1、第 5 講函數(shù)的值域與最值1 掌握求值域或最值的基本方法，會(huì)求一些簡單函數(shù)的值域或最值.2 建立函數(shù)思想，能應(yīng)用函數(shù)觀點(diǎn)(如應(yīng)用函數(shù)的值域、最值 )解決數(shù)學(xué)問題._知識(shí)梳理1.函數(shù)的值域值域是 函數(shù)值 的取值范圍，它是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的，所以求值域時(shí)要注意定義域2.函數(shù)的最值最值最大值最小值條件設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?1，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足(1)對(duì)于任意的 x I，都有 f(x)WM ;(2)存在 x 1，使f(x0)= M(1)對(duì)于任意的 x I，都有 f(x) M ;(2)存在 x 1，使f(x0) = M結(jié)論M 是函數(shù) y= f(x)的最大值M 是函數(shù) y = f(x)的最

2、小 值1 .基本函數(shù)的值域一次函數(shù) y= kx+ b (kz0)的值域?yàn)镽 R ;(2) 二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c(az0)的值域：，+4ac b2當(dāng) a0 時(shí)，值域?yàn)?,+a)；4a4ac b2當(dāng) av0 時(shí)，值域?yàn)?一a,；4a，k(3) 反比例函數(shù) y=_(xz0)的值域?yàn)?y R R，且yM0 ;x(4) 指數(shù)函數(shù) y= ax(a 0 且 az1)的值域?yàn)?0, +a)；(5) 對(duì)數(shù)函數(shù) y= logax (a 0 且 a豐1, x 0)的值域?yàn)镽 R ;(6) 正、余弦函數(shù)的值域?yàn)?,1，正切函數(shù)的值域?yàn)?R R .2.若 f(x)A 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間

3、D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上，f(x)max M ; q： M 是函 數(shù) f(x)的最小值.貝 U p 是 q 的(B)A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件臨3 對(duì)？x R R，都有 f(x)AM = M 是函數(shù) f(x)的最小值；M 是函數(shù) f(x)的最小值？對(duì)? x R R，都有 f(x) M.所以 p 是 q 的必要不充分條件.3. (2016 全國卷n)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y= 10lg x的定義域和值域相同的是(D)A . y = x B. y= lg xx1C

4、.尸2 D.尸x03 函數(shù) y= 10lg x的定義域與值域均為(0, +m).函數(shù) y=x 的定義域與值域均為(8,+).函數(shù) y=lg x 的定義域?yàn)?0, +)，值域?yàn)?8,+).函數(shù) y=2x的定義域?yàn)?8,+8)，值域?yàn)?0, + 8).1函數(shù) y=x 的定義域與值域均為(o,+8).故選D.2x 14.函數(shù) y= +1 的值域是(C).I IA . R R B . y|y 1, y R RC . y|y 2, y R R D. 22x 1因?yàn)?y=x+1又因?yàn)橐回S0，所以 2豐2,即卩 yz2.2 x+ 1 3x+ 13x+ 1x+ 1x+15A f(x)max=2, f(x)無最

5、小值B f(X)min= 1 , f(x)無最大值C f(x)max=1, f(x)min= 1D f(x)max=1, f(x)min=0GE3 f(x) = x 1-x 的定義域?yàn)?,1,易知 y= x 與 y - 1-x 在0,1上是增函數(shù)，所以函數(shù) f(x) = x 1-x 在0,1上是增函數(shù)，所以 f(X)max= f(1) = 1 , f(x)min= f(0) =一 1，故選 C.5 . (2018 南陽月考)已知 f(x) = x . 1 x,則(C)高頻 _-求函數(shù)的值域或最值OH 求下列函數(shù)的值域：y= x2+ 2x, x 0,3;2x+ 1y=(3)f(x)= 2x+ l

6、og3X, x 1,3.(1)因?yàn)?y= (x- 1)2+ 1, x 0,3,結(jié)合函數(shù)圖象可知，所求函數(shù)的值域?yàn)?,1.20 3)+ 7 因?yàn)槭瑥S所以所求函數(shù)的值域?yàn)閥 R R|yM2.由于 f(x)為增函數(shù)，所以 f(1) 1，所以 02,1 + x2 一所以一 1 0)，得 x=,1 t121所以 y=石t= 2(t +1) +1W2(t0)，1所以 y (-8, 2】分段函數(shù)的值域或最值數(shù) a 的取值范圍是因?yàn)楫?dāng) x 4.f(x)的值域?yàn)? , +8),所以當(dāng) x2, a1 時(shí)，3+ logax3 + loga24,所以 loga2 1,所以 1aW2;當(dāng) 0a1 時(shí)，3+ logax3

7、 + loga2，不合題意.故 a (1,2.(1,2 (1)本題主要考查單調(diào)性的應(yīng)用，分段函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力及分類討論能力.分段函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)f(x)在各個(gè)段上函數(shù)值域的并集.本題 f(x)在 x2 這段的值域是4 ,+8)的子集就行 了.fx2,xW1，12.(經(jīng)典真題)已知函數(shù) 軀)=&+66x1則ff( 2) = ?, f(x)的最小0 且a豐1)當(dāng) xW1 時(shí)，f(x)min= 0；當(dāng) x 1 時(shí)，f(x) = x+ - 6 2 6 6,X當(dāng)且僅當(dāng) x= 6，即 X= ,6 時(shí)，等號(hào)成立.所以 f(x)mi n= 26 60對(duì)于一切 x (

8、0 ,扌成立，則 a 的最小值為( )A . 0 B25C. 2 D . 3從題目條件的切入點(diǎn)不同可以有多種方法求解，主要有：配方法、分離變量法,F 面用分離變量法進(jìn)行求解.1因?yàn)?x (0, 2】，所以111515因?yàn)?y = x+ X 在 (0, 2】上單調(diào)遞減，在 X= 2 處取得最小值 2 所以(X + X)W5故 a 的最小值為2S3C(1)恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題.一般地，若f(x)A 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上,f(x)max0 ,所以 ax2+ xw1 可化為 aw文一寸1

9、1要使 aw-2-對(duì)任意 x (0,1恒成立，4設(shè) t=-，因?yàn)?x (0,1，所以 t 1,2彳X 11a = xX 1 1令 f(x) = X2 X, x (0,1，則只需要 aw f(x)min.所以當(dāng) t = 1 時(shí)，(一 t)min= 0 ,即 X = 1 時(shí)，f(X)min= 0.所以 aw0,即實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(g, 0.閱時(shí)小結(jié)1 函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的，因此，在研 究函數(shù)的值域時(shí)，既要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，又要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.2求值域的具體方法很多，如配方法、禾 U 用函數(shù)的單調(diào)性、不等式法等，但沒有通用 的方法和固定模式，要靠在學(xué)習(xí)過程中不斷積累，抓住特點(diǎn)，掌握規(guī)律要記住各種基本函數(shù)的值域，總結(jié)什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的函數(shù)用什么樣的方法求值域，以及使用各種方法的注意事項(xiàng)，并在解決求值域問題時(shí)注意選擇最優(yōu)