，再增加幾項具體措施等。其實，提供一個原汁原味的指導思想，讓教師充分體會它，并在自己的教學實踐中發展它。這才是MM教育方式的初衷。

26、如果要談不足，我們倒認為MM教育方式一開始就把八條教學措施稱為八個可控變量，這反而使學習者有點茫茫然不知所措。試想要在一個實驗中同時控制八個變量談何容易，我們曾聽某些實驗教師說，要作出MM味十足的教學設計太難了，這恐怕與“八個可控變量”的提法無不關系。值得注意的是，當前MM教育方式已開始向高師數學系擴展。河南濮陽教育學院在“兩條原則”的基礎上增加了兩條更適用于高師的原則，即“知識、能力、觀點并重原則”和“知識的學術形態向教育形態轉化原則”；廣西梧州師專則已在幾門基礎數學課教學中全面推行MM教育方式。這些都顯示出MM教育方式是有縱橫發展的潛力的。935實 驗“初中數學差生轉化教育實驗”于1993

27、年5月借助世界銀行貸款立項，故簡稱935實驗，我們認為這是截至20世紀末，我國眾多同類實驗中搞得最出色的一個。盡管數學差生的內涵及轉化是一個相當復雜的問題，但我們歷來界定數學差生的辦法卻都比較簡單：數學考試成績+教師印象。其實大家也都明白，這種做法即便“大體正確”，但也實在難以“以理服人”。要對數學差生的界定做到內涵確定、外延分明是相當困難的。935實驗的可貴之處不僅在于知難而上，更在于課題組采用了比較科學的方法，在綜合運用多個心理量表并使之與多種數學方法相結合上做了有益有嘗試。這包括：（1）選用中國比內智力測試量表、瑞文標準推理測試量表測試學生的智力水平；（2）選用氣質量表、情緒穩定型量表、

28、數學學習興趣度量表、意志品質量表、學習態度量表等測試學生的非智力因素水平；（3）用數學試卷和數學能力測試題考查學生的數學知識和能力；（4）對得到多項數據指標用相關分析法揭示測試量表之間的相關關系，并使用因子分析法選取適當的實驗主因子，依據動態聚類分析劃定素質類型心理量表與數學方法“聯姻”，使歷來憑經驗區分數學差生的工作為可量化、可操作的更為科學的界定，再加上一定時期的觀察印證而確定出的數學差生，在現階段是大家可以接受的。界定只是數學差生轉化的前期準備，沒有恰當的分類，轉化就難以對癥下藥。935實驗對數學差生的分類也是做得比較周全的，下圖就是935實驗成果之一的“數學差生分類子系統”。數學差生分

29、類子系統統內因型外因型智力型非智力型記憶障礙型思維缺欠型操作遲鈍型想像片面型情感障礙型興趣缺乏型態度不端型方法不當型意志薄弱型受干擾型被誤導型 綜合型大量的轉化案例，是935實驗的重要組成部分，同時也客觀地記錄了實驗教師頑強與艱辛的步履。它將成為我國數學教育進展的寶貴資料相傳下去。935實驗的成功，又是數學、計算機、教育學、心理學等多學科協同作戰、優勢互補的一個典范，這是數學教育得以深入發展的重要保障，具有方向性的指導意義。教育說到底是人育，數學差生的轉化研究更體現了這一點。相對而言，935實驗在實驗的科學化，在界定、分類與轉化效果的“量化”上投入較多，但是科學的“定量”必須與情感的“定性”相

30、結合，才不致把思想教育的重大作用淹沒在浩瀚的數據之中，這一點是在推廣與學習935實驗時必須注意的。JSJ課 題“建構觀與數學教學”課題，取漢語拼音縮略為“JSJ”。從教育科研的角度看，這是一個夠規范的實驗。它只有一個指導性的理論框架，即（1）關注人，關注人的發展；（2）認識建構論；（3）數學結構的符號性與內容的多元性統一，并主張對各種教育理論、教學方法兼容并包。JSJ關心一點一滴的改革實踐，以滾雪球的方式在四五年中發展成一個包含七個子課題，二百余成員的大型教研集體。它們以事實告訴人們，數學教育研究需要創新也可以創新。這里僅就JSJ的部分成果略談一二。一、近十幾年來，對數學學習方法的研究日益受到人們的重視，許多學校還開設了相應的講座甚至納入了任意選修課。但JSJ課題組沒有就此滿足，他們提出應進一步研究“數學學習方法的教學方法”。于是一個“數學學習方法及其教學”子課題成立了，并在廣泛調查的基礎上學習建構論，制定實驗方案。讓我們聽一聽課題組的一些認識：（1）數學學習方法是科學與知識，但也是一種習慣，需要有一個養成過程；（2）數學學習方法不能也不必都教，只能選取一部分學習方法進行教學；（3）學生對數學學習方法的學習也是一個主動建構的過程，教師要耐心地分類指導從我們接觸到的一些案例看，這個子課題是很有特色的，如：基本知識