1、 2008 現(xiàn)代控制理論試題B卷及答案一、1 系統(tǒng)能控的狀態(tài)變量個數(shù)是，能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是。 2試從高階微分方程求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程（4分/個）解 1 能控的狀態(tài)變量個數(shù)是2，能觀測的狀態(tài)變量個數(shù)是1。狀態(tài)變量個數(shù)是2。.（4分）2選取狀態(tài)變量，可得 .（1分）.（1分）寫成.（1分）.（1分）二、1給出線性定常系統(tǒng)能控的定義。（3分）2已知系統(tǒng)，判定該系統(tǒng)是否完全能觀？(5分)解 1答：若存在控制向量序列，時系統(tǒng)從第步的狀態(tài)開始，在第步達到零狀態(tài)，即，其中是大于0的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第步上是能控的。若對每一個，系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。.

2、（3分） 2.（1分）.（1分）.（1分），所以該系統(tǒng)不完全能觀.（2分）三、已知系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)分別為求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。（8分）解 .（5分） 最小實現(xiàn)為.（3分）四、將下列狀態(tài)方程化為能控標準形。(8分)解 .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（1分）五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（8分）解 .（3分）特征根.（3分）均具有負實部，系統(tǒng)在原點附近一致漸近穩(wěn)定.（2分）六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng)是否為大范圍漸近穩(wěn)定： （8分）解 .（1分）.（1分）.（1分） .（1分）.（1分）正定，因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定

3、的.（1分）七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為 試判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換實現(xiàn)解耦控制。（6分）解： - （2分）， - （2分） 非奇異，可實現(xiàn)解耦控制。- （2分）八、給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為，設計一個具有特征值為-1， -1，-1的全維狀態(tài)觀測器。（8分）解：方法1 - 1分 - 2分又因為 - 1分列方程 - 2分 - 1分觀測器為 - 1分方法2 - 1分 -2分 -1分 -2分 1分觀測器為 - 1分九 解 ， .（1分）.（1分）.（1分）.（1分）.（2分）.（2分） 現(xiàn)代控制理論復習題1一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，

4、反之打×。（）1. 由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。（×）2. 若一個對象的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也一定是能控的。（×）3. 對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定是輸出能控的。（）4. 對系統(tǒng)，其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣A的特征值都具有負實部是一致的。（）5. 根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制問題設計的最優(yōu)控制系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。二、（15分）考慮由下式確定的系統(tǒng)：試求其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準型、能觀標準型和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態(tài)變量圖。解：能控標準形為能觀測標準形為 對角標準形為 三

5、、（10分）在線性控制系統(tǒng)的分析和設計中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣起著很重要的作用。對系統(tǒng)求其狀態(tài)轉移矩陣。解：解法1。容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對角化。矩陣A對應于特征值的特征向量是取變換矩陣， 則因此，從而，解法2。拉普拉斯方法由于故解法3。凱萊-哈密爾頓方法將狀態(tài)轉移矩陣寫成 系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，四、（15分）已知對象的狀態(tài)空間模型,是完全能觀的，請畫出觀測器設計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設計方法。 解 觀測器設計的框圖： 觀測器方程： 其中：是觀測器的維狀態(tài)，L是一個n×p維的待定觀測器

6、增益矩陣。觀測器設計方法：由于因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L，使得具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法、愛克曼公式。五、（15分）對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應用。解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：線性時不變系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有惟一的對稱正定解P。在具體問題分析中，可以選取Q=I。考慮二階線性時不變系統(tǒng)：原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程 其中的未知對稱矩陣 將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可

7、得進一步可得聯(lián)立方程組從上式解出、和，從而可得矩陣 根據(jù)塞爾維斯特方法，可得故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是試設計一個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1 ±j。解系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是 將控制器 代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是 期望的閉環(huán)特征方程是通過 可得從上式可解出因此，要設計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是七、（10分）證明：等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。證明對狀態(tài)空間模型它的等價狀態(tài)空間模型具有形式其中：T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關系式，等價狀態(tài)空

