1、勾股定理典型例題分析一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形 的兩直角邊為 a、b,斜邊為 c，那么 a2+ b2= c2。公式的變形：a2= c2- b2， b2= c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三邊長分別是 a，b，c,且滿足 a2+ b2= c2,那么三角形 ABC 是直角三 角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾個要點：1已知的條件：某三角形的三條邊的長度.2滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.3得到的結論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對

2、角是直角4如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、勾股數滿足 a2+ b2= c2的三個正整數，稱為勾股數。注意：勾股數必須是正整數，不能是分數 - 或小數。一組勾股數擴大相同的正整數倍后，仍是勾股數。常見勾股數有：（3, 4, 5）（5，12，13 ） （6, 8，10 ）（7,24, 25 ）（ 8, 15, 17 ）（9，12， 15 ）4、最短距離問題：主要運用的依據是 兩點之間線段最短。考點一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓.、考點剖析5、在直線丨上依次擺放著七個正方形（如圖 4 所示）。已知斜放

3、置的三個正方形的面積分別 是 1、2、3 ,正放置的四個正方形的面積依次是 S1S3、S4，則 SiS3S4=考點二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊1. 在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為 1cm 2cm，則斜邊長為_2.（易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長的平方是3、 如圖所示， 分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形， 其面積 分別是 S、S、S3，貝 U 它們之間的關系是（）A. Si- S2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+Ss1）,那么它的斜邊長是（）A、2nB、n+1C、n2 1D n217、在 Rt ABC 中, a,b,c 為

4、三邊長，則下列關系中正確的是（）A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能8、 已知 Rt ABC 中，/ C=90，若a+b=14cm c=10cm貝 U RtABC 的面積是（）A、24cm2B、36cm2C48cm2D 60cm22 2 29、已知 x、y 為正數，且Ix -4|+（y -3）=0,如果以 x、y 的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B、25C、7D 15考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖 1 所示，等腰二丄中，匚廣二，心是底邊上的高，若求 AD 的長；厶 ABC 的面積.考點四

5、：勾股數的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問1、下列各組數據中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（),15, 17A. 4 , 5, 6B. 2,3,4 C. 11,12,13D. 82、若線段 a, b, c 組成直角三角形，貝 U 它們的比為（）A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6 C、5 ： 12 ： 13D 、4 :6 : 73、下面的三角形中厶 ABC 中,/C=ZAZB;厶 ABC 中,/A:ZB:ZC=1: 2:3;3厶 ABC 中, a： b: c=3: 4: 5;4厶ABC 中，三邊長分別為 8, 15, 17.其中是直角三角形的個數有(

6、).A. 1 個 B . 2 個 C . 3 個 D . 4 個4、 若三角形的三邊之比為 :1：1，則這個三角形一定是()242A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形2 2 2 2 25、 已知 a, b, cABC 三邊，且滿足(ab)(a +b-c)=0,則它的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6 將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數，得到的三角形是()A.鈍角三角形 B. 銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7、若厶 ABC 的三邊長 a,b,c 滿足a2b2c2200 12a 16b 20c,試判斷 AB

7、C 的形狀。&ABC 的兩邊分別為 5,12 ,另一邊為奇數，且a+b+c是 3 的倍數，則 c 應為_此三角形為 _ 。例 3:求(1)_ 若三角形三條邊的長分別是 7,24,25，則這個三角形的最大內角是 _度。(2) 已知三角形三邊的比為 1 :. 3 : 2,則其最小角為_。考點五：應用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題某樓梯的側面視圖如圖 3 所示，其中匸三二二米，一U-二，一，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在 AB 段樓梯所鋪地毯的長度應為_ .考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發

8、現下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？2、一架長 2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4m,那么梯子底端將向左滑動_ 米3、如圖，一個長為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂 直距離為 8 米，如果梯子的頂端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑動距離 1 米， （填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵樹 10 m 高的 B 處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m 處的池塘 A 處；？另外一只爬到樹頂 D 處后直接躍到 A 外，距離以 直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，試問這棵樹有多高？C5、如圖，是一個外

9、輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖 中標出尺寸（單位：mm 計算兩圓孔中心 A 和 B 的距離6、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 _米.7、如圖 18-15 所示，某人到一個荒島上去探寶，在 A 處登陸 后，往東走 8km 又往北走 2km,遇到障礙后又往西走 3km, 再折向北方走到 5km 處往東一拐， 僅 1km?就找到了寶藏， 問：登陸點（A 處）到寶藏埋藏點（B 處）的直線距離是多少？圖 18-15考點七：折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6 BC=8 將厶 ABC 折疊，使點 B

