1、 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第一章第一章 緒論緒論1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)的內(nèi)容1.2 彈性力學(xué)的幾個基本概念彈性力學(xué)的幾個基本概念1.3 彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)的基本假定 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1.1 彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)的內(nèi)容1. 彈性體力學(xué)：彈性體力學(xué)：簡稱簡稱彈性力學(xué)，彈性力學(xué)，有稱彈性理論有稱彈性理論（Theory of Elasticity)，研究彈性體由于受外力、邊界，研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、

2、形變和位移。研究對象：彈性體研究對象：彈性體研究目標(biāo)：變形等效應(yīng)，即應(yīng)力、形變和位移。研究目標(biāo)：變形等效應(yīng)，即應(yīng)力、形變和位移。2. 對彈性力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)作比較對彈性力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)作比較 彈性力學(xué)的任務(wù)和材料力學(xué)彈性力學(xué)的任務(wù)和材料力學(xué), 結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣,是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移移, 校核它們是否具有所需的強度和剛度校核它們是否具有所需的強度和剛度, 并尋求或并尋求或改進它們的計算方法改進它們的計算方法. 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (1)研究

3、對象：研究對象： 材料力學(xué)材料力學(xué)主要研究主要研究桿件桿件在拉壓、剪切、彎曲、扭在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力、形變和位移；轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力、形變和位移； 結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)研究研究桿系結(jié)構(gòu)桿系結(jié)構(gòu)，如桁架、鋼架或兩者混，如桁架、鋼架或兩者混合的構(gòu)架等；合的構(gòu)架等； 彈性力學(xué)彈性力學(xué)研究研究各種形狀各種形狀的彈性體，除桿件外（對的彈性體，除桿件外（對桿件進行進一步的、較精確的分析），還研究平面桿件進行進一步的、較精確的分析），還研究平面體、空間體，板和殼等。體、空間體，板和殼等。(2)研究方法研究方法: 彈性力學(xué)與材料力學(xué)有相似，又有一彈性力學(xué)與材料力學(xué)有相似，又有一 定區(qū)別。定區(qū)別。 20

4、06.Wei Yuan. All rights reserved. 彈性力學(xué)：彈性力學(xué)：在彈性體區(qū)域內(nèi)必須嚴格考慮靜力學(xué)、在彈性體區(qū)域內(nèi)必須嚴格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上嚴格考慮受幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上嚴格考慮受力條件或約束條件，由此建立微分方程和邊界條件力條件或約束條件，由此建立微分方程和邊界條件進行求解，得出精確解答。進行求解，得出精確解答。材料力學(xué)材料力學(xué)：雖然也考慮這幾個方面的的條件，但不是：雖然也考慮這幾個方面的的條件，但不是十分嚴格。十分嚴格。 一般地說一般地說, 由于材料力學(xué)建立的是近似理論由于材料力學(xué)建立的是近似理論, 因此因此得出的是近似的解答

5、。但對于細長的桿件結(jié)構(gòu)而言得出的是近似的解答。但對于細長的桿件結(jié)構(gòu)而言, 材料力學(xué)力解答的精度是足夠的材料力學(xué)力解答的精度是足夠的, 符合工程的要求。符合工程的要求。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 彈性力學(xué)彈性力學(xué):梁的深度并不遠小于梁的深度并不遠小于梁的跨度，而是同等大小的，那梁的跨度，而是同等大小的，那么，橫截面的正應(yīng)力并不按直線么，橫截面的正應(yīng)力并不按直線分布，而是按曲線變化的。分布，而是按曲線變化的。qqzIyxM)()53(4)(22hyhyqIyxMz例如：例如：材料力學(xué)材料力學(xué):研究直梁在橫向載荷作研究直梁在橫向載荷作用下的平面彎曲，引用

6、了平面假用下的平面彎曲，引用了平面假設(shè)，結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力按設(shè)，結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力按直線分布。直線分布。這時，材料力學(xué)中給出的最大正這時，材料力學(xué)中給出的最大正應(yīng)力將具有很大的誤差。應(yīng)力將具有很大的誤差。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 結(jié)構(gòu)力學(xué)：結(jié)構(gòu)力學(xué)：研究桿系結(jié)構(gòu)，彈性力學(xué)通常并不研究研究桿系結(jié)構(gòu)，彈性力學(xué)通常并不研究桿件系統(tǒng)，但在桿件系統(tǒng)，但在20世紀世紀50年代中葉發(fā)展起來的有限年代中葉發(fā)展起來的有限單元法中單元法中(基于彈性力學(xué)的理論基于彈性力學(xué)的理論)，把連續(xù)體劃分成，把連續(xù)體劃分成有限大小的單元構(gòu)件，然后用結(jié)構(gòu)力學(xué)里的位移法有限大

7、小的單元構(gòu)件，然后用結(jié)構(gòu)力學(xué)里的位移法、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)合綜和應(yīng)用的良好效果。力學(xué)結(jié)合綜和應(yīng)用的良好效果。 彈性力學(xué)在土木、水利、機械、航空等工程學(xué)科彈性力學(xué)在土木、水利、機械、航空等工程學(xué)科中占有重要的地位。許多非桿件形狀的結(jié)構(gòu)必須用中占有重要的地位。許多非桿件形狀的結(jié)構(gòu)必須用彈性力學(xué)方法進行分析。例如，大壩，橋梁等。彈性力學(xué)方法進行分析。例如，大壩，橋梁等。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xzyo1.2 彈性力學(xué)中的幾個基本概念彈性力學(xué)中的幾個基本概念 彈性力學(xué)的基本概念彈