8、間模型的能控性矩陣是 由于矩陣T是非奇異的，故矩陣，和具有相同的秩，從而等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。八、（15分）在極點配置是控制系統(tǒng)設計中的一種有效方法，請問這種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不利影響？如何解決？解：極點配置可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時間、峰值時間、振蕩幅度。極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環(huán)無靜差的系統(tǒng)通過極點配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變差。改善的方法：針對階躍輸入的系統(tǒng)，通過引進一個積分器來消除跟蹤誤差，其結構圖是構建增廣系統(tǒng)，通過極點配置方法來設計增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)

9、不僅保持期望的動態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)。現(xiàn)代控制理論復習題2一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打×。（ × ）1. 對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；（ ）2. 由狀態(tài)轉移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進而決定系統(tǒng)的動態(tài)特性；（ × ）3. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對應的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；（ × ）4. 若一個系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；（ ）5. 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。二、（20分）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）采用

10、串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖；（2）采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖。答:（1）將G(s)寫成以下形式：這相當于兩個環(huán)節(jié)和串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為：和 由于，故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是：將其寫成矩陣向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：串連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖（2）將G (s)寫成以下形式：它可以看成是兩個環(huán)節(jié)和的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：和由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)：進一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖三、（20分）試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)

11、轉移矩陣的方法，并以一種方法和一個數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣；答：求解狀態(tài)轉移矩陣的方法有：方法一直接計算法：根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的定義來直接計算，只適合一些特殊矩陣A。方法二通過線性變換計算狀態(tài)轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩陣A 變換成對角矩陣或約當矩陣，進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉移矩陣。方法三拉普拉斯變換法：。方法四凱萊-哈密爾頓方法根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導出具有以下形式：其中的均是時間t的標量函數(shù)。根據(jù)矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。由于故四、（10分）解釋狀態(tài)能

12、觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)能觀的判別方法：對于n階系統(tǒng) 1. 若其能觀性矩陣列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀2. 若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。舉例：對于系統(tǒng)其能觀性矩陣的秩為2，即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。五、（20分）對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？（2）簡單敘述兩種極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計方法；（3）試通過數(shù)值例子說明極點配置

13、狀態(tài)反饋控制器的設計。答：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件：系統(tǒng)是能控的。（2）極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。直接法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設計。設狀態(tài)反饋控制器u=Kx，相應的閉環(huán)矩陣是ABK，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為由期望極點可得期望的閉環(huán)特征多項式通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態(tài)反饋的增益矩陣K。變換法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設計。將狀態(tài)空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態(tài)變換矩陣設期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為所以，狀態(tài)反

14、饋控制器增益矩陣是（3）采用直接法來說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計考慮以下系統(tǒng)設計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為2和3。該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。設狀態(tài)反饋控制器將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程其特征多項式為由期望的閉環(huán)極點2和3，可得閉環(huán)特征多項式通過可得由此方程組得到因此，要設計的極點配置狀態(tài)反饋控制器六、（20分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型（1）試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？（2）試通過一個例子說明您給出的方法；（3）給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。答：（1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型是一個線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時不

15、變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程，若能得到一個對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q=I。（2）舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng)：原點是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：，其中的未知矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計算簡單，選取Q=2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（3）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個動態(tài)

16、系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析該系統(tǒng)運動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構造一個反映系統(tǒng)運動過程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運動軌跡，通過該能量函數(shù)關于時間導數(shù)的取值來判斷系統(tǒng)能量在運動過程中是否減少，若該導數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運動上，就是系統(tǒng)運動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性現(xiàn)代控制理論復習題3一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打×。（×）1. 具有對角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看

