1、點與圓的位置關系1、 點在圓內=2、點在圓上=3、點在圓外=:r=點C在圓內;點 B 在圓上;點 A 在圓外;一、教材分析學生在學習本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉、推理證明等方式認識了許 多圖形的性質，積累了大量的空間與圖形的經驗.本章是在學習了這些直線型圖 形的有關性質的基礎上，進一步來探索一種特殊的曲線一一圓的有關性質.通過本章的學習，對學生今后繼續學習數學，尤其是逐步樹立分類討論的數學思想、 歸納的數學思想起著良好的鋪墊作用. 本章的學習是高中的數學學習，尤其是圓 錐曲線的學習的基礎性工程。本單元數學的主要內容：(1) 圓有關的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角.(2)與

2、圓有關的位置關系：點和圓的位置關系，直線與圓的位置關系，？圓和圓的位置關系.(3) 正多邊形和圓.(4) 弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側面積和全面積。(一)圓的概念1、 集合形式的概念：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合2、 軌跡形式的概念：圓：至 V 定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線)；角的平分線：至 V 角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；到直線的距離相等的點的

3、軌跡是： 平行于這條直線且到這條直線的距離等于定 長的兩條直線；到兩條平行線距離相等的點的軌跡是： 平行于這兩條平行線且到兩條直線距離 都相等的一條直線。第二十四章知識清單（三）直線與圓的位置關系1、直線與圓相離d . r 無交點；2、直線與圓相切d二r有一個交點;3、直線與圓相交d : r有兩個交點;（四）圓與圓的位置關系外離（圖1） 無交點d R r-外切（圖2） 有一個交點d = R r；相交（圖3） 有兩個交點R - r :：d：Rr；內切（圖4） 有一個交點d = R-r；內含（圖5） 無交點d：R - r；（五）垂徑定理1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論 1：

4、（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；O（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且 平分弦所對的另一條弧；以上共 4 個定理，簡稱 2 推 3 定理： 此定理中共5 個結論中，只要知道其中 2 個即可推出其它 3 個 結論，即：AB 是直徑 AB_CDCE二DE弧BC二弧 BD 弧AC二弧AD中任意2 個條件推出其他 3 個 結論推論 2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在OO中， AB /CD弧AC二弧 BD（六）圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相 等，所對的弧相等，弦心距相等。此

5、定理也稱 1 推 3 定理,即上述四個結論中，只要知道其中的 1 個相等，則可以推出其它的 3 個結論，即：.AOB DOE:AB =DE;OC -OF； 弧 BA =弧 BD（七）圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的 角的一半。即：T AOB和.ACB是弧 AB 所對的圓心角和圓周角 AOB =2. ACB2、圓周角定理的推論：推論 1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在OO中，C、. D都是所對的圓周角C D推論 2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所 對的弧是半圓，所對的弦是直徑。ADDCC即：在OO 中， AB

6、 是直徑 . C =90推論 3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半， 那么這個三 角形是直角三角形。即：在ABC中，TOC =0A =0BABC是直角三角形或.C=90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于 斜邊的一半的逆定理。（八）圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角即：在OO中，四邊形ABCD是內接四邊形.C .BAD =180BD =180DAE =/C（九）切線的性質與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：MN _OA且MN過半徑OA外端

7、MN是OO的切線2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論 1:過圓心垂直于切線的直線必過切占八、或 .C=90 AB是直徑CA推論 2:過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理:即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出 最后一個。(十)切線長定理切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 PA2二 PC PB(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的 兩條線段長的積相等(如上圖)。即：在OO中 PB、PE 是割線 PC PB =PD PE即： PA、PB 是的兩

8、條切線 PA =PBPO平分.BPA(十一)圓幕定理(1)相交弦定理：圓內兩弦相交,積相等。即：在。O中，弦 AB、CD相交于點 P , PA PB =PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即： 在OO中， 直徑AB _CD， CE2二 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在OO中， PA 是切線，PB 是割線(十二)兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這 個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分 AB。即：TOOi、OO2相交于 A、B 兩點二 OQ