8、性力學(xué)的基本概念: 外力、應(yīng)力、形變和位移外力、應(yīng)力、形變和位移1. 外力外力：體積力和表面力，簡稱體積力和表面力，簡稱體力體力和和面力面力體力體力：分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。：分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。VPfFfVFlim0Vfxfyfzf : 極限矢量極限矢量,即物體在即物體在P點所受體力點所受體力的集度。方向就是的集度。方向就是F的極限方向。的極限方向。fx , fy , fz：體力分量：體力分量, 沿坐標(biāo)正方沿坐標(biāo)正方向為正，沿坐標(biāo)負方向為負。向為正，沿坐標(biāo)負方向為負。量綱：量綱：N/m3=kgm/s2m3=kg/m2s2即：L-2MT-2 2006.Wei

9、 Yuan. All rights reserved. fx , fy , fz：體力分量。：體力分量。xzyoffSFlim0VSP面力面力：分布在物體表面的力，例如流體壓力和接觸力。：分布在物體表面的力，例如流體壓力和接觸力。Ffyfzfx量綱：量綱：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2即：L-1MT-2f : 極限矢量極限矢量,即物體在即物體在P點所受面力點所受面力的集度。方向就是的集度。方向就是F的極限方向。的極限方向。沿坐標(biāo)正方向為正，沿坐標(biāo)負沿坐標(biāo)正方向為正，沿坐標(biāo)負方向為負。方向為負。符號規(guī)定符號規(guī)定: 2006.Wei Yuan. All rights reserved.

10、內(nèi)力內(nèi)力：發(fā)生在物體內(nèi)部的力，發(fā)生在物體內(nèi)部的力，即物體即物體本身不同部分之間相互作用的力。本身不同部分之間相互作用的力。xzyoPApF2. 應(yīng)力應(yīng)力：單位截面面積的內(nèi)力單位截面面積的內(nèi)力.pAFlim0Vp: 極限矢量極限矢量,即物體在截面即物體在截面mn上的、在的、在P點的應(yīng)力。點的應(yīng)力。方向就是方向就是F的極限方向。的極限方向。量綱：量綱：N/m2=kgm/s2m2=kg/ms2 即：L-1MT-2應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：， 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x, PB=

11、y , PC=zx, y, z, xy, xz, yx, yz, zx, zy,正面：正面：截面上的外法線截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向沿坐標(biāo)軸的正方向正面上的應(yīng)力正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)以沿坐標(biāo)軸的軸的正方向為正正方向為正，沿坐，沿坐標(biāo)軸的標(biāo)軸的負方向為負。負方向為負。負面負面：截面上的外法線截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的負方向沿坐標(biāo)軸的負方向負面上的應(yīng)力負面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)以沿坐標(biāo)軸的軸的負方向為正負方向為正，沿坐，沿坐標(biāo)軸的標(biāo)軸的正方向為負。正方向為負。正應(yīng)力符號規(guī)定與材力同，切應(yīng)力與材力不相同。正應(yīng)力符號規(guī)定與材力同，切應(yīng)力與材力不相同。符號規(guī)定符號規(guī)定:（不考慮位置, 把應(yīng)力當(dāng)作均勻應(yīng)力） 2

12、006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo 連接前后兩面中心的直線連接前后兩面中心的直線ab作為矩軸，列出力矩平作為矩軸，列出力矩平衡方程，得衡方程，得02222zxyyxzyzzy得得:zyyz同理可得同理可得:yxxyzxxz切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：作用在兩個互相垂直的面上并作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面角線的切應(yīng)力是互等的且垂直于該兩面角線的切應(yīng)力是互等的(大小相大小相等等,正符號也相同正符號也相同)。 2006.Wei Yuan. All rights rese

13、rved. 可以證明可以證明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得該點任就可求得該點任意截面上的意截面上的, .因此，此六個應(yīng)力分量可以完全確因此，此六個應(yīng)力分量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。定該點的應(yīng)力狀態(tài)。zyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOABC 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的長度和角度來表用各部分的長度和角度來表示。示。PA=x, PB=y , PC=z線應(yīng)變：線應(yīng)變：單位長度的伸縮或相單位長度的伸縮或相對

14、伸縮對伸縮,亦稱正應(yīng)變亦稱正應(yīng)變. 用用 表示表示切應(yīng)變切應(yīng)變：各線段之間的直角的：各線段之間的直角的改變改變.用用 表示表示3. 形變形變：就是形狀的改變。就是形狀的改變。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO x: x方向的線段方向的線段PA的線應(yīng)變。的線應(yīng)變。xy: y與與x兩方向的線段兩方向的線段PB與與PC之間的直角的改變。之間的直角的改變。 : 伸長為正，伸長為正，縮短為負。縮短為負。量綱：量綱：1符號規(guī)定符號規(guī)定: : 直角變小為正直角變小為正，變大為負。，變大為負。

