1、非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念 定義定義 如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)時(shí)的最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題 一般形式一般形式: （1） 其中 ， 是定義在 En 上的實(shí)值函數(shù)，簡記: Xfmin .,.,2 , 1 0 m;1,2,., 0. . ljXhiXgtsjinTnExxxX,21jihgf,1nj1ni1nE :h ,E :g ,E :EEEf 其它情況其它情況: 求目標(biāo)函數(shù)的最大值或約束條件為小于等于零的情況，都可通過取其相反數(shù)化為上述一般形式用MATLAB軟件求解,其輸入格式輸入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b);

2、2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. x,fval=quaprog(.); 7. x,fval,exitflag=quaprog(.); 8. x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1、二次規(guī)劃、二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型為： Min Z= 21XTHX+cTX s.t.

3、AX=b beqXAeq VLBXVUB 例例1 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20 1、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： 2、 輸入命令輸入命令： H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果為： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222212121622 11- 1 ),(minxxxxxxzT21

4、2100222 11 1 xxxxs.t. 1. 首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2、一般非線性規(guī)劃、一般非線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型為： min F(X) s.t AX=b beqXAeq G(X)0 Ceq(X)=0 VLBXVUB 其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：2. 若約束條件中有非線性約束:G(X)0或Ceq(X)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)G(X)與Ceq(X): function G,Ce

5、q=nonlcon(X) G=. Ceq=. 3. 建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,

6、fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,fval,exitflag,output= fmincon(.)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限注意：注意：1 fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為on），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。2 fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。3 fmincon函數(shù)可能會給

7、出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。1、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： s.t. 00546322121xxxx2100 xx22212121212minxxxxf22212121212minxxxxf 2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例22、先建立先建立M-文件文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)23、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(

8、fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運(yùn)算結(jié)果為：運(yùn)算結(jié)果為： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.02941先建立先建立M文件文件 fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);) 12424()(22122211xxxxxexfx x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0例例32再建立再建立M文件文件mycon.m定義非線性約束：定義非線性約束： function

9、g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;3主程序主程序youh3.m為為:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)3. 運(yùn)算結(jié)果為運(yùn)算結(jié)果為： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951 例4 100 , 50 07 025 . .2min 21222122221121xxxxXgxxXgtsxxXf1先建立先建立M-文件文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù)定義

10、目標(biāo)函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);2再建立再建立M文件文件mycon2.m定義非線性約束：定義非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;3. 主程序主程序fxx.m為為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)4. 運(yùn)算結(jié)果為運(yùn)算結(jié)果為: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1output =

11、iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: 應(yīng)用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例： 供應(yīng)與選址供應(yīng)與選址 某公司有6個(gè)建筑工地要開工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：千米 ）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個(gè)臨時(shí)料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連。 （1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。 （2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場，改建

12、兩個(gè)新的，日儲量各為20噸，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？工地位置（a，b）及水泥日用量 d 1 2 3 4 5 6 a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25 d 3 5 4 7 6 11 （一）、建立模型（一）、建立模型 記工地的位置為記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為，水泥日用量為di，i=1,6;料場位置為料場位置為(xj，yj)，日儲量為，日儲量為ej，j=1,2；從料場；從料場j向工地向工地i的運(yùn)送量為的運(yùn)送量為Xij。目標(biāo)函數(shù)為：216122)()(minjiijijijbyaxXf 約束條件為：2

13、 , 1 ,6 , 2 , 1 ,6121jeXidXjiijijij 當(dāng)用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，xj，yj。（二）使用臨時(shí)料場的情形（二）使用臨時(shí)料場的情形 使用兩個(gè)臨時(shí)料場A(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運(yùn)送量不超過日儲量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問題. 線性規(guī)劃模型為：2161),(minjiijXjiaaf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , s.t.6121jeXidXjiijijij其中 22)()(),(ijijbyaxjiaa，i=1,2,6,j=1,2,為

14、常數(shù)。 設(shè)X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12 編寫程序gying1.m計(jì)算結(jié)果為：計(jì)算結(jié)果為：x = 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000fval = 136.2275即由料場A、B向6 個(gè)工地運(yùn)料方案為： 1 2 3 4 5 6 料場A 3 5 0 7 0 1 料場

15、B 0 0 4 0 6 10 總的噸千米數(shù)為136.2275。 （三）改建兩個(gè)新料場的情形（三）改建兩個(gè)新料場的情形 改建兩個(gè)新料場，要同時(shí)確定料場的位置(xj,yj)和運(yùn)送量Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃模型為：216122)()(minjiijijijbyaxXf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , . .6121jeXidXtsjiijijij設(shè) X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52=

16、 X 11, X62= X 12 x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16 （1）先編寫M文件liaoch.m定義目標(biāo)函數(shù)。(2) 取初值為線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果及臨時(shí)料場的坐標(biāo): x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7;編寫主程序gying2.m.(3) 計(jì)算結(jié)果為：x= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867fval = 105.4626exitflag = 1即兩個(gè)新料場的坐標(biāo)分別為(6.3875

17、, 4.3943),(5.7511, 7.1867),由料場 A、B 向 6 個(gè) 工地運(yùn)料方案為： 1 2 3 4 5 6 料場 A 3 5 0.0707 7 0 0.9293 料場 B 0 0 3.9293 0 6 10.0707 總的噸千米數(shù)為105.4626。比用臨時(shí)料場節(jié)省約 31 噸千米. (4) 若修改主程序gying2.m, 取初值為上面的計(jì)算結(jié)果:x0= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867得結(jié)果為:x=3.0000 5.0000

18、0.3094 7.0000 0.0108 0.6798 0 0 3.6906 0 5.9892 10.3202 5.5369 4.9194 5.8291 7.2852fval =103.4760exitflag = 1總的噸千米數(shù)比上面結(jié)果略優(yōu). (5) 若再取剛得出的結(jié)果為初值, 卻計(jì)算不出最優(yōu)解.(6) 若取初值為: x0=3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5.6348 4.8687 7.2479 7.7499, 則計(jì)算結(jié)果為:x=3.0000 5.0000 4.0000 7.0000 1.0000 0 0 0 0 0 5.0000 11.0000 5.6959 4.9285 7.2500 7.7500fval =89.8835exitflag = 1總的噸千米數(shù)89.8835比上面結(jié)果更好. 通過此例可看出fmincon函數(shù)在選取初值上的重要性. 某廠向用戶提供發(fā)動機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、某廠向用戶提供發(fā)動機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨三季度末分別交貨40臺、臺、60臺、臺、80臺每季度的