1、第4章 離散信號與系統電氣學院 李津蓉4.1 Z變換 一、Z變換的導出抽樣信號的拉氏變換抽樣信號的拉氏變換離散信號的離散信號的z變換變換)()()(sttxtxT ( )()() ()nnx ttnTx nTstnTs對對 取拉氏變換取拉氏變換)(stxss( )( )() ()nXsL xtLx nTstnTs( () )txsOtTs( () ) ( () )nTstnTsx On( ( ) )nx1 24.1 Z變換( )s()essnTsnXsx nTsj 為連續變量為連續變量，引入復變量引入復變量 e sTz ( () )( ( ) )nxnTx表示為表示為，將，將)()(| )(e

2、szXznxsXnnzsT )(nx)(txs 0)()(nnznxzX)(nx4.1 Z變換 二、Z變換的收斂域)(zX nnznx|)(|)(zX4.1 Z變換及其收斂域21),(NnNnx |0z nNnx1)(1|Rz Re(z)jIm(z)4.1 Z變換及其收斂域2)(Nnnx 2|0Rz nnx)(21|RzR Re(z)jIm(z)Re(z)jIm(z)4.1 Z變換 0 001)(nnn zznzXnn1)()(nO)(n 1 0001)(nnnu1111)(1321 zzzzzzzXnO)(nu112 31z極點極點1，零點，零點04.1 Z變換及其收斂域)()(nuanxn

3、 ( () )( ( ) )nun0cos az ( ( ) ) 0nnnzazXazzaz 111( () )( ( ) )nun0sin ( () )( ( ) ) ( () )1cos2coscos0200 zzzznunZ( () )( ( ) ) 1cos2sinsin 0200 zzznunZ4.2 Z反變換nknkmrmrzazazazaazbzbzbzbbzDzNzX 112210112210)()()(mn)azz )(),(1nuaazznn zzX)(iizzA zzX)(NNzzAzzAzzAzAzzX 22110)(的的系系數數極極點點0 000 zabA處處的的留留

4、數數在在極極點點iz X(z)()(izziizzXzzA NriiirrzzAzAzzBzzBzzBzzX10121211)()()()(1)()(dd)!(1 1zzrjrjrjzzXzzzjrB)()()()()(11nrrzzzzzzzNzX 4.2 Z反變換 210)2()1()0(zxzxzx( ( ) )( ( ) ) 0nnznxzX( ( ) )nx級數的系數就是序列級數的系數就是序列1|,)1()(2 zzzzX4.3 Z變換的性質()()(),min(),max( )()()()( )()( )()( 22112121yxyxyyxxRRzRRzbYzaXnbynaxZR

5、zRzYnyZRzRzXnxZ則若 )()(zXzmnxZm 二位移性1.1.雙邊雙邊z變換變換處處收收斂斂域域：只只會會影影響響 zz,0nO)(nx4nO)2( nx4nO)2( nx411 211 211 2 2.2.單邊單邊z z變換變換 10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ左移：左移： 1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ右移：右移：nO( ( ) )nunx)(4n)()2(nunx 4n)()2(nunx 411 O 11 O 11 )()()(zXnunxZ ：)()()(zXznumnxZm zzXznnxzXnxZd)(d)( )()( 則則若

6、若)()( zXdzdznxnmm ( () )為非零常數為非零常數則則若若aRazRazXnxaRzRzXnxZxxnxx 2121)( )()( ( ( ) )( ( ) ) )(lim)0( )(zXxnxZzXnxz ，則，則為單邊序列，為單邊序列，若若( ( ) )( ( ) ) )()1(lim)(lim )(1zXznxnxZzXnxzn 則則，為單邊序列，為單邊序列，若若例題2 zz2 z1 zz1 z( ( ) )n2( ( ) )n1( () )n5 . 05 . 0 zz5 . 0 z( ( ) )nx n終值終值( ( ) )zXROC無無有，有，1有，有，0( )nu

