1、難題突破專題二“K”字型相似研究相似基本圖形中除了常見的“A” 字型、 “X” 字型相似外，還有一個“K” 字型相似，也常用于各種相似圖形中“K”字型相似由特殊到一般，題型往往豐富多彩，也是近幾年浙江省中考題中常見的一種基本圖形了解一個基本圖形，有助于我們在復雜圖形中滲透其中的奧秘，從而找到解決問題的突破口類型 1 “K”字型相似基本圖形1圖 Z2 11 條件：如圖Z21，B，C，E三點共線，BACDE90結論：ABCCED.證明：例題分層分析(1) 證明兩個三角形相似有哪些方法？(2) 除了BEACD之外，圖中還可以找出哪些角相等？【應用】如圖Z22，已知點A(0 ，4) ，B(4， 1)

2、，BCx軸于點C，點P為線段OC上一點，且PAPB，則點 P的坐標為 圖 Z2 2例題分層分析(1) 根據“K”字型相似，圖中可以找到哪兩個三角形相似？根據相似三角形又可以得到怎樣的比例式？(2) 設 P(x， 0) ，則根據比例式列出方程即可求得x 的值，從而得到點P 的坐標解題方法點析“ K”字型相似基本圖形1，在于尋找三個直角相等，熟記基本圖形有利于快速找到相似三角形，從而通過建立方程解決問題類型 2 “ K”字型相似基本圖形22 條件：如圖Z23，B，D，C三點共線，BEDFC .圖 Z2 3結論：BDECFD.證明：例題分層分析(1) “ K”字型相似基本圖形2 與基本圖形1 有何聯

3、系？(2) 如何證明ECDF?1如圖Z24，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，CBOA，OCBA，OA 7，BC1 ，AB5，點P 為x軸上的一個動點，點P 不與點O， A重合連結CP，過點P 作 PD交 AB于點D.Z2 4Z2 5(1) 直接寫出點B的坐標：；(2) 當點 P在線段OA上運動時，使得CPDOAB，且BD AD 3 2，求點P的坐標例題分層分析(1) 過點 B作BQx軸于點Q，依題意可得OQ4，AQ3，已知AB5，根據勾股定理求出QB即可解答(2) 根據“K”字型相似，圖中可以找到哪兩個三角形相似？根據相似三角形又可以得到怎樣的比例式？2如圖Z2 5，已知直線（1）

4、求直線 y kx 的函數表達式和線段OA的長度（2） 若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點 E在線段OA上（與點O，A不重合） ， 點D（ m，0）是 x軸正半軸上的動點，且滿足BAEBED AOD. 探究：m在什么范圍內時，符合條件的點E分別有 1 個、 2 個？例題分層分析（1） 利用待定系數法求出直線y kx 的函數表達式，根據A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度（2） 延長AB交 x 軸于點F，由BAEAOD可求出點F的坐標為，進而再求得點B的坐標為，然后由兩點間距離公式可求得線段AB的長為 ；由已知條件BAEBEDAOD， 可得到“K” 字型相似的基本圖形2，故可得到， 設OE a，則

5、由對應邊的比例關系可以得到 從而得到關于a 的一元二次方程為，然后根據根的判別式可以分別得到a 的值分別為1 個、 2 個時 m的取值范圍解題方法點析（3） K”字型相似基本圖形2，根據三個角相等，聯想到“K”字型基本圖形1，便于快速找到相似三角形，從而利用相似的有關性質解決問題專題訓練1 2017常州 如圖 Z26，已知矩形ABCD的頂點A，D分別落在x軸、 y軸上， OD2OA 6，AD AB 31，則點C的坐標是（）A（2 ， 7）B （3 ，7） C （3 ，8） D （4 ， 8）Z2 62如圖Z27，在矩形ABCD中，把DA沿AF對折，使得點D與CB邊上的點E重合，若AD10，AB

6、8，則EF圖Z2 73 2017攀枝花 如圖Z28，D是等邊ABC邊AB上的點，AD2，BD4. 現將ABC折疊，使得點C與點DCF重合，折痕為EF，且點E， F 分別在邊AC和 BC上，則CEZ2 84如圖Z29，在直角梯形ABCF中，CB14，CF4，AB6，CFAB，在邊CB上找一點E，使以E，A， B 為頂點的三角形和以E， C， F 為頂點的三角形相似，則CEZ2 95如圖Z210，在直角梯形ABCD中，A90，B120，AD3，AB6. 在底邊 AB上取點E，在射線DC上取點F，使得DEF 120 .(1) 當點E是 AB的中點時，線段DF的長度是(2) 若射線EF經過點C，則AE

