1、相關系 it 與蔻43 協方差相關系數與矩當研究的問題涉及多個隨機變量的時候， 變量與變量之間的關系，是必須關注的一個 方面.本節介紹的協方差、相關系數就是描述 隨機變量之間相互關系的數字特征.D(X+y) )=D(X) +D( (y) )+2EX-E(X)Y-E( (y) )D(X-Y)D(X)+D( (y) )-2X-E(X)y-E(K)NJ V厚相關系 it 與矩一協方差定義 4.3.1 若EX-E(X)Y-E(Y)存在， 稱Cov( X9Y)=EX-E(X)Y-E(Y)為隨機變量( (x,y) )的協方差.有D(X)=COV(X9X)；D(X 士 丫)二 D(X)+D(K) 士 2C“

2、(X,Y)協方差的性質：l.Cov(X, Y)=COV(Y9X)；VS相關系數與範13.4.152. Cov( aX,bY)= ah Cov(X,Y), a是常數；3. Cov( XX2, Y)= Cov(X,Y)+Coy(X29Y).證2)Cov(aX.hY) = EaX -aE(X)hY -bE(Y)=X - E(X )F -E( (y )= abCov(X9Y).常用計算公式：cov( X, Y) =E(XY) -E(X)E(Y)例 4 3 1例 4.3.2相關系數與矩二、相關系數定514.3.2設二維隨機變量X#的D(X)0, o( (y) )o,稱_ Cov( (x.y) )PxY_

3、 Jo( (x) )jD( (y) )為隨機變量 x 與 y 的相關系數.注是一無量綱的量.2)X-Eg YE(Y)PxY =-1 /、/ 、13.4.15標準化隨機變量的相關系數與範13.4.15= EX” = S(X,Y)_性質設隨機變量 xy 的相關系數存在，則1) ipii；2) 洌=1 與 y 依概率為 1 線性相關即存在 a.Q(aHO),=就+/? = 1相關系數是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的數字特征.練習將一枚硬幣重復拋擲次，x,y 分別表 示正面朝上和反面朝上的次數，則“燈=1相關系It與矩13.4.15注 1 若隨機變量 X, 丫的相關系數必 r 存在，1) 若必 y

4、=l,PY =aX = 1中的 a。稱正相關；2) 豺=一 1，則 QVO 稱 X,y 負相關；3) “燈=0,稱 x,y 不相關注 2 化“=0 僅說明 X, 丫之間沒有線性關系， 但可以有其他非線性關系.參見講相關系數與範13.4.15義 Pl 14.例 4 4 4 相關系數與矩定理 4 3 1 若隨機變量 x 與 y 相互獨立，則x 與 y 不相關，即有pXY=0.注 1 此定理的逆定理不成立，即由px、=o 不 能得到 x 與 y 相互獨立.注 2 若丫）儀討；“2，*2；），），則X,Y相互獨立=0 參見 P116 例 4.4.6定義 4 3 3 設維隨機變量（X 泌”比）的協均存在

5、，稱矩陣C=（cQ為（XvX2，Xn）的協方差矩陣.例4 3 例4 3 例4 3 相關系數與矩13.4.15方差Cq|IB!z7_相關系敎與矩13.4.15其中有Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)D(X)二cov(X,X)例 4 3 6三、協方差矩陣的性質1)cu= DQXi),i= *,2,“；A?定義 4 3 4 設 X 為隨機變量，若 E(IXW) v+00,稱yk= E(Xk)Zc=l,23.為 X 的 R 階原點矩.稱效二 E(IXF), *=1,23為為X的的k階絕階絕對原點矩.定義 4 3 5 設 X 為隨機變量，若 EIX-E(X)F +00,稱=EX-E(WA=1,

6、23為 X 的 k 階中心矩.對稱陣3) C 是非負定矩陣;4)Cjj SCjj ci 9 j = y29 9巾相關系與矩13.4.15相關系 it 與蔻稱pk=EIX-E(X)IAk=W.為為X的的k階階絕對中心矩.其中D(X)二 EX-E(X)F=E(X2) ) E(X)F注意到 “2=D( (X), yj=(X),y2=E(X2)2 =/2-/l更一般的，因“=0,可得 *與心的關系：二 E( (* ) = EX-E(X) +E(X)f= E(X-Z1) +rif相關系數與矩13.4.15k線性性質iO同理以以=（-1廠；疔究/=0隨機變量的矩是數！ ! !計算協方差 6 p( (xny

