1、精選優質文檔-傾情為你奉上 基本介紹不定方程是的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的范圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多于方程的個數。古希臘數學家于三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯系。1969年，莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果。2 發展歷史不定方程是數論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。Diop

2、hantus，古代希臘人，被譽為代數學的鼻祖，流傳下來關于他的生平事跡并不多。今天我們稱整系數的不定方程為Diophantus方程，內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作，其中最有名的是算術，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組 （變量的個數大于方程的個數）或不定方程式 （兩個變數以上）。丟番圖只考慮正有理數解，而不定方程通常有無窮多解的。研究不定方程要解決三個問題：判斷何時有解。有解時決定解的個數。求出所有的解。是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的 張丘建算經中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一

3、術將不定方程與同余理論聯系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。3 常見類型求不定方程的解；判定不定方程是否有解；判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。4 方程相關4.1 一次不定方程二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數，ab 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。若a、b互質，即它們的最大公約數為1，（x0，y0）是所給方程的

4、一個解， 則此方程的解可表為(x=x0-bt，y=y0+at）|t為任意整數。S（2）元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+asxs=n0a1，as，n為整數，且a1as0。此方程有整數解的充分必要條件是a1，as的最大公約數整除n。埃拉托塞尼篩法產生的素數普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希臘數學家就發現了數論的本質是素數，他自己證明了有無窮多個素數，公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法：一“要得到不大于某個自然數N的所有素數，只要在2-N中將不大于N的素數的倍數全部劃去即可”。二后來人們將上面的內容等價轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1<dN”。

5、（基礎數論13頁，U杜德利著，科技出版社）.三再將二的內容等價轉換：“若自然數N不能被不大于（根號）N的任何素數整除，則N是一個素數”。見（代數學辭典上海教育出版社1985年。屜部貞世朗編。259頁）。四上面這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=.=pkmk+ak。其中 p1，p2，.，pk表示順序素數2，3，5，。a0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，.，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 注：后面的1，2，3，.，k，（k+1）是腳標，由于打印不出來，凡后面的數字或者i與k都是腳標 ，則N是一個素數。五可以把（1）

6、等價轉換成為用同余式組表示：Na1(modp1）， Na2(modp2），.，Nak(modpk）。例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。291(mod2），292(mod3）， 294(mod5）。29小于7的平方49，所以29是一個素數。以后平方用“*”表示，即：=m*。由于的模p1，p2，.，pk 兩兩互素，根據（中國剩余定理）知，在p1p2.pk范圍內有唯一解。例如k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）區間的全部素數。k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m

7、+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）區間的全部素數。k=3時，-| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|-|-|-|-|-|n=2m+1=3m+1= |-31-|-7,37-|-13,43|-19-|n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|-23-|-29-|-求得了（7，7*）區間的全部素數。仿此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。4.2 多元一次不定方程關于整數多元一次不定方程，可以有矩陣解法、等相關方法輔助求解。4.3 二次不定方程二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線（即圓錐曲線）的有理點或整點問題。一

8、類特殊的二次不定方程是x2+y2=z2，其正整數解稱商高數或勾股數或數，中國周髀算經中有“勾廣三，股修四，經隅五”之說，已經知道 (3，4，5）是一個解。劉徽在注九章算術中又給出了（5，12，13），（8，15，17）， (7，24，25），（20，21，29）幾組勾股數。它的全部正整數解已在16世紀前得到。這類方程本質上就是求橢圓上的有理點。另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2Dy2=1，D是非平方的正整數。利用連分數理論知此方程永遠有解。這類方程就是求上的有理點。最后一類就是平方剩余問題， 即求x2-py=q的整數解， 用的同余理論來描述，就是求x2q(mod p) 的剩余類解。高斯

9、發現的著名二次互反律 給出了次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當于求上的整點。圓錐曲線對應的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術性質的一種特例。4.4 高次不定方程對高于二次的不定方程，相當復雜。當n>2時，xn+yn=zn沒有非平凡的整數解 ，即著名的費馬大定理 ，歷經3個世紀 ，已由數學家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。有一些高次方程同樣無解：4.5 多元高次不定方程多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次域來討論一些特殊的不定方程的整數解常用的解法代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；不等式估算法：利用不

10、等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；無窮遞推法。4.6 特殊求解方法一二元一次不定方程（組）定義1. 形如 ax + by = c ( a，b，cZ，a，b不同時為零）的方程稱為二元一次不定方程。定理1. 方程 ax + by = c 有解的充要是 ( a,b ) | c；定理2. 若（ a,b ) = 1，且 x_0，y_0為 ax + by = c 的一個解，則方程的一切解都可以表示成|定理3.