7、的長是6 2017綿陽 將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖Z2 11 所示放置，點D 在 AB邊上，DEF繞點D旋轉，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點若CA5，AB6，ADAB13，則12MD MA DN的最小值為Z2 117如圖Z212，在四邊形ABCD中，已知ADBC，B90，AB7，AD9，BC12，在線段BC上任取一點E，連結DE，作EF DE，交直線AB于點F.(1) 若點 F 與 B 重合，求CE的長；(2) 若點F 在線段AB上，且AF CE，求CE的長Z2 128如圖Z213，在ABC中，ABAC，點P，D分別是BC，AC邊上的點，且APDB.(1

8、) 求證：AC CD CP BP；(2) 若 AB 10， BC 12，當PD AB時，求BP的長Z2 13Z2 15(1) 如圖Z2 14，當點(2) 如圖Z2 14，當點9 2017天水ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的頂點E與 ABCBC的中點重合，將DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點 Q.Q在線段AC上，且AP AQ時，求證：BPECQE.Q在線段CA的延長線上時，求證：BPECEQ；并求當BP 2， CQ 9 時 BC的長10在ABC中，AB AC，BAC 120， P為 BC的中點，小明拿著含有3

9、0角的透明直角三角板，使 30角的頂點落在點P上，三角板繞點P旋轉(1) 如圖Z215，當三角板的一直角邊和斜邊分別與AB，AC交于點E，F 時，連結EF，請說明BPECFP.(2) 操作：將三角板繞點P 旋轉到圖的情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E， F，連結EF.探究1：BPE與CFP相似嗎？請說明理由；探究2：BPE與PFE相似嗎？請說明理由圖 Z2 15參考答案類型 1 “K”字型相似基本圖形1例 1 【例題分層分析】(1) 證明兩個三角形相似常用的判定方法有：兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似等(2

10、) 根據余角的性質還可以得到ADCE， ACBD，從而可證得ABCCED.證明：證明過程略應用(1) 根據“K”字型相似，可得到AOP PCB，所以AO OPPC CB.(3) 設P(x，0)，因為AOOC4，BC1，所以OPx，PC4x，所以4 x，解得x2，從而得到點P的坐4 x 1標為 (2 ， 0) 答案 （2 ， 0） 解析 PA PB，APO BPC 90 . AO x 軸，APOPAO 90，PAOBPC.又BC x軸，AO x軸，BCP POA 90，AO OPBCPPOA，.PC CB點A（0，4），B（4，1） ，AO4，BC1，OC4.設 P（x， 0），則OP x， P

11、C 4 x，4x ，解得x 2，點 P的坐標為（2， 0）4 x 1類型 2 “ K”字型相似基本圖形2例 2 【例題分層分析】（1） 兩個圖形都有三個角相等，基本圖形1 是三個直角相等，而基本圖形2 是基本圖形1 的一般情況，更具普遍性，“K” ，因此稱之為“K”字型相似圖形（2） BEDFC ，由外角性質可知EDC BE E.又EDCEDFFDC CDF，ECDF.證明：BEDFC ，由外角性質可知EDC BE E.又EDCEDFFDC FDC，EFDC.又 BC，BDECFD.應用 1（1） 過點 B作 BQ x軸于點Q，易求得BQ 4，故得到點B的坐標為（4， 4） （3） 由“K”字

12、型相似可得到POCDAP，OC OP 所以AP AD，2設OPx，OCAB5，ADAB2，AP7x，5x，解得 5x 2 或x 5，P 的坐標為（2 ， 0） 或 （5 ， 0） （1） 過點B 作 BQ x 軸于點 Q.AB OC，AQ （7 1） 2 3，Rt BQA中，BA 5，BQ AB2 AQ2 4，B 的坐標為（4 ， 4） (2) CPAOCPCOP，即CPDDPACOPOCP，而CPDOABCOP，OCP APD，OCP APD，OC OP.AP ADBD 3 ，AD 2.AD 2設 OP x， OC AB 5， AP 7 x，75x x2，解得x 2 或 x 5，P 的坐標為

