1、數學競賽知識點整理上海市初中數學競賽知識點整理*組合恒等式*6圖論一正整數A的p進制表示：，其中且。而仍然為十進制數字，簡記為。二整除在數學競賽中如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所采用的字母也表示整數。定義：設是給定的數，若存在整數，使得則稱整除，記作，并稱是的一個約數(因子)，稱是的一個倍數，如果不存在上述，則稱不能整除記作 。由整除的定義，容易推出以下性質：(1)若且，則(傳遞性質)；(2)若且，則即為某一整數倍數的整數之集關于加、減運算封閉。若反復運用這一性質，易知及，則對于任意的整數有。更一般，若都是的倍數，則。或著，則其中；(3)若，則或者，或者，因此若且，則；(4)互質，

2、若，則；(5)是質數，若，則能整除中的某一個；特別地，若是質數，若，則；(6)(帶余除法)設為整數，則存在整數和，使得，其中，并且和由上述條件唯一確定；整數被稱為被除得的(不完全)商，數稱為被除得的余數。注意：共有種可能的取值：0,1，。若，即為被整除的情形；易知，帶余除法中的商實際上為（不超過的最大整數），而帶余除法的核心是關于余數的不等式：。證明的基本手法是將分解為與一個整數之積，在較為初級的問題中，這種數的分解常通過在一些代數式的分解中取特殊值而產生，下面兩個分解式在這類論證中應用很多。若是正整數，則；若是正奇數，則；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一項外，其余各項均為的倍數，則

3、這一項也是的倍數；(8)n個連續整數中，有且只有一個是n的倍數；(9)任何n個連續的整數之積一定是n!的倍數，特別地，三個連續的正整數之積能被6整除；三數的性質1奇數、偶數有如下性質：(1)奇數奇數=偶數，偶數偶數偶數，奇數偶數奇數，偶數偶數偶數，奇數偶數偶數，奇數奇數奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差仍為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數，奇數與偶數的和為奇數，和為偶數；（2）奇數的平方都可以表示成的形式，偶數的平方可以表示為或的形式；（3）任何一個正整數，都可以寫成的形式，其中為負整數，為奇數。（4）若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶

4、數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；偶數的平方根若是整數，它必為偶數。2完全平方數及其性質能表示為某整數的平方的數稱為完全平方數，簡稱平方數。平方數有以下性質與結論：（1）平方數的個位數字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除余1，即任何平方數被4除的余數只有可能是0或1；（3）奇數平方的十位數字是偶數；（4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6；（5）不能被3整除的數的平方被3除余1，能被3整數的數的平方能被3整除。因而，平方數被9也合乎的余數為0,1，4,7，且此平方數的各位數字的和被9除的余數也只能是0,1，4,

5、7；（6）平方數的約數的個數為奇數；（7）任何四個連續整數的乘積加1，必定是一個平方數。（8）設正整數之積是一個正整數的次方冪（），若（）1，則都是整數的次方冪。3.整數整除性的一些數碼特征（即常見結論）（1）若一個整數的未位數字能被2（或5）整除，則這個數能被2（或5）整除，否則不能；（2）一個整數的數碼之和能被3（或9）整除，則這個數能被3（或9）整除，否則不能；（3）若一個整數的未兩位數字能被4（或25）整除，則這個數能被4（或25）整除，否則不能；（4）若一個整數的未三位數字能被8（或125）整除，則這個數能被8（或125）整除，否則不能；（5）若一個整數的奇位上的數碼之和與偶位上的數

6、碼之和的差是11的倍數，則這個數能被11整除，否則不能。4.質數與合數及其性質1正整數分為三類：（1）單位數1；（2）質數（素數）：一個大于1的正整數，如果它的因數只有1和它本身，則稱為質（素）數；（3）如果一個自然數包含有大于1而小于其本身的因子，則稱這個自然數為合數。2有關質（素）數的一些性質（1）若，則的除1以外的最小正因數是一個質（素）數。如果，則；（2）若是質（素）數，為任一整數，則必有或（）1；（3）設為個整數，為質（素）數，且，則必整除某個（）；（4）（算術基本定理）任何一個大于1的正整數，能唯一地表示成質（素）因數的乘積（不計較因數的排列順序）；（5）任何大于1的整數能唯一地寫