10、與點 A 重合, 折痕為 DE 則 CD 等于（）1-B5D第 5 題圖 7第 6 題圖交 BC?于 M 交 AB 于 N,若 AC=4 MB=2M,求 AB 的長.3、折疊矩形 ABCD 勺一邊 AD,點 D 落在 BC 邊上的點 F 處,已知 AB=8CM,BC=10C 求 CF 和 EG4、如圖，在長方形 ABCD 中, DC=5 在 DC 邊上存在一點 E,沿直線 AE 把厶 ABC 折疊，使點 D 恰好在 BC 邊上，設此點為卩，若厶 ABF 的面積為 30，求折疊的 AED 的面積5、如圖，矩形紙片 ABCD 勺長 AD=9cm，寬 AB=3cm，將其折疊，使點 D 與點 B 重合

11、，那么折 疊后 DE 的長是多少？A25B.22C.7A.434D.2、如圖所示，已知 ABC 中, /C=90, AB 的垂直平分線FDE6、如圖，在長方形 ABC 沖，將 ABC 沿 AC 對折至 AEC 位置，CE 與 AD 交于點 F(1)試說明：AF=FC (2)如果 AB=3 BC=4 求 AF 的長7、如圖 2 所示，將長方形 ABCDft 直線 AE 折疊，頂點 D 正好落在 BC 邊上 F 點處，已知 CE=3cm AB=8cm 則圖中陰影部分面 積為.&如圖 2-3，把矩形 ABCDS 直線 BD 向上折疊，使點 C 落在 C 的位置上，已知 AB=?3，BC=7

12、重合部分厶 EBD 的面積為_ .9、如圖 5,將正方形 ABCDff 疊，使頂點 A 與 CD 邊上的點 M 重合，折痕交 AD 于 E,交 BC 于F,邊 AB 折疊后與 BC 邊交于點 G 如果 M 為 CD 邊的中點，求證：DE DM EM=3 4: 5。10、如圖 2-5，長方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若將該矩形折疊，使 C 點與 A點重合，？貝朋疊后痕跡 EF 的長為（）A. 3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.7711、如圖 1-3-11，有一塊塑料矩形模板 ABCD 長為 10cm,寬為 4cm 將你手中足夠大的直角 三角板PHF 的直角頂點

13、 P 落在 AD 邊上（不與 A、D 重合），在 AD 上適當移動三角板頂點 P:1能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B 與點 C?若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由.2再次移動三角板位置，使三角板頂點 P 在 AD 上移動，直角邊PH 始終通過點 B,另一 直角邊 PF 與 DC 的延長線交于點 Q,與 BC 交于點 E,能否使 CE=2cr?若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請你說明理由.12、如圖所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC D 是斜邊 BC 的中點，E、F 分別是 AB AC邊上的點，且 DELDF,若 BE=12 CF=5.求線段 EF 的長13

14、、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點 P 處交匯，且/QPN= 30 ，點 A 處有一所中學，A= 160m。假設拖拉機行駛時，周圍 100m 以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題1、 如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中2、_ 最大的正方形的邊長為5，則正方形 A, B, C, D 的面積的和為_2、已知 ABC 是邊長為 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜邊 AC 為直角邊，畫第二個等腰 Rt ACD

15、再以 RtAACD 勺斜邊 AD 為直角邊，畫第三個等腰 Rt ADE，依此類推，第 n 個等腰直角三角形的斜邊長是 _ .那么學校受影響的時間為多少秒?3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AB=2.3m, BC=2m,現有一輛裝滿貨物的卡車,高為 2.5m,寬為 1.6m，問這輛卡車能否通 過公司的大門？并說明你的理由4、將一根長 24cm的筷子置于地面直徑為 5cm,咼為 12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子 外面的長為 hcm,貝Uh 的取值范圍_。考點九、圖形問題1、如圖 1,求該四邊形的面積2、如圖 2,已知，在 ABC 中,邊 BC

16、 的長為_ .AC =2,AB =5、 如圖， 鐵路上A B兩點相距25km C、 D為兩村莊， DA?垂直AB于A, CB垂直AB于B, 已知AD=15kmBC=10km 現在要在鐵路 AB 上建一個土特產品收購站 E,使得 C、D 兩村到 E 站的距離相等，則 E站建在距 A 站多少千米處？考點十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知 AD=8m CD=6rpZD=90 , AB=26m BC=24m 求這塊地的面積。考點十一：與展開圖有關的計算1、如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCAB C D的表面上，求從頂點 A 到頂點 C的最短距離.2、如圖一個圓柱，底圓周長 6cm 高 4cm

17、 一只螞蟻沿外壁爬行，要從 A 點爬到 B 點，則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀， 目前正在全國各地農村進行電網改造, 某地有四個村莊 A、B、C、D,B且正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分請 你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線.考點十二、航海問題1、一輪船以 16 海里/時的速度從 A 港向東北方向航行，另一艘船同時以 12 海里/時的速度從 A 港向西北方向航行，經過 1.5 小時后，它們相距_ 里.2、如圖，某貨船以 24 海里/時的速度將一批重要物資從 A 處運往正東方向的 M 處，在點