15、可以證明可以證明,已知已知x, y, z, yz, zx, xy, 就可求得經(jīng)過就可求得經(jīng)過該點任一線段上的線應(yīng)變該點任一線段上的線應(yīng)變 .也可以求得經(jīng)過該點任也可以求得經(jīng)過該點任意兩個線段之間的角度的改變。因此，此六個形變意兩個線段之間的角度的改變。因此，此六個形變分量可以完全確定該點的形變狀態(tài)。分量可以完全確定該點的形變狀態(tài)。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 4. 位移位移：就是位置的移動。就是位置的移動。任意一點的位移用它在任意一點的位移用它在x,y,z三軸上的投影三軸上的投影u,v,w來來表示表示.量綱：量綱：L符號規(guī)定符號規(guī)定:沿坐標(biāo)軸正方向為

16、正沿坐標(biāo)軸正方向為正,沿坐標(biāo)軸負方向為負，沿坐標(biāo)軸負方向為負， 一般而論，彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面一般而論，彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都隨該點力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都隨該點的位置而變，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。的位置而變，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 1.3 彈性力學(xué)中的基本假設(shè)彈性力學(xué)中的基本假設(shè) 在彈性力學(xué)的問題里在彈性力學(xué)的問題里,通常是通常是已知已知物體的物體的邊界邊界(形形狀和大小狀和大小), 物體的物體的彈性常數(shù)彈性常數(shù), 物體所受的物體所受的體力體力,物體

17、物體邊界上的邊界上的約束情況或面力約束情況或面力, 而而應(yīng)力分量、形變分量應(yīng)力分量、形變分量和位移分量和位移分量則是則是需要求解的未知量需要求解的未知量.一一. 研究方法研究方法1.考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別別建立三套方程建立三套方程。建立微分方程：建立微分方程：根據(jù)微分體的平衡條件根據(jù)微分體的平衡條件 ；建立幾何方程：建立幾何方程：根據(jù)微分線段上形變與位移之間的根據(jù)微分線段上形變與位移之間的 幾何關(guān)系；幾何關(guān)系；建立物理方程：建立物理方程：根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系 。 2006.Wei Yuan. All

18、 rights reserved. 2.在彈性體的邊界上，建立在彈性體的邊界上，建立邊界條件邊界條件。應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上 的微分體的平衡條件；的微分體的平衡條件；位移邊界條件：位移邊界條件：在給定的約束邊界上，根據(jù)邊界上在給定的約束邊界上，根據(jù)邊界上 的約束條件。的約束條件。 求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。分量和位移分量。 2006.Wei Yuan. All righ

19、ts reserved. 為使問題求解成為可能，通常必須按照所研究的物為使問題求解成為可能，通常必須按照所研究的物體性質(zhì)，以及求解問題的范圍，略去一些影響很小體性質(zhì)，以及求解問題的范圍，略去一些影響很小的次要因素，作出若干基本假定。的次要因素，作出若干基本假定。二二. 彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)的基本假定(3)均勻性均勻性 假定物體是均勻的假定物體是均勻的.(1)連續(xù)性連續(xù)性 假定物體是連續(xù)的假定物體是連續(xù)的.(4)各向同性各向同性 假定物體是各向同性的假定物體是各向同性的.符合以上四個假定的物體，就成為理想彈性體符合以上四個假定的物體，就成為理想彈性體.(2)完全彈性完全彈性 假定物體是完全

20、彈性的假定物體是完全彈性的.形變與引起形變與引起 變的應(yīng)力成正比變的應(yīng)力成正比,即兩者成線性關(guān)系即兩者成線性關(guān)系. 2006.Wei Yuan. All rights reserved. (5)小變形假定小變形假定 假定位移和形變是微小的假定位移和形變是微小的.它包含兩個含義：它包含兩個含義： 假定應(yīng)變分量假定應(yīng)變分量 1.例如：普通梁中的正應(yīng)變例如：普通梁中的正應(yīng)變 10-3 1,切應(yīng)變切應(yīng)變 1; 假定物體的位移假定物體的位移物體尺寸物體尺寸.例如：梁中例如：梁中撓撓度度 梁的梁的高高度度這樣，在建立平衡微分方程時，可以用變形前的尺這樣，在建立平衡微分方程時，可以用變形前的尺寸代替變形后的

21、尺寸，從而使方程大為簡化；寸代替變形后的尺寸，從而使方程大為簡化；在建立幾何方程時，由于在建立幾何方程時，由于 1，可以在同一方程中可以在同一方程中只保留形變成分的一次冪，而略去二次冪及更高次只保留形變成分的一次冪，而略去二次冪及更高次冪，從而使幾何方程成為線性方程。冪，從而使幾何方程成為線性方程。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 例如：對于微小轉(zhuǎn)角例如：對于微小轉(zhuǎn)角a，1211cos2aaaaa3! 311sinaaaa331tan對于微小正應(yīng)變對于微小正應(yīng)變，xxxxx111132 這樣，彈性力學(xué)里的幾何方程和微分方程都簡化這樣，彈性力學(xué)里的幾何方程

22、和微分方程都簡化為線性方程，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而為線性方程，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。可以應(yīng)用疊加原理。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 第二章第二章 平面問題的基本理論平面問題的基本理論2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題2.2 平衡微分方程平衡微分方程2.3 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)2.4 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移2.5 物理方程物理方程 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.6 邊界條件邊界條件2.7 圣維南原理圣維南

23、原理2.8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題2.9 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程2.10 常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 如果彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受如果彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。簡化為近似的平面問題。一一.第一種平面問題第一種平面問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題xyozyd/2d/2這類問