11、 n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 + a_nx_n = c，（ a_1，a_2，a_n，cN ）有解的充要條件是：（ a_1，a_2，a_n ) | c.方法與技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求 ax + by = c 一個特解，從而寫出通解。當不定方程系數不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變量，逐漸減小系數，直到容易得其特解為止；2解n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 + a_nx_n = c 時，可先順次求出 ( a_1，a_2 ) = d_2，（ d_2，a_3 ) = d_3，（ d_(n-1），a_n ) = d_n

12、. 若c不能被 d_n 整除，則方程無解；若c可以被 d_n 整除，則方程有解，作方程組：|求出最后一個方程的一切解，然后把 t_(n-1) 的每一個值代入倒數第二個方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。3m個n元一次不定方程組成的方程組，其中 m < n，可以消去 m-1 個未知數，從而消去了 m-1 個不定方程，將方程組轉化為一個 n-m+1 元的一次不定方程。二高次不定方程（組）及其解法1因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然后對比兩邊，轉而求解若干個方程組；2同余法：如果不定方程 F( x_1，x_2，x_n ) = 0 有整數解，則對于任意 m

13、N，其整數解 ( x_1，x_2，x_n ) 滿足 F( x_1，x_2，x_n ) 0 ( modm ），利用這一條件，同余可以作為探究不定方程整數解的一塊試金石；3不等式估計法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的范圍，再分別求解；4無限遞降法：若關于正整數n的命題 P(n) 對某些正整數成立，設 n_0 是使 P(n) 成立的最小正整數，可以推出：存在正整數n，使得 n_1 < n_0 成立，適合證明不定方程無正整數解。方法與技巧：1因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理論基礎是整數的唯一分解定理，分解法作為解題的一種手段，沒有因定的程序可循，應具體的例子中才能有深刻地體會；2

14、同余法主要用于證明方程無解或導出有解的必要條件，為進一步求解或求證作準備。同余的關鍵是選擇適當的模，它需要經過多次嘗試；3不等式估計法主要針對方程有整數解，則必然有實數解，當方程的實數解為一個有界集，則著眼于一個有限范圍內的整數解至多有有限個，逐一檢驗，求出全部解；若方程的實數解是無界的，則著眼于整數，利用整數的各種性質產生適用的不等式；4無限遞降法論證的核心是設法構造出方程的新解，使得它比已選擇的解“嚴格地小”，由此產生矛盾。三特殊的不定方程1利用分解法求不定方程 ax + by = cxy ( abc0 ）整數解的基本思路：將 ax + by = cxy 轉化為 (x - a)(cy -b

15、) = ab 后，若 ab 可分解為 ab = a_1b_1 = a_2b_2 = a_ib_iZ，則解的一般形式為，|再取舍得其整數解；2定義2：形如的 x2 + y2 = z2 的方程叫做勾股數方程，這里x，y，z為正整數。對于方程 x2 + y2 = z2 ，如果 (x，y) = d，則 d2|z2，從而只需討論 (x，y) = 1 的情形，此時易知x，y，z兩兩互素，這種兩兩互素的正整數組叫方程的本原解。定理3.勾股數方程滿足條件 2|y 的一切解可表示為：|其中 a > b > 0，（a，b) = 1， 且a，b為一奇一偶。推論：勾股數方程的全部正整數解（x，y的順序不加