7、) ).xvx2xn相互獨立，故相關系數與矩13.4.15例4 3 1(X,y) )在以原點為圓心的單位圓內服從均勻分布芯宀宀 1;0, 其它求 Cov(X,Y) L cdx= 0，兀故 Cov(X,Y)=E (XY)-E (X) E(Y)= E (XY)= ffdxdy2 2n相關系數!lC例4 3 2設隨機變量XX21)相互獨立同分布，且其方差為/ 0,令L3Cov(XvXi)8若 戸= + ” = 】,E（y）= a（x）+ Q, （r）= 2（x）,COV（X9Y）=EX一E（X川丫-E（y）= EX-E（X）CLX+0 E（OX+卩）=cuP（X）cov（x,y）Pxy_ jD（x）

8、Jo（y）相關系數與矩13.4.15p = 7時由 1）有n（x*+y*）= o, E（x*+r*）= o.由方差的+y* =JE（X*+y*）=i,相關系數與矩可先求出V 分布律.解由已知可得例 4.3.4 設二維隨機變量（X,Y） 在矩形 G=（x,j）|0SrY.山X 2Y;X 2Y.求“陽分析Puv =JZW）JD（V）E(UV)-E(U)E(V)f( (x.y) =(x.y)eG;其它.E(l/) = 0 xPXy + lxPXy) )= 3/4 = E(72)相關系數與矩13.4.15例 4 3 5 某集裝箱中放有 10（附產品，其中一. 二、三等品分別為 80、10. 104 牛

9、現從中任取 一件，記需求cov(XX2) )E(X|X2) )-E( (XJE( (X2) )P廠JD(XJJD(X2)_ JD(XJJD(X2)相關系數與範13.4.15的分布律為 UV =X2Y.故E(UV) = E(V)=l/2,Puvcov(t/,V)_ E(UVE(f7)E(V)2-42石V 16 4相關系數與矩13.4J5X=1.抽到f等關鍵是求/X/J =求出啟 X2 分布律解由已知可得F(Xl) = 0 xP4* 到非一等駒+ 1 x 尸抽至 J 一等品 = 0.8(*) = ().8( 1-0.8) = 0.16同理疋(*2) )= 1/(X2) = 0.(91, 抽到一等品

10、同時抽到二等品;Xi*?=,其它.E(XX2) )=1 XPXX1+0 XPXJ2=0=1X0 4-0X1=0相關系數與矩13.4.15例 4 3 6 設二維隨機變量（X, 丫）的聯合概率密度為0 x 1, 0 j 2(1 -x);其它.求：（X,Y）的協方差矩陣。分析 計算（x,y）的協方差矩陣，本質上就 是計算 x. y 的方差和協方差.解先計算 E(X), E( (y) )E( x) = fVVCx, J)dxdy= f 必bx2ydy=f 12x2(l -x)2rfx =J”v()=jyf(x.y)dxdy = j dxj 6xy2dy=J 16x(1-x)3rfx =相關系數與範13

11、.4.15相關系數與範13.4.15/（2）相關系數與矩13.4.15為計算方差，再計算E(X2), E(Y2) E(X2) =CCx2f(xy)dxdyJCO J8fixydy=12x3仃一x)2dr = y2r+f+oo2E(廠) )=f fyf(x.y)dxdyJOO JOO=jdrj( (6xj3Jy = j24x(l-x)必=相關系數與矩得到Cov(X. Y) = -Ax_=_ 155575于是，( (x,y) )的協方差矩陣為例 4 3 7 設隨機變量 X. y 相互獨立，XN(1,2), JN(O, 1),求 Z = 2X-Y+3 的 概率密度.解 Z是相互獨立的正態分布隨機變量 X、Y的線性組合，故 Z 也服從正態分布;計算 Z 的 均值和方差，有E(Z) = 2 E(X) - E(Y) + 3 = 2- 0 + 3 = 5D(Z) = 4 D(X) + D(Y) = 4 x 2 + 1 = 913.4.154一754一相關系敷與蔻13.4.15因此，ZN(5, 32) ),其概率密度為相關系數與矩13.4.15例 4 3 7 (習題四第 21 題,P122)設二維隨機變量(乙丫)(1,32;0,42;-0 5