17、成是由多個一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)；（×）2. 要使得觀測器估計的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實際狀態(tài)，觀測器的極點應該比系統(tǒng)極點快10倍以上；（×）3. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對應狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的；（）4. 若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的；（）5. 若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。二、（20分）（1）如何由一個傳遞函數(shù)來給出其對應的狀態(tài)空間模型，試簡述其解決思路？（2）給出一個二階傳遞函數(shù)的兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)。解：（1）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是若，則通過長除法，傳遞函數(shù)總可以轉

18、化成將 分解成等效的兩個特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)：可得一個狀態(tài)空間實現(xiàn) 串聯(lián)法 其思想是將一個n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法 其的思路是把一個復雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然后對每個低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。 （2）方法一：將重新寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因為，所以因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法二：將重新寫成下述形式：每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又由于 因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)

19、的狀態(tài)空間模型為：方法三：將重新寫成下述形式：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：評分標準：問題（1）10分，由一個傳遞函數(shù)轉換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確10分；問題（2）10分，兩種狀態(tài)空間實現(xiàn)方法各5分。 三、（20分）（1）試問狀態(tài)轉移矩陣的意義是什么？（2）狀態(tài)轉移矩陣是否包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息？（3）介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的方法；（4）計算系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。 解：（1）狀態(tài)轉移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉移到下一個狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀態(tài)x0在狀態(tài)轉移矩陣(t,t 0)的作用下，t0時刻的初始狀態(tài)x0經(jīng)過時間tt0后轉移到了時刻t的狀態(tài)x (t)。（2）狀態(tài)

20、轉移矩陣包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息；對于自治系統(tǒng)（3）拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計算法。方法一直接計算法根據(jù)定義，我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級數(shù)總是收斂的，故可以通過計算該矩陣級數(shù)的和來得到所要求的狀態(tài)轉移矩陣。方法二線性變換法如果矩陣A是一個可對角化的矩陣，即存在一個非奇異矩陣T，使得則方法三拉普拉斯變換法方法四凱萊-哈密爾頓法解一個線性方程組其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當1,2,L ,n互不相同時，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解0(t), 1 (t), L ,n1 (t) 。由可得狀態(tài)轉移矩陣。 （4）方法一：線性變換法， 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣

21、A的兩個特征值是，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對角化。矩陣A對應與特征值的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于故方法二：凱萊-哈密爾頓法將狀態(tài)轉移矩陣寫成系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，評分標準：每個問題5分。問題（1）狀態(tài)轉移矩陣的意義敘述完整5分；問題（2）判斷正確5分；問題（3）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的方法5分；問題（3）方法和結果正確5分。四、（20分）（1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義；（2）給出能控性的判別條件，并通過一個例子來說明該判別條件的應用；（3）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉移到任意

22、指定的狀態(tài)，這一控制效果在實際中能實現(xiàn)嗎？為什么？解：（1）對一個能控的狀態(tài)，總存在一個控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時間后轉移到零狀態(tài)。（2）通過檢驗能控性判別矩陣是否行滿秩來判別線性時不變系統(tǒng)的能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統(tǒng)是能控的。 試判別由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性： 系統(tǒng)的能控性判別矩陣 由于即矩陣cA, B不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。（3）若一個系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時間內(nèi)將初始狀態(tài)轉移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實際中難以實現(xiàn)，T越小，則控制律的參數(shù)越大，從而導致控制信號的幅值很大，這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得

23、在有限時間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實際過程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的（如閥門的開度等），能量供應也是有限制的。評分標準：問題（1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整6分；問題(2) 能控性的判別條件4分，舉例3分；問題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。五、（20分）（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？（2）已知被控對象的狀態(tài)空間模型為設計狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點為4和5。（3）極點配置是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？解：（1）能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。（2）由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標準形，

24、因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)極點是4和5，可得期望的閉環(huán)特征多項式是因此，所要設計的狀態(tài)反饋增益矩陣是相應的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是閉環(huán)傳遞函數(shù)是評分標準：問題（1）給出通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件6分；問題（2）狀態(tài)反饋控制器設計方法正確7分；問題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4分。六、（10分）（1）敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；（2）利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：（1）連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣方程 成立。離散時間線性時

