1、1、 問題描述（問題與假設）隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數比商人多, 就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?假設：1. 過河途中不會出現不可抗力的自然因素。  2. 當隨從人數大于商人數時，隨從們不會改變殺人的計劃。  3.船的質量很好，在多次滿載的情況下也能正常運作。  4. 隨從會聽從商人的調度。2、 問題模型與求解（公式、圖、表、算法或代碼等）模型的建立：x(k)第k次渡河前此岸的商人數   x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)第k次渡河前此岸的隨從

2、數   k=1,2,.s(k)= x(k), y(k)過程的狀態      S允許狀態集合u(k)第k次渡船上的商人數      u(k), v(k)=0,1,2; v(k) 第k次渡船上的隨從數      k=1,2. d(k)=( u(k), v(k)過程的決策   

3、0;   D允許決策集合D=u,v|u+v=1,2,u,v=0,1,2狀態因決策而改變s(k+1)=s(k)+(-1)k*d(k)狀態轉移律求d(k)D(k=1,2,.n),使s(k) S并按轉移律s(k+1)=s(k)+(-1)k*d(k)由（4,4）到達（0,0）數學模型：模型分析：由（2）（3）（5）可得 化簡得 關鍵代碼：clear clc n=3;m=3;h=2; m0=0;n0=0;ticLS=0; LD=0; for i=0:n for j=0:m if i>=j&n-i>=m-j|i=n|i=0 LS=LS+

4、1; S(LS,:)=i j; end if i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i=0) LD=LD+1; D(LD,:)=i j; end endendN=15;Q1=inf*ones(2*N,2*N);Q2=inf*ones(2*N,2*N);t=1;le=1;q=m n;f0=0; while f0=1&t<N k=1; u=; v=; for i0=1:le s0=q(i0,:); if f0=1 break end for i=1:LD s1=s0+(-1)t*D(i,:); if s1=m0,n0 u=m0,n0; v=D(i,:

5、); f0=1; break end for j=2:LS-1 if s1=S(j,:) if k=1 u(k,:)=s1; v(k,:)=D(i,:); k=k+1; break end if k>1 f1=0; for ii=1:k-1 if s1=u(ii,:) f1=1; break end end end if f1=0 u(k,:)=s1; v(k,:)=D(i,:); k=k+1; break end end end end end q=u;le=size(q,1);Q1(1:le,t*2-1:t*2)=q;Q2(1:le,t*2-1:t*2)=v;t=t+1; end t

6、r=t-1;saa1=u;LSF=zeros(tr,2);ANS=zeros(tr,2);for k=tr:-1:2 k1=k-1;f0=0; XMC=Q2(:,k*2-1:k*2); WIN=Q1(:,k1*2-1:k1*2); for i=1:2*N saa2=saa1-(-1)k*XMC(i,:); for j=1:2*N if saa2=WIN(j,:) saa1=saa2; sbb1=XMC(i,:); f0=1; break end end if f0=1 break end end LSF(k1,:)=saa1; ANS(k,:)=sbb1;endLSF(tr,:)=m0 n0;

7、ANS(1,:)=m,n-LSF(1,:);disp '初始態：'X0=m,ndisp '狀態：'LSFdisp '決策:'ANS3、結果分析與拓展（思考）通過合理的假設，巧妙的利用三維向量表示了商人、隨從、船的狀態，定義此岸允許狀態集合、彼岸允許狀態集合及決策變量集合，把此岸允許狀態集合和彼岸允許狀態集合的元素視為節點，這樣把抽象的多步驟決策問題轉化為圖論的求從起始節點到最終節點的所有路徑的問題簡化了模型。通過數學分析的方法解決實用問題，經過問題的提出、假設、分析和模型的建立、求解、檢驗等過程，解決了商人過河問題。通過課后延伸擴展，也可以解決多

8、個商人過河問題。作業6問題：中國人口總數x的1995-2015每隔5年的數據如下（億），用Logistic人口模型預測2020中國人口數量。x=12.11 12.67 13.08 13.41 13.71解析：Logistic模型的基本形式：dydx=rxt（1-x（t）N） （1）應用微分方程的分離變量法，可得（1）的解析解為：xt=N1+(Nx0-1)e- (2)為了計算（2）中的r、N，選擇t0、t1、t2三年的人口數據x0、x1、x2，期中t1-t0=t2-t1=，由x1=N1+(Nx0-1)e-（3）x2=N1+(Nx1-1)e- （4）得1x1=1N+(1x0-1N)e-1x2=1N

9、+(1x1-1N)e- 所以1x1-1x2=(1x0-1x1)e-（5）由（3）（5）得r=1ln1x0-1x11x1-1x2 N=1-e-1x1-1x0e-(6)由于數據取自19952015年，為此選擇1995、2005、2015間隔相等的三個年份x0=12.11、x1=13.08、x2=13.71，=10，代入式（6）得r=0.06682，N=14.2515 將r、N、x0代入式（2）得xt=14.25151+0.3464e-0.06682 (7)式（7）為我國人口數量的預測公式。把2020年份數據代入式（7），得預測值為13.76.作業5 傳染病模型傳染病SIR模型中假設傳染病有免疫性病