24、題的條件是：這類問題的條件是：彈性體是彈性體是等厚度等厚度(d)的薄板，體力、面力的薄板，體力、面力和約束都只有和約束都只有xy平面的量平面的量 (fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿都不沿z向變化；向變化；并且面力和約束只作用于板邊并且面力和約束只作用于板邊，在板面，在板面( )上沒有任何上沒有任何面力和約束的作用。面力和約束的作用。2z 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 因板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板厚連因板很薄，外力不沿厚度變化，應(yīng)力沿板厚連續(xù)，有續(xù)，有由切應(yīng)力互等定理：由切應(yīng)力互等定理：0 xz0yz0z0zx0zy只

25、剩下平行于只剩下平行于xy面的面的三個平面應(yīng)力分量，即三個平面應(yīng)力分量，即 x, y, xy= yx所以這種問題稱為所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題。xyozyd/2d/21.設(shè)薄板的厚度為設(shè)薄板的厚度為d, xy 為中面為中面,z軸垂直于軸垂直于xy面面.因為板面上因為板面上 2z不受力，不受力， 所以所以0)(2dzz0)(2zzx0)(2dzzy2.由于物體形狀和外力、約束沿由于物體形狀和外力、約束沿z向均不變化向均不變化, 故故x, y, xy 只是只是x,y的函數(shù)的函數(shù), x, y, xy 也只是也只是x,y的函數(shù)的函數(shù),但位移與但位移與z有關(guān)。有關(guān)。 2006.Wei Yu

26、an. All rights reserved. 二二.第二種平面問題第二種平面問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題oyx這類問題的條件是：這類問題的條件是：彈性體為常截面的很長的柱體，體彈性體為常截面的很長的柱體，體力、面力和約束條件與平面應(yīng)力問力、面力和約束條件與平面應(yīng)力問題相似，只有題相似，只有xy平面的體力平面的體力fx , fy ；面力面力fx , fy 和約束和約束 u, v 的作用，且都的作用，且都不沿不沿z向變化。向變化。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在彈性力學(xué)中分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和在彈性力學(xué)中分

27、析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。 首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，建立微分體的首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，建立微分體的平平衡微分體方程衡微分體方程應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。zyd/2d/2oyxxyo從圖示薄板或柱形體中，取出一個微從圖示薄板或柱形體中，取出一個微小的正六面體，邊長為小的正六面體，邊長為dx, dy, 在在z方向方向的尺寸取為的尺寸取為1個單位尺寸。個單位尺寸。xyodxdy 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 300200000)(!

28、31)(! 21)()()(xxxfxxxfxxxfxfxf222d21dxx!xxxxx 一般而論一般而論 , 應(yīng)力分量是位置坐應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)標(biāo)x和和y的函數(shù)的函數(shù), 因此因此, 作用于左作用于左右兩對面或上下兩對面的應(yīng)力右兩對面或上下兩對面的應(yīng)力分量不完全相同分量不完全相同, 有微小的差。有微小的差。oxyxxxxxd略去二階及二階以上的微量后得：略去二階及二階以上的微量后得：例：設(shè)作用于左面的正應(yīng)力為例：設(shè)作用于左面的正應(yīng)力為x，則右面的正應(yīng)力由，則右面的正應(yīng)力由于于 x 坐標(biāo)的改變而改變，可坐標(biāo)的改變而改變，可由泰勒展開得：由泰勒展開得：xxxxd若若x為常量為常量, 則則 , 左

29、右兩面都是左右兩面都是x,即為均勻應(yīng)力。即為均勻應(yīng)力。0 xx泰勒展開式泰勒展開式 2006.Wei Yuan. All rights reserved. oxyxxxxxd同理，設(shè)左面的切應(yīng)力為同理，設(shè)左面的切應(yīng)力為xy，則，則右面的切應(yīng)力為右面的切應(yīng)力為xyxdxxyxyyyxyyyydydyyxyxCfxfyxxyxyxd設(shè)上面的正應(yīng)力及切應(yīng)力為設(shè)上面的正應(yīng)力及切應(yīng)力為x, xy，則下面的正應(yīng)力其切應(yīng)力，則下面的正應(yīng)力其切應(yīng)力為為,d yyyyyyyxyxd 因六面體是微小的因六面體是微小的, 所以所以, 各面的應(yīng)力可認為是均勻各面的應(yīng)力可認為是均勻分布分布, 作用在對應(yīng)面中心作用在對應(yīng)

30、面中心. 所受體力也可認為是均勻所受體力也可認為是均勻分布分布, 作用在對應(yīng)面中心。作用在對應(yīng)面中心。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 02d1d2d1dd2d1d2d1ddyxyxyy xyxyxxyxyxyxxyxyxyoCxyyyxxyxxxxxdyyyydxxxyxydyyyxyxdfxfyyyxxyxyxxyxyd21d21yxxy首先，以過中心首先，以過中心C 并平行于并平行于z軸，列出軸，列出0CM將上式除以將上式除以dxdy, 得得令令dx,dy 趨近于零，得趨近于零，得這正是切應(yīng)力互等定理。這正是切應(yīng)力互等定理。 2006.Wei Yu

