1、§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算最新考綱考情考向分析1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.主要考查平面向量的線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘向量)及其幾何意義、共線向量定理，常與三角函數(shù)、解析幾何交匯考查，有時(shí)也會(huì)有創(chuàng)新的新定義問(wèn)題；題型以選擇題、填空題為主，屬于中低檔題目.偶爾會(huì)在解答題中作為工具出現(xiàn).1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算| a|a|，當(dāng)>0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共線定理向量b與非

3、零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.概念方法微思考1.假設(shè)b與a共線，那么存在實(shí)數(shù)使得ba，對(duì)嗎提示不對(duì)，因?yàn)楫?dāng)a0，b0時(shí)，不存在滿足ba.2.如何理解數(shù)乘向量a.提示a的大小為|a|a|，方向要分類討論：當(dāng)>0時(shí)，a與a同方向；當(dāng)<0時(shí)，a與a反方向；當(dāng)0或a為零向量時(shí)，a為零向量.題組一思考辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“×)(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.()(2)假設(shè)ab，bc，那么ac.(×)(3)假設(shè)向量與向量是共線向量，那么A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.(×)(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b

4、共線時(shí)，一定有ba，反之亦成立.()題組二教材改編2.ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且a，b，那么_，_.(用a，b表示)答案baab解析如圖，ba，ab.3.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，假設(shè)22，那么四邊形ABCD的形狀為_(kāi).答案梯形解析22，2()，即2，且|，四邊形ABCD是梯形.題組三易錯(cuò)自糾4對(duì)于非零向量a，b，“ab0是“ab的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)ab0，那么ab，所以ab.假設(shè)ab，那么ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件5設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，那么實(shí)數(shù)_.答案解

5、析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab與a2b平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab(a2b)成立，即aba2b，那么解得.6(2022·德州模擬)如下列圖，在ABC中，ADAB，BEBC，那么等于()A.B.C.D.答案D解析()，應(yīng)選D.平面向量的概1.給出以下命題：假設(shè)兩個(gè)向量相等，那么它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；假設(shè)A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且，那么ABCD為平行四邊形；ab的充要條件是|a|b|且ab；，為實(shí)數(shù)，假設(shè)ab，那么a與b共線.其中真命題的序號(hào)是_.答案解析錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，那么兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；正確，因?yàn)椋?/p>

6、|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；錯(cuò)誤，當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件；錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線.故填.2.判斷以下四個(gè)命題：假設(shè)ab，那么ab；假設(shè)|a|b|，那么ab；假設(shè)|a|b|，那么ab；假設(shè)ab，那么|a|b|.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案A解析只有正確.思維升華向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相

7、等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線.平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義例1 (2022·全國(guó))設(shè)非零向量a，b滿足|ab|ab|，那么()A.abB.|a|b|C.abD.|a|>|b|答案A解析方法一利用向量加法的平行四邊形法那么.在ABCD中，設(shè)a，b，由|ab|ab|知，|，從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.應(yīng)選A.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a·ba2b22a·b.a·b0.ab.應(yīng)選A.命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算例2(202

8、2·運(yùn)城模擬)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BE與AC的交點(diǎn)為F，設(shè)a，b，那么向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab，應(yīng)選C.命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例3(2022·山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬)在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，假設(shè)，那么等于()A1B.C.D.答案D解析在ABD中，BDAB1，又BC3，BDBC，O為AD的中點(diǎn)，.，.應(yīng)選D.思維升華平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法那么.(2)求向量的和或差.共起點(diǎn)

9、的向量求和用平行四邊形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相連向量的和用三角形法那么.(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.跟蹤訓(xùn)練1(2022·河北省衡水中學(xué)模擬)如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于點(diǎn)E，那么等于()A.B.C.D.答案A解析因?yàn)镈CAB，BCCDDA，DEAC，所以E是AC的中點(diǎn)，可得()，應(yīng)選A.(2)在ABC中，D為BC上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，假設(shè)，那么等于()A.BC.D答案B解析()，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以，解得，.應(yīng)選B.共線定理的應(yīng)用例4 O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且m

10、n(m，nR).(1)假設(shè)mn1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)假設(shè)A，P，B三點(diǎn)共線，求證：mn1.證明(1)假設(shè)mn1，那么m(1m)m()，m()，即m，與共線.又與有公共點(diǎn)B，那么A，P，B三點(diǎn)共線.(2)假設(shè)A，P，B三點(diǎn)共線，那么存在實(shí)數(shù)，使，().又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共線，不共線，mn1.思維升華利用共線向量定理解題的策略(1)abab(b0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(3)假設(shè)a與b不共線且ab，那么0.(4)(，為實(shí)數(shù))，假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，那么1.跟蹤訓(xùn)練2 (1)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.假設(shè)

