1、高考導數解答題專練（零點個數問題）在解題中常用的有關結論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導函數在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數，不等式的解集決定函數的遞增（減）區間。(4)函數在區間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數在區間I上不單調等價于在區間I上有極值，則可等價轉化為方程在區間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數且I=R，則有）。(6) 在區間I上無極值等價于在區間在上是單調函數，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8) 若，使得，則；若，使得，則.(9)(9)設與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(

2、10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知在區間上的值域為A,，在區間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1設函數，（1）證明：當，時，f(x)0；（2）判斷函數在上的零點個數2已知函數在區間，上的最小值為，最大值為1（1）求實數，的值；（2）若函數有且僅有三個零點，求實數的取值范圍3已知函數（1）若函數在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若函數在定義域內沒有零點，求的取值范圍4設，為實數，且，函數（）求函數的單調區間；（）若對任意，函數有兩個不

3、同的零點，求的取值范圍；（）當時，證明：對任意，函數有兩個不同的零點，滿足（注是自然對數的底數）5已知函數（）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）當時，求函數的零點個數，并說明理由6已知函數（1）若，求函數的極值；（2）若函數無零點，求實數的取值范圍7已知函數（1）證明：有唯一極值點；（2）討論的零點個數8已知函數（1）求函數的單調區間和極值；（2）畫出函數的大致圖象，并說明理由；（3）求函數的零點的個數9已知函數（1）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，討論函數的零點個數，并給予證明10已知函數，其中，（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）判斷函數是否存在極值，若

4、存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數在，上零點的個數11設，（1）討論在，上的單調性；（2）令，試判斷在上的零點個數，并加以證明12已知函數的圖象在點處的切線方程為（1）若對任意有f(x)m恒成立，求實數的取值范圍；（2）若函數在區間內有3個零點，求實數的范圍高考導數解答題專練三（零點個數問題）解析1設函數，（1）證明：當，時，f(x)0；（2）判斷函數在上的零點個數解：（1）證明：令，在，上單調遞增注意到，存在唯一的使且當時，單調遞減；當時，單調遞增；注意到，f(x)0（2），當時，單調遞減，在上有一個零點當時，由（1）知，無零點當時，令，且當時，單調遞增；當時

5、，單調遞減，當時，也無零點綜上：在上有唯一的零點2已知函數在區間，上的最小值為，最大值為1（1）求實數，的值；（2）若函數有且僅有三個零點，求實數的取值范圍解：（1）函數，則，當時，令，可得或，此時函數的增區間為，的減區間為，由，（2），因為函數在區間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，；當時，令，可得，此時函數的減區間為，的增區間為，由，（2），因為函數在區間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，綜上所述，或，；（2）當時，若函數有且僅有三個零點，實數的取值范圍為；當，時，若函數有且僅有三個零點，實數的取值范圍為3已知函數（1）若函數在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若函數在定義域內沒

6、有零點，求的取值范圍解：（1）因為函數在上單調遞減，所以在上恒成立，由，可得，由于，則在上恒成立，令，故在上單調遞增，所以只需即可，所以，所以的取值范圍是，（2）的定義域為，令，當時，單調遞增，故存在，使得，即，即，兩邊取對數得，而在上單調遞減，在，上單調遞增，故，故，將代入上式得，化簡得，因為，當且僅當，即時取等號，所以，故，即的取值范圍是4設，為實數，且，函數（）求函數的單調區間；（）若對任意，函數有兩個不同的零點，求的取值范圍；（）當時，證明：對任意，函數有兩個不同的零點，滿足（注是自然對數的底數）解：（），當時，由于，則，故，此時在上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，此時在單調遞減，

7、在單調遞增；綜上，當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（）由（）知，要使函數有兩個不同的零點，只需即可，對任意均成立，令，則，即，即，即，對任意均成立，記，則，令（b），得，當，即時，易知（b）在，單調遞增，在單調遞減，此時（b），不合題意；當，即時，易知（b）在，單調遞減，此時，故只需，即，則，即；綜上，實數的取值范圍為，；（）證明：當時，令，解得，易知，有兩個零點，不妨設為，且，由，可得，要證，即證，即證，而，則，要證，即證，即證，而，即得證5已知函數（）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）當時，求函數的零點個數，并說明理由解：（）當時，則切線的斜率（1），