31、an. All rights reserved. oCxyyyxxyxxxxxdyyyydxxxyxydyyyxyxdfxfy01dd1d1dd1d1ddyxfx xyy yyxxxyxyxyxxxx0 xyxxfyx其次，以其次，以x軸為投影軸，列出軸為投影軸，列出0 xF將上式除以將上式除以dxdy, 得得同樣，以同樣，以y軸為投影軸，列出軸為投影軸，列出 可得一個相可得一個相似的微分方程似的微分方程0yF0yxyyfxy 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 于是得出于是得出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式平面平面問題中的平衡

32、微分方程問題中的平衡微分方程。 這這2個微分方程中包含個微分方程中包含3個未知函個未知函數(shù)數(shù)x, y, xy=yx ,因此，決定應(yīng)力分因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定問題，必須考慮量的問題是超靜定問題，必須考慮幾何方程和物理學(xué)方面的條件，才幾何方程和物理學(xué)方面的條件，才能解決問題。能解決問題。 對于平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)變問題, 微分體一般還有作用于前后兩微分體一般還有作用于前后兩面的正應(yīng)力面的正應(yīng)力z, 但不影響上述方程的建立但不影響上述方程的建立, 上述方程對上述方程對于兩種平面問題同樣適用。于兩種平面問題同樣適用。00yxyyxyxxfxyfyx 2006.Wei Yuan. All r

33、ights reserved. 2.3 平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)OxyyyxxyxPBAnnOxyyyxxyxyyxxxyP應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)就是指一點處所有斜截面上的應(yīng)力的集合。就是指一點處所有斜截面上的應(yīng)力的集合。假定已知任意點假定已知任意點P處坐標(biāo)面的應(yīng)力分量處坐標(biāo)面的應(yīng)力分量x, y, xy=yx ,求經(jīng)過該點且平行于求經(jīng)過該點且平行于z軸的任意斜截面上的應(yīng)力。軸的任意斜截面上的應(yīng)力。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. myn lxn),cos(),cos( ssmlf smslspxxyxx02dddddxyxxmlpxyy

34、ylmppypxpOxyyyxxyxnPBA用用n代表斜截面代表斜截面AB的外法線方的外法線方向，其方向余弦為向，其方向余弦為設(shè)設(shè)AB=ds, 則則PA=lds, PB=mds, SPAB =ldsmds/2設(shè)垂直于平面的尺寸為設(shè)垂直于平面的尺寸為1。 由由 得得0 xF其中其中 fx 為為x方向得體力分量。方向得體力分量。將上式除以將上式除以ds, 然后命然后命ds 趨于趨于0（AB0）得得同理由同理由 得得0yF一一.求任意斜截面上的正應(yīng)力求任意斜截面上的正應(yīng)力 n 和和 切應(yīng)力切應(yīng)力 n 2006.Wei Yuan. All rights reserved. yxnmplp xyyxnl

35、mml 222xynmplp xyxynmllm )()(22nnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截面得正應(yīng)力為令斜截面得正應(yīng)力為n, 切應(yīng)切應(yīng)力為力為n.由由px, py 投影得投影得xyxxmlpxyyylmp可見，已知點可見，已知點P處的應(yīng)力分量處的應(yīng)力分量x, y, xy=yx ,就可求得經(jīng)過就可求得經(jīng)過該點的任意斜截面上的正應(yīng)力該點的任意斜截面上的正應(yīng)力 n 和和 切應(yīng)力切應(yīng)力 n 。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. lpxOxyyyxxyxyyxxxyP1212a1nnOxyyyxxyxPBAlmlxyxmlmxyy) 1 (xyxl

36、m)2(yxylmmpy0)()(22xyyxyx二二.求主應(yīng)力及主應(yīng)力的方位求主應(yīng)力及主應(yīng)力的方位應(yīng)力主向應(yīng)力主向應(yīng)力主面上應(yīng)力主面上 = 0， = pxyxxmlpxyyylmp投影得投影得代入代入得得pypxp由上兩式分別解出由上兩式分別解出 m / l , 得得于是，有于是，有解得解得222122xyyxyx 2006.Wei Yuan. All rights reserved. yx21OxyyyxxyxyyxxxyP1212a11111111cos90coscossintanlm)(oaaaaaxyxa11tan2222222cos90coscossintanlm)(oaaaaay

37、xya22tan易得易得下面求主應(yīng)力方向下面求主應(yīng)力方向即得即得即得即得設(shè)設(shè)1與與x軸的夾角為軸的夾角為a1設(shè)設(shè)2與與x軸的夾角為軸的夾角為a2) 1 (xyxlm)2(yxylm 2006.Wei Yuan. All rights reserved. )(12xyxxya12tan1tantan21aa1max2min221max221minOxyyyxxyxyyxxxyP1212a1yx21由由得得xyxa11tanyxya22tan于是有于是有就是說，就是說，1, 2 的方向互相垂直。的方向互相垂直。從材料力學(xué)知識我們知道從材料力學(xué)知識我們知道與應(yīng)力主向成與應(yīng)力主向成450的斜面上。的斜

38、面上。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. yyuud2.4 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移xyOPBAuxxuudxxvvdyyvvdPABaxuxuxxuu( PAPAAPPAPAAPxxd)d）（yx PBPAddyvy同理同理PB的線應(yīng)變：的線應(yīng)變：PA的線應(yīng)變：的線應(yīng)變：一一.幾何方程：幾何方程：任一點的微分線段上的形變分量與任一點的微分線段上的形變分量與 位移位移 分量之間的關(guān)系式。分量之間的關(guān)系式。v設(shè)設(shè) 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 同理同理PB的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：yuPA與與PB之間的轉(zhuǎn)角：之間的轉(zhuǎn)