7、成的形式，其中為質（素）數（）。上式叫做整數的標準分解式；（6）若的標準分解式為，的正因數的個數記為，則推論1.若的標準分解式是（1）式，則是的正因數的充要條件是：（2）應說明（2）不能稱為是的標準分解式，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某個素因數，因而）推論2.設，且，若是整數的次方，則也是整數的次方。特別地，若是整數的平方，則也是整數的平方。四最大公約數與最小公倍數最大公約數與最小公倍數是數論中的一個重要的概念，這里我們主要討論兩個整數互素、最大公約數、最小公倍數等基本概念與性質。定義1.（最大公約數）設不全為零，同時整除的整數（如）稱為它們的公約數。因為不全為零，故只有有限多

8、個，我們將其中最大一個稱為的最大公約數，用符號（）表示。顯然，最大公約數是一個正整數。當（）1（即的公約數只有）時，我們稱與互素（互質）。這是數論中的非常重要的一個概念。同樣，如果對于多個（不全為零）的整數，可類似地定義它們的最大公約數（）。若（）1，則稱互素。請注意，此時不能推出兩兩互素；但反過來，若（）兩兩互素，則顯然有（）1。由最大公約數的定義，我們不難得出最大公約數的一些簡單性質：例如任意改變的符號，不改變（）的值，即；（）可以交換，（）（）；（）作為的函數，以為周期，即對于任意的實數，有（）（）等等。為了更詳細地介紹最大公約數，我們給出一些常用的一些性質：（1）設是不全為0的整數，則

9、存在整數，使得；（2）（裴蜀定理）兩個整數互素的充要條件是存在整數，使得；事實上，條件的必要性是性質（1）的一個特例。反過來，若有使等式成立，不妨設，則，故及，于是，即，從而。（不作要求）（3）若，則，即的任何一個公約數都是它們的最大公約數的約數；（4）若，則；（5）若，則，因此兩個不互素的整數，可以自然地產生一對互素的整數；（6）若，則，也就是說，與一個固定整數互素的整數集關于乘法封閉。并由此可以推出：若，對于有，進而有對有。（7）設，若，則；（8）設正整數之積是一個正整數的次方冪（），若（）1，則都是整數的次方冪。一般地，設正整數之積是一個正整數的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數的次方

10、冪。定義2.設是兩個非零整數，一個同時為倍數的數稱為它們的公倍數，的公倍數有無窮多個，這其中最小的一個稱為的最小公倍數，記作，對于多個非零實數，可類似地定義它們的最小公倍數。最小公倍數主要有以下幾條性質：（1）與的任一公倍數都是的倍數，對于多于兩個數的情形，類似結論也成立；（2）兩個整數的最大公約數與最小公倍滿足：（但請注意，這只限于兩個整數的情形，對于多于兩個整數的情形，類似結論不成立）；（3）若兩兩互素，則；（4）若，且兩兩互素，則。五高斯函數數論函數，稱為高斯函數，又稱取整函數. 它是數學競賽熱點之一.定義一：對任意實數是不超過的最大整數，稱為的整數部分.與它相伴隨的是小數部分函數由、的

11、定義不難得到如下性質：（1）的定義域為R，值域為Z；的定義域為R，值域為（2）對任意實數，都有.（3）對任意實數，都有.（4）是不減函數，即若則是以1為周期的周期函數 （5）.其中.（6）；特別地，（7），其中；一般有；特別地，. （8），其中. (9) 若，則請注意，此式雖然被寫成了無限的形式，但實際上對于固定的，必存在正整數，使得，因而，故，而且對于時，都有。因此，上式實際上是有限項的和。另外，此式也指出了乘數的標準分解式中，素因數的指數的計算方法。（10）對正實數有：（11）對整數，對于，六同余定義1.（同余）設，若，則稱和對模同余，記作；若不然，則稱和對模不同余，記作。當時，則稱是對模

12、的最小非負剩余。由帶余除法可知，和對模同余的充要條件是與被除得的余數相同。對于固定的模，模的同余式與通常的等式有許多類似的性質：性質1. 的充要條件是也即。性質2.同余關系滿足以下規律：（1）（反身性）； （2）（對稱性）若，則；（3）（傳遞性）若，則；（4）（同余式相加）若，則；（5）（同余式相乘）若，則；反復利用（4）（5），可以對多個兩個的（模相同的）同余式建立加、減和乘法的運算公式。特別地，由（5）易推出：若，為整數且，則；但是同余式的消去律一般并不成立，即從未必能推出，可是我們卻有以下結果：（6）若，則，由此可以推出，若，則有，即在與互素時，可以在原同余式兩邊約去而不改變模（這一點再