25、不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時不變系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q，矩陣方程存在對稱正定解矩陣P。（2）原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程其中的未知對稱矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得進一步將以上矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組應用線性方程組的求解方法，可從上式解出p 11、p12和p22，從而可得矩陣P：根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。評分標準：問題（1）完整敘述線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理5分；問題（2）穩(wěn)定性判斷方法和結果正確5分。現(xiàn)代

26、控制理論復習題4一、（10分，每小題1分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，則在其左邊的括號里打，反之打×。（ ）1. 相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個顯著優(yōu)點是可以用時域法直接進行系統(tǒng)的分析和設計。（ ）2. 傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)不唯一的一個主要原因是狀態(tài)變量選取不唯一。（ × ）3. 狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組變量，因此都是具有物理意義。（ × ）4. 輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個系統(tǒng)狀態(tài)能控意味著系統(tǒng)輸出能控。（ ）5. 等價的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。（ × ）6. 互為對偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控

27、性。（ × ）7. 一個系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個，因此系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前所處的平衡位置無關。（ ）8. 若一線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng)的任意一個狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡隨著時間的推移都將收斂到該平衡狀態(tài)。（ × ）9. 反饋控制可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能，但不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。（ × ）10. 如果一個系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實不存在，那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。二、（15分）建立一個合理的系統(tǒng)模型是進行系統(tǒng)分析和設計的基礎。已知一單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的微分方程為：（1）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對

28、應的狀態(tài)變量圖；（7分3分）（2）歸納總結上述的實現(xiàn)過程，試簡述由一個系統(tǒng)的n階微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的思路。（5分）解：（1）方法一：由微分方程可得令每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因為y1= u1，所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：對應的狀態(tài)變量圖為：方法二：由微分方程可得每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因為y1= u1，所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：對應的狀態(tài)變量圖為（2）單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是若bn0，則通過長除法，傳遞函數(shù)G(s)總可以轉化成將傳遞函數(shù)c(s)/a(s)分解成若干低階(1階)傳遞函數(shù)的乘積，然后

29、根據(jù)能控標準型或能觀標準型寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。三、（10分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣不僅包含了對應自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設計中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣如下：（1）試給出對應自治系統(tǒng)的全部信息；（5分）（2）試列舉狀態(tài)轉移矩陣的基本性質(zhì)，并簡述其意義。（5分）解：（1）一個自治系統(tǒng)的全部信息由其狀態(tài)矩陣A描述，可由狀態(tài)轉移矩陣(t)確定一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A。對任意的t，滿足，而對等式取t=0，并利用(0)=I，則可得狀態(tài)矩陣A （2）狀態(tài)轉移矩陣的基本性質(zhì)：Ø ，包含對應系統(tǒng)自由運動的全

30、部信息；Ø 對任意的t和s，滿足(t+s)= (t)·(s)，即利用狀態(tài)轉移矩陣可以從任意指定的初始時刻t0的狀態(tài)x(t0)出發(fā)，以確定任意時刻t處的狀態(tài)x(t)；Ø 對任意的t，滿足(t)-1= (-t)，即可以由當前的狀態(tài)信息確定以前的狀態(tài)信息。四、（20分）實際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，但計算機控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對連續(xù)時間系統(tǒng)做離散化。那么請問（1）一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2分）（2）以如下線性定常系統(tǒng)為例：說明你的理由以支持你的觀點。（10分）（3）令采樣周期T=/2,初始