39、角：yuxvxyayyuudxyOPBAuxxuudxxvvdyyvvdPABavxvxv)xxvv(ddsinaaPA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：yuxv yv xuxyyx,幾何方程：幾何方程：上列幾何方程對兩種平面問題同樣適用。上列幾何方程對兩種平面問題同樣適用。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 二二.形變與位移之間的關(guān)系形變與位移之間的關(guān)系1. 如果物體的位移確定，則形變完全確定。如果物體的位移確定，則形變完全確定。從物理概念從物理概念: 當(dāng)物理變形后各點的位置完全確定當(dāng)物理變形后各點的位置完全確定, 任任一微分線段上的形變（伸縮、轉(zhuǎn)角等）也就完全確一微分線

40、段上的形變（伸縮、轉(zhuǎn)角等）也就完全確定了定了.從數(shù)學(xué)概念從數(shù)學(xué)概念: 當(dāng)位移函數(shù)確定時，其導(dǎo)數(shù)也就確定了。當(dāng)位移函數(shù)確定時，其導(dǎo)數(shù)也就確定了。2. 當(dāng)物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定。當(dāng)物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定。從物理概念從物理概念: 在物體內(nèi)形變不變的條件下在物體內(nèi)形變不變的條件下, 物體還可物體還可以做剛體運動以做剛體運動平動和轉(zhuǎn)動平動和轉(zhuǎn)動, 即還有剛體運動的人任即還有剛體運動的人任意性意性. 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 從數(shù)學(xué)概念從數(shù)學(xué)概念: 由形變分量求位移分量是一個積分的過由形變分量求位移分量是一個積分的過程，在常

41、微分中，會出現(xiàn)一個任意常數(shù)；而在偏微分程，在常微分中，會出現(xiàn)一個任意常數(shù)；而在偏微分中，要出現(xiàn)一個與積分變量無關(guān)的任意函數(shù)。這些任中，要出現(xiàn)一個與積分變量無關(guān)的任意函數(shù)。這些任意函數(shù)是未定項，意函數(shù)是未定項，這些未定項正是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)這些未定項正是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動量。動量。若假設(shè)若假設(shè) 求出相應(yīng)的位移分量。求出相應(yīng)的位移分量。 xyyx0代入幾何方程：代入幾何方程： . yuxv , yv , xu000將前二式對將前二式對x及及y積分，得積分，得 , )( , )(21xfvyfuF1 及及 f2 為任意函數(shù)。代入幾何方程中的第三式，得為任意函數(shù)。代入幾何方程中的第三式，得xxfyyf

42、d)(dd)(d21 2006.Wei Yuan. All rights reserved. xxfyyfd)(dd)(d21方程左邊是方程左邊是y的函數(shù)，只隨的函數(shù)，只隨y而變；而變；而右邊是而右邊是x的函數(shù)，只隨的函數(shù)，只隨x而變。而變。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是得于是得xxfyyfd)(d,d)(d21積分得積分得 , )( , )(0201xvxfyuyf其中其中u0及及v0為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。代入代入 得得 , )( , )(21xfvyfu , , 00 xvvyuu這就是這就是“形變?yōu)榱阈巫優(yōu)榱恪睍r的位移，也就是所謂時的位移，也就是所謂

43、“與形變與形變無關(guān)的位移無關(guān)的位移”，因此必然是，因此必然是剛體位移剛體位移。下面根據(jù)平面運動的原理加以證明。下面根據(jù)平面運動的原理加以證明。 u0及及v0分別為物體沿分別為物體沿x軸及軸及y軸方向的剛體位移，而軸方向的剛體位移，而為物體繞為物體繞z軸得剛體轉(zhuǎn)動。軸得剛體轉(zhuǎn)動。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. PxyxyOzayx , , 00 xvvyuu當(dāng)只有當(dāng)只有u0不為零時，物體內(nèi)任不為零時，物體內(nèi)任一點位移分量一點位移分量 .物體物體的所有各點只沿的所有各點只沿x方向移動同樣方向移動同樣距離距離u0，所以所以u0代表物體沿代表物體沿x方方向的剛

44、體位移。向的剛體位移。0 , 0vuu坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x,y)的任一點的任一點P沿沿y方向移動方向移動x, 沿沿x負方向移動負方向移動y, 合成位移為合成位移為xvyu , 222222 yxxyvu同樣同樣, v0代表物體沿代表物體沿y方向的剛體位移。方向的剛體位移。當(dāng)只有當(dāng)只有不為零時不為零時, 物體內(nèi)任一點位移分量物體內(nèi)任一點位移分量 2006.Wei Yuan. All rights reserved. PxyxyOzayx可見可見, 合成位移的方向與徑向線合成位移的方向與徑向線段段OP垂直垂直,也就是沿著切向也就是沿著切向. 因因OP線上所有點移動方向都沿著線上所有點移動方向都沿著切線