16、區別）可表示為：|其中 a > b > 0 是互質的奇偶性不同的一對正整數，d是一個整數。勾股數不定方程的整數解的問題主要依據定理來解決。3定義3.方程 x2 - dy2 = ±1，±4 ( x，yZ，正整數d不是平方數） 是 x2 - dy2 = c 的一種特殊情況，稱為沛爾（Pell）方程。這種二元二次方程比較復雜，它們本質上歸結為雙曲線方程 x2 - dy2 = c 的研究，其中c，d都是整數，d > 0 且非平方數，而 c 0。它主要用于證明問題有無數多個整數解。對于具體的d可用嘗試法求出一組成正整數解。如果上述pell方程有正整數解（x，y），則

17、稱使 x + yd0.5 的最小的正整數解為它的最小解。定理4.Pell方程 x2 - dy2 = 1 ( x，yZ，正整數d不是平方數）必有正整數解，且若設它的最小解為（x_1，y_1），則它的全部解可以表示成：|上面的公式也可以寫成以下幾種形式：|定理5.Pell方程x2 - dy2 = -1 ( x，yZ，正整數d不是平方數）要么無正整數解，要么有無窮多組正整數解，且在后一種情況下，設它的最小解為（x_1，y_1），則它的全部解可以表示為|定理6. （費爾馬（Fermat）大定理）方程 xn + yn = zn (n3且為整數）無正整數解。費爾馬（Fermat）大定理的證明一直以來是數學

18、界的難題，但是在1994年6月，美國普林斯頓大學的數學教授A.Wiles完全解決了這一難題。至此，這一困擾了人們四百多年的數學難題終于露出了廬山真面目，脫去了其神秘面紗。5 相關介紹5.1 簡單例題例1 求11x+15y=7的整數解解法1 將方程變形得因為x是整數，所以7-15y應是11的倍數由觀察得x0=2，y0=-1是這個方程的一組整數解，所以方程的解為解法2 先考察11x+15y=1，通過觀察易得11×（-4)+15×=1，所以11×（-4×7)+15×（3×7)=7，可取x0=-28，y0=21從而可見，二

19、元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數組整數解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的將解中的參數t做適當代換，就可化為同一形式例2 求方程6x+22y=90的非負整數解解 因為（6，22)=2，所以方程兩邊同除以2得3x+11y=45 由觀察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 的一組整數解，從而方程的一組整數解為由定理，可得方程的一切整數解為因為要求的是原方程的非負整數解，所以必有由于t是整數，由，得15t16，所以只有t=15，t=16兩種可能當t=15時，x=15，y=0；當t=16時，x=4，y=3所以原方程的非負整數解是

20、例3 求方程7x+19y=213的所有正整數解分析 這個方程的系數較大，用觀察法去求其特殊解比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數的方法使系數變小，最后再用觀察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系數7除方程的各項，并移項得因為x，y是整數，故3-5y/7=u也是整數，于是5y+7u=3T儆*5除此式的兩邊得2u+5v=3 由觀察知u=-1，v=1是方程的一組解將u=-1，v=1代入得y=2y=2代入得x=25于是方程有一組解x0=25，y0=2，所以它的一切解為由于要求方程的正整數解，所以解不等式，得t只能取0，1因此得原方程的正整數解為當方程的系數較大時，我們還可以用輾轉相

21、除法求其特解，其解法結合例題說明例4 求方程37x+107y=25的整數解解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1為用37和107表示1，我們把上述輾轉相除過程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×（37-33)=9×33-8×37=9×（107-2×37)8×37=9×107-26×37=37×（-26)+107×9由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一組整數

22、解于是x0=25×（-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一組整數解所以原方程的一切整數解為例5 某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方法？解 設需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. 所以由于7x142，所以x20，并且由上式知5|2(x-1）因為（5，2)=1，所以5|x-1，從而x=1，6，11，16，的非負整數解為所以，共有4種不同的支付方式說明 當方程的系數較小時，而且是求非負整數解或者是實際問題時，這時候的解的組數往往較少，可以用整除的性質加上枚舉，也能較容易地解出方程多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程例6 求方程9x+24y-5z=1000的整數解解 設9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000于是原方程可化為用前面的方法可以求得的解為的解為消去t，得大約1500年以前，中國古代數學家張丘建在他編寫的張丘建算經里，曾經提出并解決了“百錢買百雞”這個有名的數學問題，通俗地講就是下例例7 今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解 設公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，