1、論電路之用：電路理論在非電學科中的應用 收稿日期： 修回日期：基金項目：上海交通大學2020年“停課不停教”教學發(fā)展專項基金（CTLD20T 0028）第一作者：田社平（1967 ），男，博士，副教授，主要從事電路理論和動態(tài)檢測技術的教學和科研工作，E-mail:sptian田社平1，孫盾2，張峰1(1. 上海交通大學電子信息與電氣工程學院 上海 200240；2. 浙江大學電氣工程學院 杭州 310027)摘要：電路，作為電的應用形式之一，無處不在，無時不在。以機電相似原理、相量法、互易定理為例，展示電路理論在其他學科領域的應用。電路理論的教學不僅僅在于讓學生能夠求解電路習題，還應讓學生理解

2、電路理論在其他學科具有非常廣闊的應用場景。關鍵詞：電路；應用中圖分類號： TM13 文獻標識碼 AApplication of Circuit Theory on Non-Electrical DisciplineTIAN She-ping1, SUN Dun2, ZHANG Feng1(1. School of Electrical and Electronic Eng., Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2. College of Electrical and Electronic Engineering，Zhejiang

3、 Univ.，Hangzhou 310027, China)Abstract: Circuit, as one of the application forms of electricity, is everywhere and everywhere. This paper takes electromechanical similarity principle, phasor method, and reciprocity theorem as examples to illustrate the application of circuit theory in other discipli

4、nes. It shows that the teaching of circuit theory knowledge is not only to enable students to solve circuit exercises, but also to enable students to understand the broad application scenario of circuits on non-electrical discipline.Keywords: circuit; application電，無處不在，無時不在。電路，作為電的應用形式之一，深刻地改變了人類社會生

5、活。電路在應用時非常方便，又使得電路得到了極為廣泛的應用。因此在電路理論課程教學中，如何強調電路應用的形式、特點、作用，以展現(xiàn)電路應用的魅力，如何使這一展示過程有機地融合到課程教學之中，是一個值得探討的課題。電路理論的內涵十分豐富，它不僅極大地指導和推進電路應用實踐，而且電路理論中有很多原理和方法具有普適性，它們對其他的非電學科也適用的。這些原理和方法在某種程度上也起到了推動非電學科發(fā)展的作用。不可否認，電路理論的教學過程，也是電路理論的應用過程。盡管如此，如果能夠在教學中適當插入一些電路理論在非電學科中應用的例子，則對加深學生對電路理論的理解，開闊學生的視野，定會有所助益。本文結合筆者的教學

6、和科研實踐，討論電路理論在其他學科領域的應用實例，以就教于大家。1 機電相似理論及應用某些線性非時變集中參數(shù)電路模型與經典質點動力學模型之間可以建立一一對應關系1。這種對應關系就構成了機電相似理論的基礎。1.1 機電相似規(guī)則在電路系統(tǒng)中，基爾霍夫定律表明，對于任意集中參數(shù)電路中的任一節(jié)點，有ik=0 ；對任一回路，有uk=0。而在機械系統(tǒng)中，牛頓第二定律可表示為Fk=ma，如果將-ma定義為慣性力，則牛頓第二定律又可表示為fk=0，亦即一個質點在任意時刻所受的合外力與慣性力之和為零。從上述的分析中可以看到，描述集中參數(shù)電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律與描述機械系統(tǒng)中質點運動的牛頓定律在形式上是一致的。因

7、此，以此為依據(jù)，可以很容易得到電路系統(tǒng)與機械系統(tǒng)中相似的元件與物理量。機械力學量和電學量可采用力-電壓相似規(guī)則，也可采用力-電流相似規(guī)則。如果采用力-電壓相似規(guī)則，則可得到機械動力學規(guī)律和電路規(guī)律的相似關系如圖1所示，由此可得機械力學量和電學量之間的對應關系如表1中第1、2列所示。采用力-電壓相似規(guī)則時，機械結構的接點（同一剛體上所有點都認為是同一接點）對應電路的回路或網孔。類似地，也可采用力-電流相似規(guī)則，得到機械力學量和電學量之間的對應關系如表1中第1、3列所示。采用力-電流相似規(guī)則時，機械結構的接點對應電路的節(jié)點。機電相似理論建立起了電路系統(tǒng)和機械動力學系統(tǒng)線之間的聯(lián)系，它可以讓我們能夠

