1、一、基本概念2.向量的模：向量的大小叫向量的長度或模.i己為2.向量的模：向量的大小叫向量的長度或模.i己為1. 空間向量：在空間內，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示.特別地： 規定愴度為。的向量為零向量，記作6；模為1的向量叫做單位向量；3. 相等的向最：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4. 負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量.如；的相反向量記為(1) 共線向量：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向昂:或平行向最，記作；:施.(2) 共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量.(3) 定理共線向最定理：

2、對于空間任意兩個向鼠3(2。) 的充要條件是存在實數人，使得旗福. 共面向量定理：如果兩個向量云&不共線，則向量；與向量云B共面的充要條件是存在唯一 的有序史書對(x, y),使得；=擠+)擊.6.注意： 零向量的方向是任意的，規定6與任何向量平行；單位向量不一定相等，但單位向昂:的模一定相等且為1; 方向相同旦模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向旦等長的有向線段表示同 一向量或相等向量；空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量； -般來說，向量不能比較大小.32. 如題圖，三棱錐P - ABC中，PC_L平面ABC, PC=3, ZACB=. D, E分別為線段 AB, B

3、C 上的點，且 CD=DE=V2，CE=2EB=2.(I )證明：DE_L平面PCD(H)求二面角A-PD-C的余弦值.33. 如圖，在三棱臺ABC - DEF中，己知平面BCFE1平面ABC, ZACB=90°,BE=EF=FC=1, BC=2, AC=3,(I )求證：BFJ_平面 ACFD；(H)求二面角B - AD - F的余弦值.如圖，在四棱柱 ABCD - AiBiCiDi 中，側棱 AAiJ_底面 ABCD, AB±AC, AB=1, AC=AAi=2, AD=CD=V5»且點M和N分別為BiC和DiD的中點.(I )求證：MN平面ABCD(n )求

4、二面角Di - AC - Bi的正弦值；(HI)設E為棱AjBi上的點，假設直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為【，求線段A正的長.35.如圖，四棱錐P - ABCD中，底面ABCD為矩形，PA_L平面ABCD, E為PD的 中點.(I )證明：PB平面AEC；()設AP=1, AD=V3,三棱錐P-ABD的體積V=垂，求A到平面PBC的距離.2017年12月02日空間立體幾何參考答案一. 選擇題（共14小題）1. C； 2. B； 3. A； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. A； 9. B； 10. D； 11. B；12. B： 13. C； 14. C；填空題（共

5、12小題）15.蘭叵 16. 3； 17. （0, -4, 0） ； 18.仰 19.（0, 1, 1） ； 20.皂，三，1）；5_ 一3 3 3一;22. V13； 23. 23； 24. 1； 25. 堂；26. 1;917二. 解答題（共9小題）27. ； 28. ； 29. ； 30. ； 31. ； 32. ； 33. ； 34. ； 35.；語言描漆共線向重(平行向室)表示空I回向量的有同線段所在的直線平行或重舍.共而向堡平行于伺一平面的向堡.共頗量定理對空間f壬意兩餉篁；3(爵。)，二夕了雖在作己使二誠.共面向童定理若兩個向魴，片不共統，則向孤與向童S，戲面T?在唯一的有序商對

6、(x. y)，嗎=xg+y幻空旬向室基本定理(1) 定理：如果三個向童3、5、缽共面，那么對空間任TH)堂;，存在有序實荻組x, y, z使捋;=x：+y»+z；.(2) 推論：設O、As B、C是不共面的四點，則對空|司一點而B存在唯一的二個向序頭數x、y、z=x+y+z 且 x+y+z=.二、空間向量的運算1、加減法(1)空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.減法的三角形法則加法的平行四邊形法則OB = 0A + AB = a * b空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.加法的三角形法則加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結合律.