7、 n1z 無無2(1)zz ( () ) ( () ) )()()(*)( )()( )()( 2121zHzXnhnxZRzRnhZzHRzRnxZzXhhxx 則則已知已知),min(),max(2211hxhxRRzRR 收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分即即4.4 z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關系 1z平面與平面與s平面的映射關系平面的映射關系(j)jeeesssssTTTTze esTzsT 1s平面z平面-10左半平面映射于z平面的單位圓內虛軸映射于z平面的單位圓上右半平面映射于z平面的單位圓外esTzs平面0aa1z平面-1a=a02

8、/sT0sT 4.4 z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關系 結論：()()()(sXtxLetxFt當s=j時，x(t)的拉氏變換即為傅氏變換( )()( ( )( )SnL x ttnTZ x nX z(j)jeeesssssTTTTze 當不變時，變量z在半徑為 的圓周上移動當=0時，X(z)即為x(t)的理想抽樣信號的傅氏變換esT 4.5 離散系統的時域分析與系統函數 LTI離散系統 離散系統的數學描述差分方程（N階）離散系統離散系統x(n)y(n)MjjNiijnxbinya00)()(4.5 離散系統的時域分析與系統函數 離散系統的圖形描述4.5 離散系統的時域分析與系統函數 例

9、：列出系統差分方程4.5 離散系統的時域分析與系統函數 差分方程的經典解法（差分方程的經典解法（齊次解齊次解 + 特解）特解）MjjNiijnxbinya00)()( )( )( )cy ny nB n 一、齊次解（令激勵部分為一、齊次解（令激勵部分為0）kAky)(假設：假設：0()0Niia y ni01110NNNNaaaa特征方程特征方程 ：求特征根：求特征根：N,21 特征根無重根：特征根無重根：nNNnncAAAny2211)( 特征根有重根：特征根有重根：112111( )()KncKnnKKNNy nAA nA nAA 【例【例 4-10】 求以下差分方程的齊次解形式。求以下差

10、分方程的齊次解形式。)()3(12)2(16) 1(7)(nxnynynyny 二、特解二、特解：( )( )( )cy ny nB n) 1()()2(2) 1(3)(nxnxnynyny2)(nnx1) 1(y1)0(y【例【例4-12】 求解差分方程，其中激勵函數，且已知4.5.3 z變換法離散系統離散系統x(n)y(n)開始作用于系開始作用于系統的時間通常統的時間通常設定為設定為n=0其數值形式取決于兩方面：其數值形式取決于兩方面：x(n)和系統的初始狀態和系統的初始狀態y(-1), y(-2)根據系統的線性特性：根據系統的線性特性：)()()(nynynyzszi沒有外加激勵信號的作

11、用，只沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態（由起始狀態（n=-1,-2,時刻的時刻的系統輸出）所產生的響應系統輸出）所產生的響應起始狀態等于零，由起始狀態等于零，由系統的外加激勵信號系統的外加激勵信號產生的響應產生的響應4.5.3 z變換法 z變換法解差分方程：變換法解差分方程： 分別計算分別計算零狀態響應零狀態響應和和零輸入響應零輸入響應的的Z變換變換 再通過再通過z反變換得到反變換得到零狀態響應零狀態響應和和零輸入響應零輸入響應 系統響應系統響應)()()(nynynyzsziNiiiNiilliizizazlyzazY001)()(00( )( )MjjjzsNiiib zYzX za

12、z響應僅與系統的初始響應僅與系統的初始狀態狀態y(-1), y(-2)有關有關響應僅與系統的響應僅與系統的輸入輸入x(n)有關有關系統函數系統函數H(z)，與差分方程對應，與差分方程對應，描述系統的結構特性。描述系統的結構特性。實際上是系統零狀態下的實際上是系統零狀態下的單位沖激響應單位沖激響應的的Z變換變換( )6 (1)8 (2)( )y ny ny nx n( )2( )nx nu n( 1)0y ( 2)1y 【例【例4-13】 求解差分方程，其中激勵函數，且已知4.5.4 系統函數H(z) 1.H(z)的定義：的定義： 系統零狀態響應的系統零狀態響應的z變換與系統輸入的變換與系統輸入