18、 A 處測得某島 C 在北偏東 60的方向上。該貨船航行 30 分鐘到達 B 處，此時又測得該島在北 偏東 30的方向上，已知在 C 島周圍 9 海里的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨 船有無暗礁危險？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市 A 接到臺風警報，在該市正南方向 260km 的 B 處有一臺風中心， 沿 BC方向以 15km/h 的速度向 D 移動，已知城市 A 到 BC 的距離 AD=100km 那么臺風中心經 過多長時間從 B 點移到 D 點？如果在距臺風中心 30km 的圓形區域內都將有受到臺風的破壞 的危險，正在 D 點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離

19、危險？考點十三、網格問題1、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為 1,則網格上的三角形 ABC 中，邊長為無理 數的邊數是（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 2、 如圖，正方形網格中的 ABC 若小方格邊長為 1,則厶 ABC 是 （）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上答案都不對3、如圖，小方格都是邊長為 1 的正方形,則四邊形 ABCD 勺面積是（）4、如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是 1,每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點 分別按下列要求畫三角形：1使三角形的三邊長分別為 3、.8、-.5（在圖甲中畫一個即可）；2使三角形為鈍角三角形且面積為

20、 4（在圖乙中畫一個即可）.A. 25 B. 12.5C. 9 D. 8.5（圖3）課后練習一、填空題（每題 3 分，共 24 分）1 .三角形的三邊長分別為a2+ b2、2ab、a2- b2（a、b 都是正整數），則這個三角形是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C銳角三角形D.不能確定2 .若 ABC 的三邊 a、b、c 滿足 a2+ b2+ c2十 338= 10a+ 24b+ 26c,則厶 ABC 的面積是（ ）A.338B.24C.26D.303若等腰厶 ABC 的腰長 AB = 2,頂角/ BAC = 120，以 BC 為邊的正方形面積為（）27廠16A.3B.12C.D.434. A

21、BC 中，AB= 15, AC = 13,高AD = 12，則 ABC 的周長為（）A.42B.32C.42 或 32D.37 或 335.直角三角形三條邊的比是 3 : 4: 5則這個三角形三條邊上的高的比是（A.15 : 12 : 8 B. 15 : 20 : 12 C. 12 ： 15 ： 206.在 ABC 中，/ C = 90 ,BC = 3, AC = 4以斜邊 AB 為直徑作半圓，則這個半圓的面積等于（）25A.-8B.25C.25D.25n4167.如圖 1,有一塊直角三角形紙片，兩直角邊 AC= 6cm, BC = 8cm,現將直角邊 AC 沿直線 AD 折疊,使它落在斜邊

22、AB 上，且與 AE 重合，則 CD 等于（）D.20 : 15 : 12A.2cmB.3 cmA8 .如圖 2，一個圓桶兒，底面直徑為16cm，高為 18cm，則一只小蟲底部點A 爬到上底 B 處，則小蟲所爬的最短路徑長是（n取 3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm、填空題（每小題 3 分，共 24 分）9在 ABC 中，若其三條邊的長度分別為9、12、15,則以兩個這樣的三角形所拼成的長方形的面積是_.10.某市在舊城改造中，計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環境，已 知這種草皮每平方米售價 a 元，則購買這種草皮至少需要（）11.已知，如圖長方形 AB

23、CD 中, AB=3cm AD=9cm 將此長方形折疊，使點 B 與點 D 重合，折 痕為丘尺則厶 ABE 的面積為（ ）2 2 2 2A 、6cmB、8cmCC 10cmD 12cm12.已知，如圖，一輪船以 16 海里/時的速度從港口 A 出發向東北方向航行，另一輪船以 12 海里/時的速度同時從港口 A 出發向東南方向航行，離開港口 2 小時后，則兩船相距（）A 、25 海里B、30 海里C、35 海里 D 40 海里13. 一個長方體同一頂點的三條棱長分別是3、4、12，則這個長方體內能容下的最長的木棒為_.14.在 ABC 中，/ C = 90 BC= 60cm，CA = 80cm，一只蝸牛從 C 點出發，以每分 20cm 的速度沿 CATABTBC 的路徑再回到 C 點，需要_分的時間.15._如圖 3, 一艘船由島 A 正南 30 海里的 B 處向東以每小時 20 海里的速度航行 2 小時后到達 C 處.則 AC 間的距離是_ .16._在 ABC 中，/ B = 90兩直角邊 AB= 7，BC = 24,三角形內有一點 P 到各邊的距離相等，則這個 距離是.17.如下圖，一個牧童在小河的南 4km 的 A 處牧