1、 阜陽師范學院信息工程學院Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan本科畢業(yè)論文 題 目: 數(shù)學分析中求極限的幾種常用方法 學 生: 方 常 學 號： 201002010312 學 院： 阜陽師范學院信息工程學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 入學時間: 2010 年 09 月 13 日指導教師： 王海坤 職稱: 教授 完成日期： 2014 年 4 月 20 日誠信承諾書 我謹在此承諾:本人所寫的畢業(yè)論文數(shù)學分析中求極限的幾種常用方法均系本人獨立完成，凡涉及其他作者的觀點和材料均作了注釋。如有不實，本人愿承擔相應后果，接受學校的處理。承諾人（簽名）

2、年 月 日目錄摘要、關鍵字 （1）1 引言 （1）2 極限的求法 （1）2.1 利用兩個準則求極限（1）2.2 利用導數(shù)的定義求極限（2）2.3 利用兩個重要極限公式求極限（3）2.4 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限（3）2.5 利用等價無窮小量代換求極限（4）2.6 利用泰勒展開式求極限（4）2.7 利用洛必達法則求極限（5）2.8 利用定積分求極限 （6）3 結束語 （6）參考文獻 （7）數(shù)學分析中求極限的幾種常用方法姓名：方常 學號：201002010312 指導教師：王海坤摘要：極限思想是許多科學領域的重要思想之一，在數(shù)學分析中的應用最為廣泛。因為極限的重要性，從而怎樣求極限也顯得尤其重要。對

3、于一些簡單的極限，直接用定義和相關的公式就可以求解，但是對于一些復雜的極限，直接按極限的定義來求就顯得非常局限，不僅難以計算，而且最后也容易算錯。為了能夠更好地解決極限的求解問題，本文介紹了幾種常用求極限的方法，并且每種方法后面都附以實例來說明方法中蘊涵的數(shù)學思想。關鍵詞：夾逼準則 單調有界準則 無窮小量的性質 洛必達法則 定積分 泰勒展開式 1. 引言 極限是數(shù)學分析中極其重要的概念，計算極限的方法有很多種，但是在實際應用中很難把握，本文試對數(shù)學分析中極限的幾種重要求法作以總結，本文中介紹了8類典型極限問題的解法，介紹每種類型時，先把該種類型所要用到的知識點簡單介紹，接著附以例題和解答，以便

4、及時掌握和熟練應用。本文共有10道例題，希望能有一定的參考價值，同時也以期對極限問題有一個較為清晰的認識。2.極限的求法2.1利用兩個準則求極限2.1.1函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）.若一正整數(shù) N,當n>N時，有且則有.例1：求極限的值，其中解:由此可知： 而 ，所以由迫斂性知：2.1.2單調有界準則.單調有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一.例2：設。則的極限是否存在, 若存在求此極限。解: 由及知。設， 則所以對一切自然數(shù), 都有，即數(shù)列單調下降, 由已知易見即有下界。則由上述準則知：的極限存在。令對兩邊取極限，有所以有解得,或。因為，所以，舍去,故2.2利用導數(shù)的定義求極限我們知道，函

5、數(shù)在點處的導數(shù)為，利用這一點我們可以某些極限。例3：求的極限解：原式=2.3利用兩個重要極限公式求極限 它們的變形為： 例4：求 （2）原式2.4利用函數(shù)的連續(xù)性求極限對于某些連續(xù)函數(shù)，可利用其連續(xù)性求解。例5： 求 解：（1）由題意知：函數(shù)在處連續(xù)，故有：（2）由，故可令，因此有：2.5利用等價無窮小量代換求極限常見等價無窮小有：當 時,；例6： 1) 2) 3) 1) 解：由于，故原式=2） 解：當時，故原式=3） 解：當時，故原式=2.6利用泰勒展開式求極限常用泰勒公式有：(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7) 例7：求極限.解：由于上式極限中，并且又由泰勒展式有，于是 ，故原式=

6、2.7利用洛必達法則求極限對于型和型的極限往往要用洛必達法則求，對于其它類型的極限往往也能化為這兩種類型，在做題目時要留心觀察。例8：求極限解：這種情況屬于型的，故由洛必達法則有例9：求解：這種情況屬于型的，故由洛必達法則有：原式=2.8利用定積分求極限對于通項中含有n!的數(shù)列極限，我們往往把它轉化為定積分來求。例10：求極限：解：我們可作作如下變形： 不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個積分和（這里所取得是等分分割，）。所以 當然，也可把看作在上的定積分，同樣有 3.結束語綜上所述，求極限有很多種方法，所以要求我們在求極限問題時，要根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)姆椒ǎ@樣不但能節(jié)省許多時間，

7、而且也能提高做題的準確率。本文所列舉的8種題型都是非常典型的，雖然還沒有總結完全，但是有一定的參考價值。同時我們需要繼續(xù)努力，總結極限的求解方法。參考文獻1華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析M.北京:高等教育出版社，2001：42-64.2復旦大學數(shù)學系編.數(shù)學分析M.北京:高等教育出版社，1985：35-48.3錢吉林.數(shù)學分析題解精粹M.湖北:長江出版集團，2003：17-111.4裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，1993：88-102.5陳紀修,於崇華.數(shù)學分析M.北京：高等教育出版社，1999（2004重印）：90-114.6蔡子華.數(shù)學復習大全M.上海:現(xiàn)代出

8、版社,2005：30-75.7馮麗珠，變形法求極限的變法技巧N.武漢職業(yè)技術學院學報，2003-3-4(35-36).8李小光，求極限的若干技巧N.西安航空技術高等專科學校學報，2002-3-12(20-21).9程其蘘，實變函數(shù)與泛函分析基礎M.北京：高等教育出版社，1983：102-11010宋蔡健，胡進.用積分法求解某一類特殊的和式極限N.南京工業(yè)職業(yè)學院學報.2003-5-9(85-87).Limit in the mathematical analysis of several commonly used methodsName: Fangchang Student Number:

9、201002010312 Advisor: Wang HaikunAbstract: Limit thought is one of the important concepts in many fields of science, applied in mathematical analysis is the most widely. Because of limit importance, thus how to solve the limit also appears especially important. For some simple limit, the direct use

10、of definition and relevant equations can be solved, but for some complex limit, defers to the limit the definition to ask appears directly limits, not only it is difficult to calculate, and finally can easily be wrong. In order to solve asks the limit the question, this article also introduced computation limit several methods, and by the example explained in the method