13、的z變換之變換之比比 單位沖激序列的響應單位沖激序列的響應h(n)的的z變換變換 2.H(z)的性質：是的性質：是z域上系統輸出與輸入之域上系統輸出與輸入之比，只與系統結構有關，與系統的輸入輸比，只與系統結構有關，與系統的輸入輸出無關出無關 3.H(z)與差分方程的對應關系，由系統的差與差分方程的對應關系，由系統的差分方程可直接列出分方程可直接列出H(z)形式形式例題( )x n( )(1)(2)( )y nay nby ncx n【例4-14】 若系統處于零狀態，且輸入信號為因果信號，求下列差分方程所描述的離散系統的系統函數。當3,2,1abc 時，求系統的單位脈沖響應。1( )( )3nx

14、 nu n 1( )3( 1)( )( )3nny nu nu n( )H z【例4-16】 根據系統的輸入和輸出來求系統描述的問題稱為系統識別。已知當一個離散線性時不變系統的輸入為，其輸出為，求該系統的系統函數和單位脈沖響應h(n)。 4.5.5 離散系統的穩定性 系統穩定性定義：輸入信號有界（系統穩定性定義：輸入信號有界（x(n)），輸），輸出信號也必定有界（出信號也必定有界（y(n)） 051015200240510152000.51系統系統穩定系統穩定系統05101520-200200510152000.51系統系統不穩定系統不穩定系統4.5.5 離散系統的穩定性 系統穩定的充要條件系

15、統穩定的充要條件kkh)(系統系統0(n)0510152000.51h(n)4.5.5 離散系統的穩定性-1-1-111( )( )( )( )1-NNniiiiiiAh nZH zZA Pu nPz 由系統函數由系統函數H(z)判斷系統的穩定性判斷系統的穩定性h(n)是一系列指數序列的累加和，若要是一系列指數序列的累加和，若要h(n)收斂，則要求累收斂，則要求累加式中的每個指數序列加式中的每個指數序列Ai(Pi)n均為收斂序列，即均為收斂序列，即|Pi|1系統是穩定的系統是穩定的H(z)的所有極的所有極點均在點均在z平面平面的單位圓之內的單位圓之內0RezjImz|z|=1024681012

16、-1-0.500.51nh(n)0Rez|z|=10246810120102030405060nh(n)jImz0Rez|z|=1jImz02468101200.20.40.60.81nh(n)單位圓內單位圓內的極點的極點單位圓外單位圓外的極點的極點單位圓上單位圓上的極點的極點Ai(Pi)n 例：判斷系統穩定性： )() 1()(nxnyny6 ( )(1)(2)( )y ny ny nx n4.6 離散信號與頻域分析 1.序列的離散時間傅立葉變換序列的離散時間傅立葉變換DTFT 定義：定義： 存在條件：存在條件：X(z)的收斂域包含單位圓，的收斂域包含單位圓，推論：對于右邊序列推論：對于右邊

17、序列x(n)u(n),其其Z變換變換 X(z)的極點的極點均小于均小于1nnznxnxZzX)()()(令變量令變量z僅在單位圓僅在單位圓|z|=1上變化上變化 jez()( ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e 1( )()()2jjjnx nIDTFT X eX eed4.6 離散信號與頻域分析 1.序列的離散時間傅序列的離散時間傅立葉變換立葉變換 特性()()( ( )( )()jj nnjjX eDTFT x nx n eX ee Z平面()()jjX eX e ( )() T=2的周期函數的周期函數 【例【例4-17】 求指數序列 的傅立葉變換。 ( )( ),1n

18、x na u na01(),11jnj njnX ea eaae ()1122222211()(1cos)sin1 2 cosjX eaaaa sin( )arctan1cosaa 2.DTFT的性質（自學）的性質（自學） 與z變換性質相同，令變量jez3.系統頻率響應與系統零極點的關系 系統頻率響應：系統頻率響應：()()()jjjY eH eX e()()()jjjY eH eX earg()arg()arg()jjjY eH eX e3.系統頻率響應與系統零極點的關系 系統頻率響應的幅值特性與系統零極點的關系 當ej越接近于零點zj，則 越小 當ej越接近于零點zj，則 越大00()( )()MjjNiizZH zzP00()()()MjjjjNjiieZH eePjez)(jeH)(jeH【例【例 4-18】 已知某離散系統的系統函數，畫出該系統的幅度響應的圖形。)9 . 01)(9 . 01 (1)(11144zezezzHjj)(jeHMatla