8、應用電路理論來分析機械動力學系統(tǒng)。圖1 力-電壓相似規(guī)則表1 機械力學量和電學量對應關系機械力學量電學量力-電壓相似力-電流相似力 f電壓源 u電流源 i速度 v電流源 i電壓源 u位移 x電量 q磁通鏈 質量 m電感 L電容 C彈簧 k倒電容 1/C倒電感 1/L阻尼 c電阻 R電導 G1.2 機電相似理論的應用實例圖2(a)為一機械動力學系統(tǒng)，其接點數(shù)為2，對應于坐標x1、x2。按照力-電壓相似規(guī)則，該系統(tǒng)包含兩個力回路：fum1L1c1R1c2R2；m2L2k1/Cc1R1。畫出對應電路如圖2(b)所示，可列寫出電路網孔方程為(a) 機械動力系統(tǒng)(b) 力-電壓相似電路(c) 力-電流相

9、似電路圖2 機電相似理論的應用注意到式(1)中的第二式實際上是二階微分方程，因此，整個系統(tǒng)的階數(shù)為3。如果給定電路的激勵u(t)以及網孔電流的初始值i1(0+)、i2(0+)、di2(t)dt|t=0+ ，就可以求出網孔電流的響應，進而求出其他電路變量的響應。其中，di2(t)dt|t=0+滿足由機電相似理論，可以對應寫出圖2(a)系統(tǒng)的動力學方程為式中，v1=dx1dt，v2=dx2dt。同樣，為了求得v1、v2的解，必須給出v1、v2的初始值、dv2(t)dt|t=0+以及激勵力f的表達式。類似地，按照力-電流相似規(guī)則，相似電路應有兩個獨立節(jié)點，第一個獨立節(jié)點連接電流源if、電容C1m1、

10、電導G1c1及G2c2；第一個獨立節(jié)點連接電容C2m2、電感L1/k、電導G1c1。畫出相似電路如圖2(c)所示，可列寫出電路節(jié)點方程為由機電相似理論，可以對應寫出圖2(a)系統(tǒng)的動力學方程，與式(7)完全相同。可以看出圖2(b)、題2(c)兩個電路互為對偶，式(1)與式(2)互為對偶。構建一個電路要比構建相似的機械動力系統(tǒng)容易得多，而且具有極高的成本優(yōu)勢和時間效益。因此，機電相似理論在機械動力系統(tǒng)的實驗研究中具有廣泛的應用。2 相量法及應用相量法由德裔美國電機工程師施泰因梅茨于1893年創(chuàng)立，它是計算交流電路的一種實用方法。隨著電路理論的發(fā)展，相量法已經成為電路理論的重要內容，并在電路分析和

11、設計中得到極為廣泛的應用。相量法的應用還不止于此，它對任何正弦激勵的線性非時變系統(tǒng)是普適的，因此，相量法在其他非電工程領域也得到了廣泛的應用。相量法中的阻抗、導納、網絡函數(shù)等概念在機械振動、機電一體化、熱力學系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等領域都是常見的概念2, 3。例如，對圖3所示的單自由度振動系統(tǒng)，其運動方程為圖3 單自由度振動系統(tǒng)由式(4)就很容易理解在機械振動理論中所定義的機械阻抗、機械導納、傳遞函數(shù)（網絡函數(shù)）的含義。圖3系統(tǒng)所對應的機械阻抗為這是因為上述定義所給出的表達式具有阻止系統(tǒng)振動的性質。這里機械阻抗的定義是以位移作為響應的，稱為位移阻抗。在機械振動理論中也可以速度或加速度為響應定義阻抗，分

