1、學習必備歡迎下載一 函數與不等式專題一、【基本解題方法】1、“基本性質”法：即利用“常用函數”的基本性質解決有關函數問題的方法. 適用情境：與“常用函數”直接或間接相關的問題.這里所說“常用函數”是指：(1)常數函數y =c;(2)一次函數y = ax b (a = 0)；(3)二次函數y = ax bx c (a = 0)；b(4)y二ax(ab = 0);x(5)幕函數y = xa(a R)；(6)指數函數xy = a (a 0,a =1)；(7)對數函數y =logax(a 0,a = 1)；(8)三角函數y =si nx,y = cosx,y二ta nx,y二cotx；(9)反三角函數

2、y二arcsinx,y =arccosx,y =arctanx;*注：必須十分熟悉“常用函數”的圖像和性質.常見題型與解法(1) 已知函數是“常用函數”，那么直接可以利用“常用函數”的性質來解；如：若函數y = (a24a -5)x2-4(a -1)x 3的函數值恒為正，求實數a的取值范圍.可直接利用二 次函數的性質解決這個問題.(2) 已知函數不是“常用函數”，通過換元法將變量代換，使其轉換為“常用函數”的問題，再用“常用函數”的性質來解 .如：若函數y二(2x-a)2(2- a)2的最小值為 8,求實數a的值.只要令t=2x2“，問題即可轉化為二次函數的性質問題了.(3) 已知函數不是“常

3、用函數”，通過公式變形轉換為“常用函數”，再用“常用函數”的性質來解如：求函數y=2sinxcosx-2sin2x T的最小正周期利用三角比公式可將問 題轉化為某個三角函數的最小正周期問題了.2、定義法：即利用函數、反函數和函數的單調性、奇偶性、周期性的定義來解決有關問題學習必備歡迎下載的方法.適用情境：當遇到一些不能化為 “常用函數”的問題時，特別是討論一些較復雜的函數或抽 象函數性質的問題， 我們常常直接運用函數和反函數的定義、函數的有關性質(單調性、奇偶性、周期性)的定義來解.常見題型與解法(1)要證明某一函數的單調性、奇偶性、周期性，或證明某一函數是另一函數的反函數等；(2 )已知某一

4、函數的單調性、或奇偶性、或周期性等，要得出一些新的結論或解決一些新 的問題.3、圖像法：即利用函數的圖像來解決有關問題的方法.適用情境：當有些函數從解析式角度進行分析有困難時，可以畫出函數圖像， 通過觀察圖像尋求解決問題的思路或直觀的解決問題，其本質是數形結合.常見題型與解法(1) 通過函數的圖像討論函數的定義域、值域、最值；(2) 通過函數的圖像的對稱性討論函數的奇偶性；(3) 通過函數的圖像從左至右的上升或下降討論函數的單調性；(4) 通過函數的圖像關于y二x對稱的圖形討論函數與它的反函數；(5)通過函數y二f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，討論方程f(x) =0的解；(6)通過y =

5、f (x)和y =g(x)的圖像交點的橫坐標，討論方程f(x)二g(x)的解.解題的實質是轉化，而實現轉化是否順利取決于學生對基礎知識與基本方法的掌握程 度.因此，學生對基礎知識與基本方法的掌握程度是提高學生分析問題與解決問題能力的前 提或條件.二、【經典例題】21 1【例 1】(1)函數y =x2(x )的值域是_ .x2(2 )若函數f(x)叱(x =3)在定義域內恒有ff(x) = x,則m等4x 34于_ .(3)已知f(x)在R上是奇函數，且f (x 2) =-f (x),當(0,2)時，f(x) = 2x2，則f(7)=-學習必備歡迎下載(4)設f(x),g(x)都是定義在R上的奇

6、函數，F(x)二af (x) bg(x) 2在區間(0,：)上的最大值是 5，求F(x)在(-：,0)上的最小值為_ 【例 2】(1)已知f (x)二ax2bx c (a 0),，：為方程f (x) = x的兩根，且0 x 卩，當0：x：時，給出下列不等式，成立的是()A X：: f (X)B X巴f (x)C.x f(x)D X丄f (x)(2)已知定義域為R的函數f (x)在(8, ：)上為減函數，且函數A.f (6) f (7)B.f (6) f (9)C.f (7) - f (9)x+1X 0(3 )已知函數 f(x)=,則不等式X +(X +1 )f(X + 1 ) V 1的解集是(

7、x1-x K0A. X | 1 蘭 X 蘭 J2B. xI XC.匕|x埜巨1D.如一J21蘭x蘭J2初丄P222【例 3】已知函數f(X)= X(p* Z)在(0,母)上是增函數，且在其定義域上是偶函數( 1 )求p的值，并寫出相應的函數f(x)的解析式.(2)對于(1)中求得的函數f(x),設函數g(x) - -qf f (x)(21) f (x)1，問是否存在負實數q，使得g(x)在區間(-,-4上是減函數，且在區間(一 4,0)上是增函數.若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.【例 4】定義在R上的函數y二f (x)，當x . 0時，f (x) . 1，且對任意的a,b R，有f(a b)二f (a)f (b). (1)求f(0)的值；求證：對任意的x R，恒有f (x) . 0;2判斷并證明f(x)在定義域上的單調性；若f(x)f(2x-x ) 1，求x的取值范圍.y = f (x 8)為偶函數,D.f (7) f (10)學習必備歡迎下載【例 5】對于函數f(x)，若f(x)二X，則稱x為f(x)的“不動點”；若ff(x) =x,則稱