1、函數的單調性”教學設計南京師大附中 陶維林一、內容和內容解析函數的單調性是研究當自變量x不斷增大時， 它的函數y增大還是減小的性質 如函數 單調增表現為“隨著x增大，y也增大”這一特征與函數的奇偶性不同，函數的奇偶性是 研究x成為相反數時，y是否也成為相反數，即函數的對稱性質.函數的單調性與函數的極值類似， 是函數的局部性質， 在整個定義域上不一定具有 這 與函數的奇偶性、函數的最大值、最小值不同，它們是函數在整個定義域上的性質函數單調性的研究方法也具有典型意義，體現了對函數研究的一般方法這就是，加強 “數”與“形”的結合， 由直觀到抽象； 由特殊到一般 首先借助對函數圖象的觀察、 分析、 歸

2、納，發現函數的增、減變化的直觀特征，進一步量化，發現增、減變化數字特征，從而進 一步用數學符號刻畫函數單調性的概念是研究具體函數單調性的依據， 在研究函數的值域、 定義域、最大值、 最小值等性質中有重要應用（內部）；在解不等式、證明不等式、數列的性質等數學的其他 內容的研究中也有重要的應用（外部）可見，不論在函數內部還是在外部，函數的單調性 都有重要應用，因而在數學中具有核心地位二、目標和目標解析本節課要求學生理解函數在某區間上單調的意義， 掌握用函數單調性的定義證明簡單函 數在某區間上具有某種單調性的方法（步驟）1能夠以具體的例子說明某函數在某區間上是增函數還是減函數；2能夠舉例，并通過繪制

3、圖形說明函數在定義域的子集（區間）上具有單調性，而在 整個定義域上未必具有單調性，說明函數的單調性是函數的局部性質；3對于一個具體的函數，能夠用單調性的定義，證明它是增函數還是減函數：在區間 上任意取X1,X2,設X1VX2,作差f（X2） -f（X1），然后判斷這個差的正、負，從而證明 函數在該區間上是增函數還是減函數.三、教學問題診斷分析學生已有的認知基礎是， 初中學習過函數的概念， 初步認識到函數是一個刻畫某些運動 變化數量關系的數學概念； 進入高中以后， 又進一步學習了函數的概念， 認識到函數是兩個 數集之間的一種對應 學生還了解函數有三種表示方法， 特別是可以借助圖象對函數特征加 以

4、直觀考察此外，還學習過一次函數、二次函數、反比例函數等幾個簡單而具體的函數， 了解它們的圖象及性質 尤其值得注意的是， 學生有利用函數性質進行兩個數大小比較的經 驗教學的重點是，引導學生對函數在區間（ 這一特征進行抽象的符號描述：在區間（a， f（Xi）（或f（X2）Vf（Xi）=,則稱函數a,b）上“隨著x增大，y也增大（或減?。眀）上任意取Xi,X2，當XiVX2時，有f（X2）f（X）在區間（a,b） 上單調增（或單調減）.“圖象是上升的，函數是單調增的； 圖象是下降的，函數是單調減的” 僅就圖象角度直 觀描述函數單調性的特征學生并不感到困難 困難在于， 把具體的、 直觀形象的函數單調

5、性 的特征抽象出來，用數學的符號語言描述即把某區間上“隨著x的增大，y也增大”(單調增)這一特征用該區間上任意的XiVX2,有f(Xi)Vf(X2)” (單調增)進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區間上“任意”取兩個大小不等的x1，x2教學中， 通過二次函數這個具體函數的圖象及數值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調增的說法通過討論、交流， 讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區間上，如果對于任意的Xif(a),也不 能說明它在(a, b)單調增；在區間(a,b)上有無數個自變量x,使得當avx1x2vvvb時，有f(a)f(xi)f

6、(X2)vf(b)也不能說明它在(a,b)單調增.那么 自變量x在區間(a,b)上到底該怎樣取值好呢？我們再來看一看具體的函數f(x)=x2.(2)是否可以說“這個函數在定義域I上是單調減？ ”為什么?教師利用幾何畫板演示：在函數f(x)=x2的圖象上，位于區間0,+)任選兩個點，自變量大的函數值也一定大并提出問題5在函數f (x)=x2,x_0,+s)的圖象上任意取兩點， 自變量大的函數值也 定大， 能否說明函數f(x)=x2在0,+R)上單調增？設計意圖：由問題4可見，刻畫函數單調性不在于所取自變量個數的多少，關鍵在于是否能夠任意取值，而且必須任意取兩個.這個問題的答案是顯然的教師立即提出

7、“怎樣用符號來表示？” 的問題.引導學生獲 得“只要任意x1x2,有f (x1)vf(x2)”即可.經過議論，獲得共識一一函數單調性的定義.一般地，設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個 自變量的值xi,X2,當XiX2時，都有f(xi)f(X2)，那么就說函數f (X)在區間D上是增函數；對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值Xi,X2,當Xif(X2)，那么就說函數f ( X)在區間D上是減函數.這個定義中的關鍵詞是什么呢？是“任意”二字.5.單調性定義的應用(課堂練習)練習1畫出反比例函數f(x)=的圖象，并回答下列問題:(1)指出這個函數的單調

8、性；設計意圖：通過具體問題，使學生認識函數的單調性是函數在定義域的某個區間上的 性質，是函數的局部性質(在整體上未必有)進一步認識“任意”二字的意義，加深對函 數單調性的認識答：(1)函數f( x)=在區間(一8,0)上單調減，在區間(0, +8)上也單調減.(圖 象略)(2)這個函數的定義域1=(8,0)U(0, +8)不能說“這個函數在定義域|上是單調減”.事實上，取捲=1,X2=1,而f(1) =1,f(1) =1,f(1)vf( 1).練習2物理學中的波利爾定律p=(k是正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當體 積V減小，壓強p將增大試用函數的單調性證明之(教科書第29頁例2)設計意圖

9、： 函數單調性概念的應用. 逐步掌握利用單調性定義證明一個函數在某區間上 具有某種單調性的步驟.加深對函數單調性的理解.分析 怎樣來證明“體積V減小,壓強p將增大”呢,根據函數單調性的定義,只要證 明函數p=(k是正常數)是減函數怎樣證明函數p=(k是正常數)是減函數呢，只要在區間(0,+8)(因為體積V0)任意取兩個大小不相等的值，證明較小的值對應的函數 值較大,即設V1VV2,去證明P1P2.也就是只要證明P1P20.證明：設VjvV2,V1,s 0,+8).p1p2=.因為k是正常數，V1vV2,所以0,P1P2.所以，體積V減小，壓強p將增大.6.課堂小結這節課，我們學習了“函數的單調性”，“如果函數在區間(a,b)單調減，那么這個函數有什么特征？”設計意圖：企圖明確，f(x)在區間D上是減函數f(x)的圖像在區間D上是下降