11、kab與akb共線，那么k_.答案±1解析kab與akb共線，那么存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，kk10.消去，得k210，k±1.(2)如下列圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于不同的兩點(diǎn)M，N，假設(shè)m，n，那么mn的值為()A.1B.2C.3D.4答案B解析方法一連接AO，那么()，因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以1，所以mn2.方法二連接AO(圖略).由于O為BC的中點(diǎn)，故()，()，同理，.由于向量，共線，故存在實(shí)數(shù)使得，即.由于，不共線，故得且，消掉，得(m2)(n2)mn，化簡(jiǎn)

12、即得mn2.1.(2022·湖北省黃岡、華師附中等八校聯(lián)考)線段上A，B，C三點(diǎn)滿足2，那么這三點(diǎn)在線段上的位置關(guān)系是()答案A解析根據(jù)題意得到和是共線同向的，且BC2AB，應(yīng)選A.2(2022·山東省師大附中模擬)設(shè)a，b是非零向量，那么a2b是成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案B解析由a2b可知，a，b方向相同，表示a，b方向上的單位向量，所以成立；反之不成立應(yīng)選B.3.向量a3b，5a3b，3a3b，那么()A.A，B，C三點(diǎn)共線B.A，B，D三點(diǎn)共線C.A，C，D三點(diǎn)共線D.B，C，D三點(diǎn)共線答案B解析2a6b2，與共線，

13、由于與有公共點(diǎn)B，因此A，B，D三點(diǎn)共線，應(yīng)選B.4.(2022·沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如下列圖.假設(shè)向量ab與c共線，那么實(shí)數(shù)等于()A.2B.1C.1D.2答案D解析由題中所給圖象可得，2abc，又c(ab)，所以2.應(yīng)選D.5(2022·永州模擬)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，那么等于()A.B.C.D.答案C解析因?yàn)椋瑧?yīng)選C.6.如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，假設(shè)m，那么實(shí)數(shù)m的值為()A.B.C.D.答案B解析注意到N，P，B三點(diǎn)共線，因此mm，從而m1，所以m.7.假設(shè)|2，那么|_.答案2解析因

14、為|2，所以ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以|為ABC的邊BC上的高的2倍，所以|2.8.(2022·欽州質(zhì)檢)e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，2e13e2，e16e2，假設(shè)M，N，P三點(diǎn)共線，那么_.答案4解析因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使得k，所以2e13e2k(e16e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，可得解得4.9.假設(shè)點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|2|，那么ABC的形狀為_(kāi).答案直角三角形解析因?yàn)?，所以|，即·0，故，ABC為直角三角形.10.(2022·北京延慶區(qū)模擬)如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，假設(shè)，那

15、么的值為_(kāi)答案0解析在AEC中，所以，所以22，所以2，2，0.11.如下列圖，設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，求ABC與AOC的面積之比.解如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，那么2，O是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，SABC2SOAC，ABC與AOC面積之比為21.12.如下列圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)a，b，試用a，b表示向量.解方法一由D，O，C三點(diǎn)共線，可設(shè)k1k1()k1k1ak1b(k1為實(shí)數(shù))，同理，可設(shè)k2k2()k2k2ak2b(k2為實(shí)數(shù))，又a(1k1)ak1b，所以由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不

16、共線，所以解得所以ab.所以a(ab).方法二因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為ABC的重心，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E(圖略)，那么E為BC的中點(diǎn)，所以×()(ab).13如下列圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，假設(shè)(，為實(shí)數(shù))，那么22等于()A.B.C1D.答案A解析()，所以，故22，應(yīng)選A.14.A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，那么點(diǎn)P一定為ABC的()A.BC邊中線的中點(diǎn)B.BC邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心D.BC邊的中點(diǎn)答案B解析設(shè)BC的中點(diǎn)為M，那么，(2)，即32，也就是2，P，M，A三點(diǎn)共線，且P是AM上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).15設(shè)a是的平面向量，向量a，b，c在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個(gè)命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)和，使abc；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)，使abc；假設(shè)|a|2，存在單位向量b，c和正實(shí)數(shù)，使abc，那么33>6.其中真命題的序號(hào)是_答案解析給定向量b，總存在向量c，使abc，即abc.顯然存在c.所以正確由