8、所以切線方程為，即，所以曲線在點，（1）處的切線方程為（）的定義域為，令，解得，當時，與在區間上的情況如下：100極大值極小值在上遞增，在上遞減，在上遞增此時，所以在上只有一個零點，當時，由，得，（舍，所以在上有一個零點；當時，與在區間上的情況如下：10極小值此時，若時，所以在上無零點，若時，所以在上有一個零點，若時，所以有兩個零點綜上所述，當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點；，當時，在上無零點6已知函數（1）若，求函數的極值；（2）若函數無零點，求實數的取值范圍解：（1）當時，所以，令，得，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增所以為函數的極小值點，極小值為；無極大值（2）由，得當時，

9、此時函數沒有零點，符合題意；當時，所以函數單調遞減又，且，所以函數有零點，不符合題意；當時，令，則當，時，所以函數單調遞減；當，時，所以函數單調遞增所以，若函數沒有零點，則需，即，得綜上所述，若函數無零點，則實數的取值范圍為，7已知函數（1）證明：有唯一極值點；（2）討論的零點個數解：（1）設，則，故單調遞增又，故存在唯一，使得當時，單調遞減；當時，單調遞增故是的唯一極值點；（2）由（1）是的極小值點，且滿足又；同理故時，有兩個零點；時，有一個零點；時，無零點又令，解得，即令，此時關于單調遞增，故令，解得，即此時，故令，解得，即此時關于單調遞增，故綜上所述：當時，有兩個零點；當時，有一個零點；

10、當時，無零點8已知函數（1）求函數的單調區間和極值；（2）畫出函數的大致圖象，并說明理由；（3）求函數的零點的個數解：（1）函數，定義域為，則，令，解得，當時，則單調遞減，當時，則單調遞增，故當時，函數有極小值，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，有極小值，無極大值；（2）令，解得，當時，當時，所以的圖象經過特殊點，當時，與一次函數相比，指數函數呈爆炸式增長，增長速度更快，結合（1）中的單調性與極值情況，作出函數的圖象如圖所示：（3）函數的零點的個數為函數的圖象與直線的交點個數，由（1）以及（2）的圖象可知，當時，有極小值，結合函數的圖象，所以關于函數的零點的個數如下：當時，零點的個數為0個

11、；當或時，零點的個數為1個；當時，零點的個數為2個9已知函數（1）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，討論函數的零點個數，并給予證明解：（1），由題意得，即在區間上恒成立，當時，所以，故實數的取值范圍是，（2）由已知得，則，當時，函數單調遞減，又，（1），故函數有且只有一個零點當時，令，得，函數單調遞減；令，得，函數單調遞增，而，在上恒成立），由于，所以，所以在，上存在一個零點，又，且，設（a），（a）在恒成立，故（a）在上單調遞增，而，所以（a）在上恒成立，所以，所以在，上存在一個零點綜上所述，當時，函數有且只有一個零點；當時，有兩個零點10已知函數，其中，（1）當時，求曲

12、線在點，處的切線方程；（2）判斷函數是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數在，上零點的個數解：（1）時，故切線方程是：；（2），設，故遞減，又時，若，即時，使，當時，遞增，當，時，遞減，在處取極大值，不存在極小值，若，即，在，遞增，此時無極值，（3）由（2）可知：若時，由上問可知：，即時函數沒有零點，若時，時，遞增，時，遞減，由得，從而，再設，則從而關于遞增，若，此時，若得或，時無零點，得，時有1個零點，當時，有1個零點，因此時無零點，時有1個零點；，此時，設，則，故，若即，即時無零點，若即，即時有1個零點，綜上，時無零點，時有1個零點11設，（1）討論在，上的單調性；（2）令，試判斷在上的零點個數，并加以證明解：（1），令，則，或，時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增，時，單調遞減，綜上，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，和，（2）在上有3個零點，證明如下：，則，故是的一個零點，是偶函數，要確定在上的零點個數，只需確定時，的零點個數即可，當時，令，即，時，單調遞減，時，單調遞增，在有唯一零點當時，由于，而在，單調遞增，故，故在，無零點，在有一個零點，由于是偶函數，在有一個零點，而，故在上有且僅有3個零點12已知函數的圖象在點處的切線方程為（1）若