9、 垂直平分 AB(十三)圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1)公切線長：Rt.QO2C中，AB2rCO,2=0022匚CO22；(2)外公切線長：CO2是半徑之差； 內公切線長：CO2是半徑之和(十四)圓內正多邊形的計算(1)正三角形在OO中厶ABC是正三角形，有關計算在Rt BOD中進行：OD:BD:OB =1: .3:2 ;(2) 正四邊形同理，四邊形的有關計算在RHOAE中進行，OE : AE : OA =1:1:2:(3) 正六邊形同理，六邊形的有關計算在Rt OAB中進行，AB: OB :OA =1: 3 2.(十五)扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：(1)弧長公式：I =n

10、 R;180(2)扇形面積公式：S 二匸二丄取3602CODn:圓心角R :扇形多對應的圓的半徑丨：扇形弧長S:扇形面積2、圓柱：（1）圓柱側面展開圖2S表二 S側2S底=27.rh 2 二 r（2）圓柱的體積：V-二 r2h（3）圓錐側面展開圖（4）S表 VS=：Rr 二 r21（5） 圓錐的體積：Vr2h3三、隨堂練習（一）選擇題1、 如圖，A、B、C是。O上的三點，且 A 是優弧BAC上與點 B、點C不同的一點，若-BOC是直角三角形，則-BAC必是（）.A.等腰三角形B.銳角三角形C.有一個角是30的三角形D.有一個角是45的三角形2、 有下列四個命題：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對

11、的弦相等經過三個點一定可以作圓；三角形的外心到三角形各邊的距離都相等；三角形的內心到三角形各頂點的距離相等其中正確的有（）A . 4 個 B . 3 個 C . 2 個 D .1 個3、 如圖,AB 是。 O 的直徑， CD 是弦， 若 AB=10 cm,CD=8 cm,貝 U A、 B 兩點到直 線CD 的距離之和為（）A. 12 cm B . 10 cm C . 8 cmD . 6 cm4、 如圖：四邊形 ABCD 為 OO 的內接四邊形，點 E 在 CD 的延長線上，如果/BOD=120，那么/ BCE 等于（）A: 30B : 60C : 90D : 120 5、 如圖， 弦 AB/C

12、D,E為CD上一點，AE 平分CEB，則圖中與AEC相等（不包括AEC）的角共有（）3 個 B . 4 個 C . 5 個C（第4A第 1 題圖6 若正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，它們的面積分別是S、S2、S3,則下列關系成立的是（）A . Si=S2=S3B. SiS2S3C. SiS2SS7、如圖，等腰梯形 ABCD 中 AD/ BC 以 A 為圓心，AD 為半徑的圓與 BC 切于點M 與 AB 交于點 E,若 AD= 2, BO 6,則|5E 勺長為（）348、如圖中的正方形的邊長都相等，其中陰影部分面積相等的圖形的個數是（）A. 1 個 B . 2 個 C . 3 個 D .

13、4 個9、 一塊等邊三角形的木板，邊長為 1，現將木板沿水平線翻滾（如圖），那么 B點從開始至結束所走過的路徑長度為（）10、如圖 10，兩個半徑都是 4cm 的圓外切于點 C, 一只螞蟻由點 A 開始依 A、B、 C、D E、F、C、G A 的順序沿著圓周上的 8 段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這 8 段路徑上不斷爬行，直到行走 2006ncm 后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（二）填空題11、 半徑為 1,圓心角是 300o 的弧長為 ,在半徑為 12cm 的圓中，一條弧 長為6二 cm 此弧所對的圓周角是12、 一條弦把圓分成 2:3 兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數為A.A.主2B.