31、狀態(tài)為，求u(k)，使得（2）中離散化狀態(tài)空間模型在第2個采樣時刻轉移到原點。（8分）解：（1）不一定。（2）連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標準形，故系統(tǒng)是能控的。將狀態(tài)方程離散化，設采樣周期為T，系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為根據(jù)，可得到離散化狀態(tài)方程，此時因此，離散化狀態(tài)空間模型為則離散化系統(tǒng)的能控性矩陣為所以，當sin2T=2sin T，即T =k(k=0,1,2,)時，離散化系統(tǒng)是不能控的；當Tk(k=0,1,2)時，離散化系統(tǒng)是能控的。同理，離散化系統(tǒng)的能觀性矩陣為L所以，sinT=0，即T =k(k=0,1,2,)時，離散化系統(tǒng)是不能觀的；當Tk(k=0,1,2)時，離散化系統(tǒng)是能觀的。因此，

32、一個能控能觀的連續(xù)時間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期T的選擇。（3）當采樣周期T=/2時，離散化狀態(tài)空間模型為可得將式(a)代入式(b)得即整理可得五、（10分）證明：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。證明一：采用能控性定義證明，具體見教材P125. 證明二：考慮被控系統(tǒng)（A, B, C, D），則狀態(tài)反饋后得到閉環(huán)系統(tǒng)SK，其狀態(tài)空間模型為開環(huán)系統(tǒng)S0的能控性矩陣為閉環(huán)系統(tǒng)SK的能控性矩陣為由于以此類推，總可以寫成的線性組合。因此，存在一個適當非奇異的矩陣U，使得由此可得：若，即有n個線性無關的列向量，則也有n個線性無關的列向量，故，命題得證。六、（2

33、0分）雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。假設倒立擺系統(tǒng)的一個平衡點線性化狀態(tài)空間模型如下：其中，狀態(tài)變量，y是小車的位移，是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動力。試回答（1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回到垂直面位置嗎？（2分）（2）如果不能，那么請你從控制學的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分）（3）請結合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。（4分）（4）在狀態(tài)反饋控制器設計中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測量的狀態(tài)信

34、息只有水平移動的位移y，那么你有什么方法可以實現(xiàn)這個狀態(tài)反饋控制器的設計？你所用方法的條件是什么？依據(jù)是什么？請結合倒立擺模型，給出你使用方法的實現(xiàn)過程。（10分）答：（1）不能，因為倒立擺是一個開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)；（2）對于給定的倒立擺模型，是一線性時不變系統(tǒng)，因此可以用如下方法使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置（即穩(wěn)定化控制器設計）：極點配置方法；基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的直接設計法；線性二次型最優(yōu)控制器設計方法。（3）當雙足直立機器人由于受初始擾動而稍稍偏離垂直面位置時，總可以通過對其施加一個適當?shù)耐饬Γ沟脤⑺苹氐酱怪泵嫖恢茫▽⒎橇愕某跏紶顟B(tài)轉移到零狀態(tài)）。（4）如果被控系統(tǒng)

35、是狀態(tài)能觀的，那么通過設計（降維）狀態(tài)觀測器將不可測量狀態(tài)變量觀測輸出，再應用線性定常系統(tǒng)的分離性原理，實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器設計。結合倒立擺模型，則檢驗上述狀態(tài)空間模型的能觀性；系統(tǒng)完全能觀，則對系統(tǒng)設計狀態(tài)觀測器（或對不可測量子系統(tǒng)和設計降維狀態(tài)觀測器）；應用線性定常系統(tǒng)的分離性原理，將狀態(tài)反饋控制器u=-Kx中的狀態(tài)x替換為觀測狀態(tài)從實現(xiàn)基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器設計。使用方法的條件是：系統(tǒng)完全能觀或不可觀子系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的；使用方法的依據(jù)是：線性定常系統(tǒng)的分離性原理。七、（15分）考慮線性定常系統(tǒng)和性能指標如下：其中實數(shù)r>0為性能指標可調(diào)參數(shù)。試回答（1）當參數(shù)r固定時，求使得