13、（2 ， 0） 或 （5 ， 0） 應用 2（1） 直線y kx 的函數表達式為y 2x， OA32 62 35.15（2） 點 F 的坐標為（ 2 ， 0） ，點B 的坐標為（6 ， 2） ，AB 5.根據“K”字型相似的基本圖形2，可得到ABEOED，設OEa，則AE35a（0 a0， 0，即（ 35） 2 20m 0， m 94時，符合條件的點E 有 1 個； 0，即（ 35）220m0，0m49時，符合條件的點E有2個解： （1） 把點A（3 ， 6） 的坐標代入y kx，得6 3k，k 2，y 2x， OA32 62 3 5.（3） 如圖，延長AB交x 軸于點F，過點F作FCOA于點

14、C，過點A作ARx軸于點R.AOD BAE，AF OF，13OC AC 2OA 25.AROFCO 90，AORFOC，AOR FOC，OOFC AOOR 3 3 5 5，OF 23 5 5 125，F 的坐標為125， 0 .設直線AF的函數表達式為y ax b(a 0)，把點A(3， 6)，F125，40 的坐標代入，解得a3， b 10，y43x 10，y4x 10，34 2 22 解得 y27x 3 ，x1 3，x2 6，（ 舍去 ） ，y1 6y2 2，B（6 ， 2） ，AB 5.BAE BED，ABE BAE DEO BED，ABE DEO.BAEEOD，ABEOED.設OE a

15、，則AE35 a（0 a0， 0，即( 35) 2 20m 0， m 94時，符合條件的點E 有 1 個；專題訓練 0，即( 35) 2 20m 0， 0 m 94時，符合條件的點E有 2個51 A 2.53.4284 2 或 12 或 解析 兩個三角形相似，可能是EFCEAB，也可能是EFCAEB，所以應分兩種情況討5論，進而求CE的值即可5 (1)6(2)2 或 5 解析 (1) 過點 E作 EG DF，由E是 AB的中點，得出DG 3，從而得出DEG 60，由FGDEF 120，得FEG 60，由tan FEG，即可求出GEGF的長，進而得出DF的長6 ) 過點B作 BH DC，延長AB

16、，過點C作 CM AB于點M，則BH AD 3，再由銳角三角函數的定義求出CH及 BCAE x，則BE 6 x，利用勾股定理用x 表示出DE及 EC的長，再判斷出EDCBCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出關于x 的方程，求出x的值即可6. 2不 解析先求出AD=2, BD=4,由“K”字型相似可得似，根據相似三角形對應邊成比MA MD例可得亞而求出MA- Dhh4MD再將所求代數式整理得出完全平方的形式，然后根據非負數的性質求出最小值即可.7.解：(1)當點F和B重合時, EFXD . DELBCZ B= 90 , ABL BQ .AB/ DE . AD/ BQ四邊形ABEO平行四邊形,

17、AD=EF=9, . CE= BC-EF=12-9=3.(2)過點D作DML BCT點M/ B=90 ,AE BQ. DM/ AB-. AD/ BQ一四邊形ABM誕矩形,AD= BM=9, AB= DM= 7, CM=12-9 = 3.設 AF=CE=a,則 B 曰 7 a, EM=a-3, BE=12-a,可證 FBEA EMQ解得a=5或a=17.點F在線段AB,. AF=CEAB=7, .CE=5.8.解： 證明：APG= Z PAB Z B,/ APD= Z B,Z DPG= Z PAB又 AB= AQ . AB母/ PCDA AAB BP. ABPAPCD,CP CDAC BP，AC CD CP BP.CP CD(2) PD AB，DPC B，PABB，又BC，PABC.又PBAABC，BP ABPBAABC，AB BCAB2 102 25 BP BC 12 3 .9解：(1) 證明：ABC是等腰直角三角形，BC 45 ，AB AC， AP AQ，BP CQ， E 是 BC的中點，BE CE，BE CE，在BPE和CQE中， BC，BP CQ，BPECQE(SAS)；(2) ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BCDEF 45，BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP 45 EQC 45 ，BEPEQC，BP