13、一次說明了互素的重要性）。現在提及幾個與模相關的簡單而有用的性質：（7）若，則；（8）若，則；（9）若，則，特別地，若兩兩互素時，則有；性質3.若，則；性質4.設是系數全為整數的多項式，若，則。這一性質在計算時特別有用：在計算大數字的式子時，可以改變成與它同余的小的數字，使計算大大地簡化。八中國剩余定理（不作要求）設是兩兩互素的正整數，那么對于任意整數，一次同余方程組，必有解，且解可以寫為：這里，以及滿足，（即為對模的逆）。九不定方程1不定方程問題的常見類型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。2解不定方程問題常用的解法：（1）代

14、數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；（3）同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；（4）構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；（5）無窮遞推法。以下給出幾個關于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（組）定義1.形如(不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程。定理1.方程有解的充要是 方法與技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求一個特解，從而寫出通解。當不定方程系數不大時，有時可以通過觀察法求得其

15、解，即引入變量，逐漸減小系數，直到容易得其特解為止；2個元一次不定方程組成的方程組，其中，可以消去個未知數，從而消去了個不定方程，將方程組轉化為一個元的一次不定方程。（二）高次不定方程（組）及其解法1因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然后對比兩邊，轉而求解若干個方程組；2同余法：如果不定方程有整數解，則對于任意，其整數解滿足，利用這一條件，同余可以作為探究不定方程整數解的一塊試金石；3不等式估計法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的范圍，再分別求解；方法與技巧：1因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理論基礎是整數的唯一分解定理，分解法作為解題的一種手段，沒有因定的

16、程序可循，應具體的例子中才能有深刻地體會；2同余法主要用于證明方程無解或導出有解的必要條件，為進一步求解或求證作準備。同余的關鍵是選擇適當的模，它需要經過多次嘗試；3不等式估計法主要針對方程有整數解，則必然有實數解，當方程的實數解為一個有界集，則著眼于一個有限范圍內的整數解至多有有限個，逐一檢驗，求出全部解；若方程的實數解是無界的，則著眼于整數，利用整數的各種性質產生適用的不等式；（三）特殊的不定方程1利用分解法求不定方程整數解的基本思路：將轉化為后，若可分解為，則解的一般形式為，再取舍得其整數解；2定義2：形如的方程叫做勾股數方程，這里為正整數。對于方程，如果，則，從而只需討論的情形，此時易

17、知兩兩互素，這種兩兩互素的正整數組叫方程的本原解。定理3.勾股數方程滿足條件的一切解可表示為：，其中且為一奇一偶。推論：勾股數方程的全部正整數解（的順序不加區別）可表示為：其中是互質的奇偶性不同的一對正整數，是一個整數。十.其他：（1）整數的離散性：任何兩個整數之間至少相差1，即（2）有理數運算的封閉性（略）（3）約數和定理：設，n的標準分解式為：那么：（4）歐幾里得輾轉相除法 （5）定理 對任意的正整數，有定理 互素的簡單性質： （1）（2）（3）（4）若是一個素數，是任意一個整數，且不能被整除，則定理 若，則， 定理 任何整數都可以表示為補充資料(13)將軍飲馬問題組合幾何函數名稱函數的記

18、號函數的圖形函數的性質指數函數 a):不論x為何值,y總為正數; b):當x=0時,y=1.冪函數a為任意實數這里只畫出部分函數圖形的一部分。 令a=m/n a):當m為偶數n為奇數時,y是偶函數; b):當m,n都是奇數時,y是奇函數; c):當m奇n偶時,y在(-,0)無意義.三角函數(正弦函數) 這里只寫出了正弦函數 a):正弦函數是以2為周期的周期函數 b):正弦函數是奇函數且導數的定義：設函數在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內)時，相應地函數有增量，若y與

19、x之比當x0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導數。記為：還可記為：，函數在點x0處存在導數簡稱函數在點x0處可導，否則不可導。若函數在區間(a,b)內每一點都可導，就稱函數在區間(a,b)內可導。這時函數對于區間(a,b)內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數，這就構成一個新的函數，我們就稱這個函數為原來函數的導函數。    注：導數也就是差商的極限左、右導數前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數的概念。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的左導數。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的右導數。注：函數在x0處的左右導數存在且相等是函數在x0處的可導的充分必要條件函數的和、差求導法則函數的和差求導法則   法則：兩個可導函數的和(差)的導數等于這兩個函數的導數的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導函數。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數的積商求導法則