12、別稱為速度阻抗和加速度阻抗。它們分別見表2所示。機械阻抗的倒數(shù)則被定義為機械導納。而傳遞函數(shù)（對應電路理論中的網絡函數(shù)）則可表示為圖2 機械系統(tǒng)元件的阻抗系統(tǒng)元件位移速度加速度線性彈簧kk/(j)-k/2阻尼器jccc/(j)剛體質量-2mjmm正如電阻電路的分析方法可以類推至電路的相量域分析，電路理論的原理和方法借由相量法亦可在工程領域得到很好的應用。下面舉例說明。如圖4(a)所示，某設備置于基礎之上，構成一兩自由度振動系統(tǒng)，基礎受到一正弦振動力的激勵。忽略m1、m2的重力作用，試分析設備的振動速度響應。按照力-電壓相似規(guī)則，作出系統(tǒng)阻抗模型圖如圖4(b)所示，圖中各阻抗為得到阻抗模型圖之后

13、，就可以應用電路理論的方法來進行分析。例如，運用戴維南定理，可得等效阻抗圖如圖4(c)所示，其中(a) 兩自由度振動系統(tǒng)(b) 阻抗圖(c) 等效阻抗圖圖4 兩自由度振動系統(tǒng)示意圖由圖4(c)等效阻抗圖，不難求得設備的振動速度為由上述分析過程可以看出，只要作出振動系統(tǒng)的阻抗圖，接下來的分析就是相量法的應用。當然，也可按照力-電流相似規(guī)則作出阻抗圖，再進行分析4。3 互易定理在振動分析的應用電路理論中的互易定理由諾貝爾物理學獲得者瑞利爵士于1877年首次提出5，該定理在通信領域具有廣泛的應用，是電路理論的重要定理之一。該定理指出：對互易電路，如果互易激勵和響應的端口，則轉移函數(shù)不變。例如，將激勵

14、端口的電壓源和響應端口的電流表互換位置后，電流表的讀數(shù)不變。在其他工程系統(tǒng)中也存在具有互易特性的系統(tǒng)，因此電路的互易定理可類推應用于這些系統(tǒng)的研究之中。在機械系統(tǒng)中，互易定理可以表述為6：對于線性機械結構，j處作用的單位力在i處產生的位移，等于i處作用的單位力在j處產生的位移，它也稱為位移互等定理。互易定理在機械系統(tǒng)結構分析、動力學研究中具有廣泛的應用。如圖5所示為通過彈簧耦合的三質量振動系統(tǒng)7，在力P1、P2、P3的作用下，m1、m2、m3產生的位移分別為x1、x2、x3，則位移響應與力激勵之間滿足式(10)中的矩陣稱為柔度影響系數(shù)矩陣，其中的參數(shù)fij，表示僅在位置j施加單位力時，在位置i

15、產生的位移。例如，對f12，有顯然，由互易定理易知，柔度影響系數(shù)矩陣是一對稱矩陣。基于這一結論，在通過實驗法求柔度影響系數(shù)矩陣時，只須求出參數(shù)fij(ij)即可，其他參數(shù)可直接由互易定理求得，從而節(jié)約了實驗成本。圖5 通過彈簧耦合的三質量振動系統(tǒng)4 結語電路作為電的應用形式之一，具有極為廣泛的應用，它促進了科學和技術的發(fā)展，也改變了人類的生活。我們在進行電路課程教學時，既要讓學生掌握電路理論的基本概念、基本原理和基本方法，同時還應讓學生了解電路在非電領域的應用；既要讓學生感受到電路理論的美與趣，同時還應讓學生感受到電路之用的魅力。本文從電路應用的角度出發(fā)，略舉電路理論在非電學科中應用的若干例子，如果將其融入課程教學，可以讓學生領略電路理論的廣闊應用場景。參考文獻1 楊光，楊碩，倪守誠，等. 基于相似性的電路力學分析方法J. 電氣電子教學學報，2012(6)：24-27+68.2 SHETTY D.，KOLK R. 機電一體化系統(tǒng)設計M. 張樹聲，等譯. 北京：機械工業(yè)出版社，2006.3 傅志方，華宏星. 模態(tài)分析理論與應用M. 上海：上海交通大學出版社，2000.4 廖旭暉，廖連瑩，孟浩東. 戴維南諾頓定理在機械振動系統(tǒng)分析中的應用J. 科技創(chuàng)