45、切線, 且移動的距離為且移動的距離為, 可見可見代表物體繞代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。軸的剛體轉(zhuǎn)動。atan/tany/xxy 既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，那么，既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，那么，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時，由于約束條件不同，可能當(dāng)物體發(fā)生一定形變時，由于約束條件不同，可能有不同的剛體位移，為了完全確定位移，就必須有有不同的剛體位移，為了完全確定位移，就必須有適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件。適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程:應(yīng)力分量和形變分量之間的物理關(guān)系式應(yīng)力分量和形變分量之間的

46、物理關(guān)系式.在理想彈性體（滿足連續(xù)性，完全彈性，均勻性和在理想彈性體（滿足連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性）中，物理方程就是材料力學(xué)中學(xué)過的胡各向同性）中，物理方程就是材料力學(xué)中學(xué)過的胡克定律：克定律：物理方程有物理方程有兩種形式兩種形式：1. = f () 此式是用應(yīng)力表示應(yīng)變，其中應(yīng)力取為此式是用應(yīng)力表示應(yīng)變，其中應(yīng)力取為基本未知數(shù)，用于基本未知數(shù)，用于按應(yīng)力求解按應(yīng)力求解。2. = f () 此式是用應(yīng)變表示應(yīng)力，其中應(yīng)變?nèi)榇耸绞怯脩?yīng)變表示應(yīng)力，其中應(yīng)變?nèi)榛疚粗獢?shù)，用于基本未知數(shù)，用于按位移求解按位移求解。 2006.Wei Yuan. All rights reserved.

47、胡克定律的一般形式：胡克定律的一般形式：,1 ,1 ,1)(1)(1)(1xyxyxyzxxyyzyxzzzxyyzyxxGGGEEEE是彈性模量，是彈性模量，G是切變模是切變模量，又稱剛度模量，量，又稱剛度模量，稱為稱為泊松系數(shù)，或泊松比。泊松系數(shù)，或泊松比。12EG一一.平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程將將 代入上式得獨立的物理方程代入上式得獨立的物理方程0zyzxz,)1 (211xyxyxyyyxxEEE另外：另外：)(yxzE因因z可由可由x , y求出求出, 故不作為獨立的故不作為獨立的未知函數(shù)。未知函數(shù)。 2006.Wei Yuan. All rights reser

48、ved. 二二.平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程將將 代入上式得獨立的物理方程代入上式得獨立的物理方程0zyzxz,)1 (2111122xyxyxyyyxxEEE另外：另外：)(yxzE因因z可由可由x , y求出求出, 故不作為獨故不作為獨立的未知函數(shù)。立的未知函數(shù)。與平面應(yīng)力問題的物理方程對比，只需將與平面應(yīng)力問題的物理方程對比，只需將E 換為換為 ， 換為換為21E1 對于兩類平面問題，三套方程除了物理方程中的系數(shù)對于兩類平面問題，三套方程除了物理方程中的系數(shù)須變換外須變換外, 其他平衡方程和幾何方程是完全相同的其他平衡方程和幾何方程是完全相同的. 三套方程中包含三套方程中

49、包含8個未知函數(shù)：個未知函數(shù)：x, y, xy=yx, x, y, xy及及u, v. 還需考慮邊界條件還需考慮邊界條件, 才能求出這些未知函數(shù)才能求出這些未知函數(shù). 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.6 邊界條件邊界條件邊界條件邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它分為之間的關(guān)系式。它分為位移邊界條件位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件和和混合邊界條件混合邊界條件。一一.位移邊界條件位移邊界條件設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量u(s)和和v(s), 則對則對于

50、邊界上的每一點，位移函數(shù)于邊界上的每一點，位移函數(shù)u,v應(yīng)滿足條件應(yīng)滿足條件)()(),()(svv suuss（在（在su上）上）其中其中(u)s和和(v)s是位移的邊界值，是位移的邊界值，u(s)和和v(s)在邊界上在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。是坐標(biāo)的已知函數(shù)。位移邊界條件位移邊界條件 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 注意注意1.上式要求上式要求在在s上任一點位移分量必須等于對應(yīng)的約上任一點位移分量必須等于對應(yīng)的約束位移分量束位移分量。)()(),()(svv suuss（在（在su上）上）2.上式是上式是函數(shù)方程函數(shù)方程，而不是簡單的代數(shù)方程或數(shù)值，

51、而不是簡單的代數(shù)方程或數(shù)值方程。方程。位移邊界條件實質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束位移邊界條件實質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束邊界上的表達式邊界上的表達式。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 設(shè)設(shè)n為斜截面的外法線方向，其為斜截面的外法線方向，其方向余弦方向余弦二二.應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)在設(shè)在s部分邊界上給定了面力分量部分邊界上給定了面力分量fx(s)和和fy(s), 則可以則可以由邊界上任一點微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力由邊界上任一點微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。之間的關(guān)系式。 在邊界上任一點在邊界上任一點P取出一個微分體取出一個微分體,斜

52、面斜面AB就是邊界面就是邊界面, x, y, xy為應(yīng)力為應(yīng)力分量邊界值。分量邊界值。oxyyyxxyxPBAfxfy 邊界為斜截面時邊界為斜截面時nmyn lxn),cos(),cos(設(shè)設(shè) AB=ds ， z 方向厚度為方向厚度為1 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 由平衡條件，得出微分體的應(yīng)力分量與邊界面上由平衡條件，得出微分體的應(yīng)力分量與邊界面上的面力之間的關(guān)系：的面力之間的關(guān)系：).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）其中其中 在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，l, m 是是邊界面外法線的方