7、交換律：結合律：(2) 推廣 *首尾相接的假設干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量:*首尾相接的假設干向量假設構成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量空間向量的數乘運算(1)實數入與空間向量;的乘積入5仍是一個向量，稱為向量的數乘運算.X>0入<0 當入0時，房與；的方向相同；當入V。時，滿與；的方向相反； 當入二0時，Xa=6. |房|=|A|.p|, A.Z的長度是;的長度的IN倍.（2）運算律空間向量的數乘滿足分陀律及結合律4卜配律：A（a + b） = Aa + Ab（A + /.i）a = Aa + /.ib結合律：以福） = （況2. 空間向量的數量積

8、和坐標運算1.兩個向童的數童積（）q3=IqIBIcosVq, b；（2）力；=；3=0 （板，3為非銅童）5lal'a' laF/片2十2.坐標運算三.直線的方向向量a= （a” 眼，合3），b=S，內）向童和丹3*。3）向重差ab=邊1,如。2，甘3&3）數量積方=酉少，如&2合3。3共線心 方=3=人。1，82=人。2，合3=，。3 （人ER）垂直；=31S 82&2合3內=0夾角_。仍1 +為+Q "&+浪+亦/尻+員+房1、直線的方向向量:空間中任意一條直線I的位置可以由I上一個定點A以及一個定方向確定.直線I上的 向量；以及

9、與；共線的向量叫做直線I的方向向量.注意： 條直線I有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行. 直線I的方向向量也是所有與I平行的直線的方向向量.2、方向向量的求法：可根據直線I上的任意兩點的坐標寫出直線I的一個方向向量.3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量 來刻畫平面的“方向”.如果表示向量；;的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂 直于平面，記作n ±a,如果；±a,那么向量；;叫做平面a的法向量.注意： 法向量一定是非零向量；一個平面a有無窮多個法向量，這些法向最之間互相平行； 向量二是平面的法向量

10、，向量福是與平面平行或在平面內，則有=一個平面a的法向量也是所有與平面a平行的平面的法向量.4, 法向量的求法：(1) 設：設出平面法向量的坐標為=(",5)；列：根據a»n = O.h»n = 0,列出方程組；(2) 解：把u或v或w)看作常數，用u或v或w表示另外兩個量；取：取u為任意一個數當然取得越特殊越好)，則得到平面法向量；;的坐標.四、用向量證明平行直線與直線平行設直線a和i2的方向向重分別為3和3,則由向童共線的條件得：11也(或H與b重合)=汀貳直線與平面平行(1) 已知兩個m略向重；7和三與a共面，直線I的一個方向向童為；，則由共面向重定理可以得

11、：la或I在0內=存在兩個有序菽(x, y)使了=工3*。5(2) 由共面向量定理還可以得，如果A B, C三點不共線，則點M在平面ABC內的充要條件是，存在一對有序實數(x, y)使的重表 達式點=痂-床成立.1. 平面與平面平行設平面a、6的法向重分別為”、小，則：a鄧或a與6重合=云在實熟，使云=訪五、用向量證明垂直(1) 線線垂直：設直線1|、切的方向向墮分別為：、W'Jl|±l2a-Li°°a,5 =0s線面垂直， 沒直線|的方向向量為：，平面a的法向量為日，則l_Lao：E=Z=l<E： 由線面垂直的判定定理，只要證明已知直線的方向向堂與

12、平面內兩個不共線向量垂直.(2) 面面垂直： 證明兩個平面的法向童垂直，即兩個平面的法向重：_1了=；了=0；由面面垂直的判定定理可知，只要證明一個平面內的一條直籍的方向向筮和一個平面內的兩條相交直線的方向向壁垂直.一. 選擇題(共11小題)已知直線I的一般方程式為x+y+l=O,則I的一個方向向量為)A. (1, 1) B. (1, - 1) C. (1, 2) D. (1, - 2)已知等差數列an的前n項和為Sn，旦S2=ll, S5=50,則過點P (n, an)和Qn+2, an.2) (nEN*)的直線的一個方向向量的坐標可以是()A, ( - 1, -3) B. (1, -3)C