36、性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器。（10分）（2）當參數(shù)r增大時，分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化。（5分）解：（1）系統(tǒng)性能指標J等價為令正定對稱矩陣代入黎卡提矩陣方程可得：通過矩陣計算，得到：進一步，可得下面三個代數(shù)方程：據(jù)此，可解得：（這里取正值，若取負值，則相應的矩陣P不是正定的），使得性能指標J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為：（2）將上述最優(yōu)控制律代入系統(tǒng)，得最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為可得最優(yōu)閉環(huán)極點為其中。隨著參數(shù)r的增大，閉環(huán)極點越來越靠近虛軸，從而系統(tǒng)的響應速度變慢。事實上，從性能指標也可以看出，參數(shù)r的增大表明控制能量約束的加權越來越大，希望用較小的能量來實現(xiàn)系統(tǒng)的控

37、制，顯然由此導致的結果就是系統(tǒng)速度變慢。現(xiàn)代控制理論1.經(jīng)典-現(xiàn)代控制區(qū)別:經(jīng)典控制理論中,對一個線性定常系統(tǒng),可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述,可將某個單變量作為輸出,直接和輸入聯(lián)系起來;現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng),系統(tǒng)的動態(tài)特性用狀態(tài)變量構成的一階微分方程組描述,不再局限于輸入量,輸出量,誤差量,為提高系統(tǒng)性能提供了有力的工具.可以應用于非線性,時變系統(tǒng),多輸入-多輸出系統(tǒng)以及隨機過程.2.實現(xiàn)-描述由描述系統(tǒng)輸入-輸出動態(tài)關系的運動方程式或傳遞函數(shù),建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式,這樣問題叫實現(xiàn)問題.實現(xiàn)是非唯一的.3.對偶原理系統(tǒng)=1(A1,B1,C1)和=2(A2,B2,C2)是互為

38、對偶的兩個系統(tǒng),則1的能控性等價于2的能觀性, 1的能觀性等價于2的能控性.或者說,若1是狀態(tài)完全能控的(完全能觀的),則2是狀態(tài)完全能觀的(完全能控的).對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉置4.對線性定常系統(tǒng)0=(A,B,C),狀態(tài)觀測器存在的充要條件是的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.狀態(tài)方程:由系統(tǒng)狀態(tài)變量構成的一階微分方程組2.輸出方程:在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關系式3.狀態(tài)空間表達式:狀態(tài)方程和輸出方程總合,構成對一個系統(tǒng)完整動態(tài)描述4.友矩陣:主對角線上方元素均為1:最后一行元素可取任意值;其余元素均為05.非奇異變換:x=Tz,z=T-

39、1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T為任意非奇異陣(變換矩陣),空間表達式非唯一6.同一系統(tǒng),經(jīng)非奇異變換后,特征值不變;特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解1.狀態(tài)轉移矩陣:eAt,記作(t)2.線性定常非齊次方程的解:x(t)=(t)x(0)+t0(t-)Bu()d第三章 線性控制系統(tǒng)的能控能觀性1.能控:使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0),轉移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf),稱此狀態(tài)是能控的.若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的,稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控2.系統(tǒng)的能控性,取決于狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣b3.一般系統(tǒng)能控性充要條件:(1)在T-1B中對應于相同特征值的部分,它與每個約旦塊最后一行相對應的一行元素沒有全為0.(2)T-1B中對于互異特征值部分,它的各行元素沒有全為0的4.在系統(tǒng)矩陣為約旦標準型的情況下,系統(tǒng)能觀的充要條件是C中對應每個約旦塊開頭的一列的元素不全為05.約旦標準型對于狀態(tài)轉移矩陣的計算,可控可觀性分析方便;狀態(tài)反饋則化為能控標準型;狀態(tài)觀測器則化為能觀標準型6.最小實現(xiàn)問題:根據(jù)給定傳遞函數(shù)陣求對應的狀態(tài)空間表達式,其解無窮多,但其中維數(shù)最小的那個狀態(tài)空間表達式是最常用的.第五章 線性定常系統(tǒng)綜合1.狀態(tài)反饋:將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的