53、向余弦。邊界面外法線的方向余弦。fx(s) 和和 fy(s),oxyyyxxyxPBAfxfy ssmlf smslsfxxyxx021dd1d1d1dn除以除以ds， 并令并令ds0，得得 sfmlxsyxx),()(同理：同理：).()(sflmysxyy于是，得到于是，得到應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3. 在導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件時在導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件時, 只考慮到面力只考慮到面力(一階微量一階微量), 不需考慮二階微量不需考慮二階微量體力。體力。4. 應(yīng)力邊界條件是邊界點上微分體的平衡條件，也應(yīng)力邊界條件是邊界點上微分體的平

54、衡條件，也屬于靜力邊界條件。屬于靜力邊界條件。).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）注意注意1.應(yīng)力邊界條件表示邊界應(yīng)力邊界條件表示邊界s上任一點的應(yīng)力和面力之上任一點的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系。也是函數(shù)方程，在間的關(guān)系。也是函數(shù)方程，在s上每一點都應(yīng)滿足。上每一點都應(yīng)滿足。2.上式中的面力、應(yīng)力都有不同的正負符號規(guī)定，且上式中的面力、應(yīng)力都有不同的正負符號規(guī)定，且分別作用于通過邊界點的不同面上。分別作用于通過邊界點的不同面上。 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 2.邊界為坐標(biāo)面時邊界為坐標(biāo)面時若若 x=a 為正為正 x

55、 面，則有面，則有).()(),()(yf yfyaxxyxaxx若若 x=b 為負為負 x 面，則有面，則有).()(),()(yf yfybxxyxbxxoxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBAfxfyb正負正負 x 面上的面力分量一般面上的面力分量一般為隨為隨 y 而變化的函數(shù)。而變化的函數(shù)。l =1, m=0l = 1, m=0).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上） 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 3.應(yīng)力邊界條件的兩種表達方式應(yīng)力邊界條件的兩種表達方式(1) 在邊界點取出一個微分體，考慮

56、其平衡條件，得出在邊界點取出一個微分體，考慮其平衡條件，得出).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）).()(),()(yf yfyaxxyxaxx).()(),()(yf yfybxxyxbxx(2) 在同一邊界面上，應(yīng)力分量的邊界值就等于對在同一邊界面上，應(yīng)力分量的邊界值就等于對應(yīng)的面力分量。應(yīng)的面力分量。 應(yīng)力分量的絕對值等于對應(yīng)的面力分量的絕對應(yīng)力分量的絕對值等于對應(yīng)的面力分量的絕對值，面力分量的方向就是應(yīng)力分量的方向。值，面力分量的方向就是應(yīng)力分量的方向。 即數(shù)值相同，方向一致即數(shù)值相同，方向一致。 2006.Wei Yuan. All righ

57、ts reserved. 例如：若邊界面例如：若邊界面 y=c, d 分別為正、負坐標(biāo)面分別為正、負坐標(biāo)面).()(),()(xf xfxdyyxydyy在斜截面上：在斜截面上：).()(),()(xf xfxcyyxycyy).()(),()(sfp sfpysyxsxpx, py 為斜截面應(yīng)力為斜截面應(yīng)力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyxxyxPfxcyxyyxyxxmlpxyyylmpoxyyyxxyxPfxfypxpy 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 三三.混合邊界條件混合邊界條件物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊物體的

58、一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如界條件，如)()(),()(svv suuss（在（在su上）上）另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件件).()(),()(sflm sfmlysxyyxsyxx（在（在s 上）上）在同一邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件在同一邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件,即兩個邊界即兩個邊界條件中一個是位移邊界條件條件中一個是位移邊界條件, 另一個則是應(yīng)力邊界條另一個則是應(yīng)力邊界條件件.oxyx方向方向0)( uusy方向方向0)(ysxyfx方向方向0)( vvsy方向方向0)(xsxfoxy 2006.W

59、ei Yuan. All rights reserved. 2.7 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足三套方程，還必須滿足邊界條件，但分量必須滿足三套方程，還必須滿足邊界條件，但要使邊界條件得到完全滿足很困難。要使邊界條件得到完全滿足很困難。圣維南原理為圣維南原理為簡化局部邊界的應(yīng)力邊界條件提供了有效的方法。簡化局部邊界的應(yīng)力邊界條件提供了有效的方法。圣維南原理：圣維南原理：如果把物體的一如果把物體的一小部分邊界小部分邊界上的面力上的面力, 變換為分布不同但變換為分布不同但靜力等效靜力等效的面

60、力的面力(主矢量相同，對主矢量相同，對于同一點的主矩也相同于同一點的主矩也相同), 那么那么, 近處的應(yīng)力分布將有近處的應(yīng)力分布將有明顯的改變明顯的改變 , 但是遠處所受的影響可以不計。但是遠處所受的影響可以不計。 1. 圣維南原理只能應(yīng)用于圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界上一小部分邊界上，又稱為，又稱為局部邊界局部邊界，小邊界小邊界或或次要邊界次要邊界。一一. 圣維南原理應(yīng)用的條件圣維南原理應(yīng)用的條件 2006.Wei Yuan. All rights reserved. 所謂所謂“近處近處”, 根據(jù)經(jīng)驗根據(jù)經(jīng)驗, 一般一般地講大約是變換面力的地講大約是變換面力的邊界的邊界的12倍范圍內(nèi)倍范