14、C.4D.2().F 點D10 題13、如圖。O 與。Q 的半徑分別是方程x27x + 11=0的兩根，如果兩圓相切，那么圓心距 d 的值是_、 ABC 內接于OQ 若/ A0B=1l0，則/ C _ ;15、OQ2 和。Q1 相交于點 A、B,它們的半徑分別為 2 和-2，公共弦 AB 長為 2,則/1AQ2=_ .16、已知O勺半徑 r = 5 , 到直線I的距離 QA=3 點 B 在直線I上， 如果線段 AB=2則點 B 在O _.17、如圖所示，O的半徑 QA=6 以 A 為圓心，QA 為半徑的弧交O于 B，則 BC=18、 如圖所示，兩圓輪疊靠在墻邊，已知兩圓輪半徑分別為4 和 1，

15、則它們與墻的切點 A、B 之間的距離為_19、如圖，O。1、O。2相內切于點 A,其半徑分別是 8 和 4,將0。2沿直線。1。2平移至兩圓相外切時，則點。2移動的長度是_20、如圖：OI 是直角 ABC 的內切圓，切點為 D E、F,若 AF, BE 的長是方程x2-13x -30 =0的兩根，則 ABC 的面積為_；21、如圖所示，/ ABC=90 , 為射線 BC 上一點，以點 Q 為圓心，1/2BQ 長為半徑作OQ,當射線 BA 繞點 B 按順時針方向旋轉 _時與OQ 相切22、如圖，在邊長為 3cm 的正方形中，OP 與OQ 相外切，且OP 分別與 DA DC邊相切，OQ 分別與 B

16、A BC 邊相切，則圓心距 PQ 為_:23、如圖，O的半徑為 3cm B 為O外一點，QB 交O于點 A, AB=A 動點 P從點 A 出發，以ncm/s 的速度在O上按逆時針方向運動一周回到點 A 立即停 止：當點 P 運動的時間為_s 時，BP 與OQ 相切：24、如圖，90 的直徑 AB 和弦 CD 相交于點 E,已知 AE= 1 cm, E 吐 5 cm, / DEB=60,貝UCD 的長為_ :第 18 題圖第 21 題圖第 17 題圖A第 19 題圖第 20 題圖B 第 25 題圖第 22 題圖第 23 題圖第 24 題圖25、 如圖，O1與O2相交于點 A、B,且Q1A是O2的

17、切線，O2A是O1的 切線，A 是切點：若O1與O2的半徑分別為 3 和 4,則公共弦 AB 的長為cm :(三)解答題26、如圖，在 ABC 中, ABAC, D 是 BC 中點，AE 平分/ BAD 交 BC 于點 E,點 0 是AB 上一點 0 過A E兩點,交 AD 于點 G,交 AB 于點 F.(1)求證：BC 與O0 相切(2)當/ BA(=120O時，求/ EFG 的度數.27、如圖，AB 是O0 的直徑，AM 和 BN 是它的兩條切線，DE 切O0 于點 E,交 AM 于點 D,交 BN 于點 C, F 是 CD 的中點，連接 OF(1) 求證：OD/ BE；(2) 猜想：OF

18、 與 CD 有何數量關系？并說明理由.28、AABC 中，/ BAC=90 , AB=AC=2 2, A 的半徑為 1,如圖所示.若點0 在 BC 邊上運動(與點 B、C 不重合)，設 BO=x AOC 勺面積為 y.(1) 求 A 與厶 ABC 重疊部分圖形的面積(結果用n的式子表示)；(2) 求 y 關于 x 的函數解析式，并寫出函數自變量 x 的取值范圍；(3) 以點 0 為圓心，BO 長為半徑作圓，求當 0 與 A 相切時，求厶 AOC 勺面積.29、在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標為 0(0, 0)、B( 12, 0)、C( 12,16),由三個觀測點確定的圓形區域是海洋生物保護區，如圖所示.(1) 求圓形區域的面積；(2) 某時刻海面上出現一漁船 A,在觀測點 O