13、. (1, 1) D. (1, - 1)1. 假設直線11，12的方向向量分別為總(2, 4, -4), b= ( -6, 9, 6),則( )A. 11/12 B. Ii±l2C. h與12相交但不垂直D.以上均不正確 直線a, b的方向向量分別為(1, - 2, - 2) ,( - 2,3, 2),則a與b的位置關系是()A.平行 B.重合 C.垂直 D.夾角等于2L3假設 A(0, 2,坦)，B (1, -1, 1) , C ( - 2, 1, 1)是平面 a 內的三888點，設平面a的法向量&= (x, y, z),則x： y： z=()A. 2： 3： ( -4)

14、B. 1： 1： 1C. -X 1： 1 D. 3： 2： 4 22. 己知奄二(1, 5, -2) , BC=(3, 1, z),假設AB±BC» BP= (x- 1, y,-3),且BP_L平面ABC,則實數x、y、z分別為()A.垂,-1-, 4 B.些,-匹,4 C.些,-2, 4D. 4,些,-157777777.假設直線I的方向向量為京 平面a的法向量為3能使la的是()A.芋(1, 0, 0) , n= ( - 2, 0, 0) B. a= (1, 3, 5) , n= (1, 0, 1)C.總(0, 2, 1) , n= ( - 1，0, - 1)D.第(1

15、, - 1, 3) , n=(0, 3,1)8.設亳二(4, 3)，言在E上的投影為旦2 "fex軸上的投影為2,且|b|<14,2A. （2, 14）A. （2, 14）B（2,號）C. （-2,草）D. （2, 8）9.如圖，在正方體ABCD - AiBiCiDi中，P為對角線BDi的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有)DD1BA. 3個B. 4個C.5個D. 6個己知直二面角a - I - P，點AGa, AC_U, C為垂足，BEp, BD±I, D為垂足，假設AB=2, AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于)A.也B.垂C.巫D.333在正四棱柱A

16、BCD - AiBiCiDi中,頂點如到對角線BDi和到平面AiBCDi的距離分別為h和d,則以下命題中正確的選項是()假設側棱的長小于底面的邊長，則衛的取值范圍為0, 1)dA. 假設側棱的長小于底面的邊長，則*的取值范圍為磬，氣3)假設側棱的長大于底面的邊長，則斗的取值范圍為(譬，V2)B. 假設側棱的長大于底面的邊長，則*的取值范圍為(半，+8)填空題共12小題)15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為BC的中點，點P在線段DiE上，點P到直線CCi的距離的最小值為.16-假設言二(1, 0, 2)，E二(0, 1, 2)，則 la-2b 1=17. 己知A (1

17、, 2, - 1)關于面xOz的對稱點為B,則.18. 如圖，在三棱錐 D - ABC 中，已知 AB=AD=2, BC=1, AC 而二-3,則 CD=19.如圖，在四棱錐S -ABC D中，底面ABCD為矩形，SD_L底面ABCD, E 血,DC=SD=2,點M在側棱SC上，ZABM=60°.假設以DA, DC, DS,分別為x軸,y軸，z軸建立如下圖的空間直角坐標系D - xyz,則M的坐標為20.如圖，為一個正方體截下的一角P-ABC, |PA|=a, |PB|=b, |PC|=c,建立 如圖坐標系，求ABC的重心G的坐標.21.以下關于空間向量的命題中，正確的有. 假設向量

18、三，E與空間任意向量都不能構成基底，則項總假設非零向量a，b，d滿足a-L b» b-L c則有a c; 假設/，0B，反是空間的一組基底，且瓦=里蒞+里蒞+上反，則A, B, C, D333四點共面;假設向量a+b，b+c，c+a，是空間一組基底則a，b，c也是空間的一組基 底.21. 由空間向量總(1, 2, 3) , b= (1，L 1)構成的向量集合A=Gl=a+kb»k£Z,則向量x的模I x |的最小值為22. 己知點 A (1, 2, 1) , B ( - 2, 1, 4), D (1, 1, 1),假設示2瓦，2則I司I的值是.23. 已知空間四點 A (0, 1, 0) , B (1, 0, 1) , C(0, 0, 1) , D (1, 1, 1),22則異面直線AB, CD所成的角的余弦值為.A B如圖ABCDAiBiCiD