10、人治愈后即移出感染系統，稱移出者。進一步對SIR模型修改：如果治愈后的病人中有一部分（比率為，）仍為健康的易感染者，一部分（比率為1-）具有免疫力，不再感染，退出系統，建立模型。假設 （1）總人數N不變，易感染者和有免疫性的比例分別為：i(t)和s(t)； （2）每個病人每天有效接觸人數為，且使具有免疫性的人致病 日接觸率建模 t=t,di/dt 最大 tt：新增易感染者高潮時刻 （日接觸率）t作業4原油采購與加工問題問題分析：問題中關系到公司原油A和B的混合加工，如何進行原油加工和采購，目標是實現公司利潤最大化，兩種汽油的售價分別按照A的最低比比例進行定價，這里關系到了原油A和B的分配量和價

11、格的問題。問題的重點要分析原油A的采購價和購買量的關系是服從分段函數的關系，可以通過線性規劃處理問題。問題假設：由于問題只考慮到原油價的價格及購買量的問題，所以我們可以對原油B不給于考慮，而對于原油A的假設有以下幾種情況：（1） 混合加工的原油A在汽油甲乙里所占的比例都大于50%、60%，甚至可以達到100%；（2） 排除一切加工運輸原油A之中造成的原油損耗問題；（3） 1000t的原油A之中造成的原油損耗問題；（4） 原油A的市場價格應保持；（5） 購買原油A的超過量包括購買原油A的等于量；定義與符號說明：X 原油A的購買量C(x) 采購的支出X11 原油A用于生產甲的數量X12 原油A用于

12、生產乙的數量X21 原油B用于生產甲的數量X22 原油B用于生產乙的數量Max z 目標函數（利潤）模型的建立：設原油A的購買量為x噸，根據題意，采購價C(x)可列為如下的分段線性函數（單位：千元/噸）鋼管切割問題某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客要求切割后售出，從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管都是19米。現在有一客貨需要50根4m，20根6m，15根8m的鋼管，應該如何下料最節省？零售商如果采用的不同切割模式太多，將會導致復雜化，從而增加生產和管理成本，所以該零售商規定采用的不同三種切割模式不能超過3種。此外，該客戶需要（1）中的三種鋼管外，還需要10根5m的鋼管，應該如何下料。答：鋼管下

13、料的合理切割模式：4m鋼管根數6m鋼管根數8m鋼管根數余料模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023假設xi表示第i種模式切割的原料鋼管的根數。則一切割原料鋼管的總根數最少為目標，則有結束條件為（以下是函數組）：1、問題描述（問題與假設）兩位家長帶著孩子急匆匆來到醫院急診室.訴說兩小時前孩子一次誤吞下11片治療哮喘病、劑量100mg/片的氨茶堿片，已出現嘔吐、頭暈等不良癥狀.按照藥品使用說明書，氨茶堿的每次用量成人是100200mg，兒童是35 mg.過量服用可使血藥濃度(單位血液容積中的藥量)過高，100g/ml濃度會出現嚴重

14、中毒,200g/ml濃度可致命.醫生需要判斷：孩子的血藥濃度會不會達到100200g/ml；如果會達到，應采取怎樣的緊急施救方案. 假設：胃腸道中藥量x(t), 血液系統中藥量y(t)，時間t以孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）. 1）. 胃腸道中藥物向血液的轉移率與x(t) 成正比，比例系數(>0)，總劑量1100 mg藥物在t=0瞬間進入胃腸道.2）. 血液系統中藥物的排除率與y(t) 成正比，比例系數(>0)，t=0時血液中無藥物.3）. 氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為6 h. 4）. 孩子的血液總量為2000 ml. 解：（1）臨床施救的辦法，口服活性炭來吸附藥

15、物，可使藥物的排除率增加到原來（人體自身）的2倍。（2）體外血液透析，藥物排除率可增加到原來的6倍，但是安全性不能得到充分保證。2、 問題模型與求解（公式、圖、表、算法或代碼等）解：模型建立：口服藥物 腸胃道藥量x（t）轉移率正比于x 血液系統的藥量排除率正比于y 體外 X（t）下降的速度與x（t）本身成正比（比例系數y），總劑量1100mg藥物在t=0瞬間進入腸胃道，所以x（t）滿足微分方程：，x（0）=1100 （1）藥物從胃腸道向血液系統的轉移相當于血液系統對藥物的吸收，y（t）由于吸收作用而增長的速度是x，由于排除而減少的速度與y（t）本身成正比（比例系數），t=0時血液中無藥物，所以y（t）滿足微分方程: （2）模型求解：由上面公式（1）得 藥物吸收的半衰期為5小時，即x(5)=x(0)/ 2 （3）由公式（2）（3）得 藥物排除的半衰期為6小時，當只考慮血液對藥物的排除時，有3、結果分析與拓展（思考）利用MATLAB軟件，對于y(t)=6a(e-0.1155t - e-0.1386t) ，x(