1、絕密啟用前20212021 年普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷年普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷數數學學注注意意事事項項考生在答題前請認真閱讀本考前須知及各題答題要求考生在答題前請認真閱讀本考前須知及各題答題要求1、本試卷共 4 頁，包含填空題第 1 題第 14 題 、解答題第 15 題第 20 題兩局部。本試卷總分值 160 分，考試時間為 120 分鐘。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2、答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆填寫在試卷及答題卡上。3、請認真核對監考員所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號是否與您本人的相符。4、作答非選擇題必須用書

2、寫黑色字跡的 0.5 毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。作答選擇題必須用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。5、如有作圖需要，可用 2B 鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚。參考公式:樣本數據1x,2x,nx的標準差222121nsxxxxxxn其中x為樣本平均數柱體體積公式VSh其中S為底面積，h為高一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 1 小題，每題小題，每題 5 分，共分，共 70 分分1假設函數假設函數cos()(0)6yx最小正周期為最小正周期為5，那么，那么.【解析】本小題考查三角函數的周期公式.210

3、5T【答案】102假設將一顆質地均勻的骰子一種各面上分別標有假設將一顆質地均勻的骰子一種各面上分別標有 1，2，3，4，5，6 個點的正方體玩具個點的正方體玩具 ，先后拋擲兩次，那么出現向上的點數之和為先后拋擲兩次，那么出現向上的點數之和為 4 的概率是的概率是【解析】 本小題考查古典概型 根本領件共 66 個， 點數和為 4 的有(1,3)、 (2,2)、 (3,1)共 3 個，故316 612P 【答案】1123 3假設將復數假設將復數11ii表示為表示為( ,abi a bR i是虛數單位的形式，那么是虛數單位的形式，那么ab錐體體積公式13VSh其中S S為底面積，h為高球的外表積、體

4、積公式24SR，343VR【解析】本小題考查復數的除法運算21112iiii，a0，b1，因此1ab【答案】14 4假設集合假設集合2 |(1)37,AxxxxR，那么，那么AZ中有中有個元素個元素【解析】本小題考查集合的運算和解一元二次不等式由2(1)37xx得2560 xx,( 1,6)A ，因此0,1,2,3,4,5AZ ，共有 6 個元素【答案】65向量向量a和和b的夾角為的夾角為0120，| 1,| 3ab，那么，那么|5|ab【解析】本小題考查向量的線性運算2222552510ababaa bb =22125 110 1 33492 ，5ab7【答案】76 在平面直角坐標系在平面直

5、角坐標系xoy中中， 設設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于 2 的點構成的區域的點構成的區域，E是到原點的距離不大于是到原點的距離不大于 1 的點構成的區域，向的點構成的區域，向D中隨機投一點中隨機投一點，那么所投點在那么所投點在E中的概率是中的概率是【解析】本小題考查古典概型如圖：區域 D 表示邊長為 4 的正方形的內部含邊界 ，區域 E 表示單位圓及其內部，因此214 416P【答案】167某地區為了解某地區為了解7080歲的老人的日平均睡眠時間單位：歲的老人的日平均睡眠時間單位：h ，隨機選擇了，隨機選擇了 50 位老人進行位老人進行調查，下表是這調查，

6、下表是這 50 位老人睡眠時間的頻率分布表：位老人睡眠時間的頻率分布表：在上述統計數據的分析中在上述統計數據的分析中一局部計算見算法流程圖一局部計算見算法流程圖， 那么輸那么輸出的出的 S 的值為的值為【解析】由流程圖1122334455SG FG FG FG FG F序號序號i分組分組睡眠時間睡眠時間組中值組中值iG頻數頻數人數人數頻率頻率 iF14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08開始S0輸入 Gi，i1S SGiFii5i i1NY輸出 S結束4.5 0.125.5 0.206.5 0.407

7、.5 0.28.5 0.086.428設直線設直線bxy21是曲線是曲線)0(lnxxy的一條切線，那么實數的一條切線，那么實數b的值是的值是【解析】本小題考查導數的幾何意義、切線的求法1yx，令112x得2x ，故切點2，ln2 ，代入直線方程，得，所以 bln21【答案】ln219如圖如圖，在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoy中中，設三角形設三角形ABC的頂點分別為的頂點分別為)0 ,(),0 ,(), 0(cCbBaA，點點(0, )Pp在線段在線段 AO 上的一點異于端點上的一點異于端點 ，這里，這里pcba,均為非零實數，設直線均為非零實數，設直線CPBP,分別分別與邊與邊ABAC

8、,交于點交于點FE,，某同學已正確求得直線，某同學已正確求得直線OE的的方程為方程為01111yapxcb， 請你完成直線請你完成直線OF的方程的方程：()011yapx。【解析】本小題考查直線方程的求法畫草圖，由對稱性可猜測填11cb 事實上， 由截距式可得直線 AB：1xyba，直線 CP：1xycp，兩式相減得11110 xybcpa，顯然直線 AB 與 CP 的交點 F滿足此方程，又原點 O 也滿足此方程，故為所求直線 OF 的方程【答案】11cb10將全體正整數排成將全體正整數排成一個一個三角形數陣：三角形數陣：按照以上排列的規律，第按照以上排列的規律，第n行行3n從左向右的第從左向

9、右的第 3 個數為個數為【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式前 n1 行共有正整數 12n1個，即22nn個，因此第 n 行第 3 個數是全體正整數中第22nn3 個，即為262nn【答案】262nn11設設, ,x y z為正實數，滿足為正實數，滿足230 xyz，那么，那么2yxz的最小值是的最小值是ABCxyPOFE123456789101112131415【解析】本小題考查二元根本不等式的運用由230 xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，當且僅當x3z時取“【答案】312在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中，橢圓，橢圓)0( 12

10、222babyax的焦距為的焦距為 2c，以，以 O 為圓心，為圓心，a為為半徑半徑作圓作圓M，假設過假設過20aPc，作作圓圓M的兩條切線相互垂直，那么橢圓的離心率為的兩條切線相互垂直，那么橢圓的離心率為【解析】設切線 PA、PB 互相垂直，又半徑 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea【答案】2213滿足條件滿足條件BCACAB2, 2的三角形的三角形ABC的面積的最大值的面積的最大值【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想設 BCx，那么 AC2x，根據面積公式得ABCS=21sin1 cos2AB BCBxB，根據余弦定理得2222

11、242cos24ABBCACxxBAB BCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三邊關系有2222xxxx解得2 222 22x，故當2 2x 時取得ABCS最大值2 2【答案】2 214設函數設函數3( )31()f xaxxxR，假設對于任意的，假設對于任意的1 , 1x都有都有0)(xf成立，那么成立，那么實數實數a的值為的值為【解析】本小題考查函數單調性的綜合運用假設 x0，那么不管a取何值， f x0 顯然成立；當 x0 即1,1x 時， 331f xaxx0 可化為，2331axx設 2331g xxx，那么 43 1 2xgxx， 所以 g

12、 x在區間10,2上單調遞增，在區間1,12上單調遞減，因此 max142g xg，從而a4；當 x0 即1,0時， 331f xaxx0 可化為a 2331xx， 43 1 2xgxx0 g x在區間1,0上單調遞增，因此 ma14ng xg，從而a4，綜上a4【答案】4二二、解答題解答題：本大題共本大題共 6 6 小題小題，共共 9090 分分。請在請在答題卡指定區域答題卡指定區域內作答內作答，解答時應寫出文字說明解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟。15如圖，在平面直角坐標系如圖，在平面直角坐標系xOy中，以中，以Ox軸為始邊作兩個軸為始邊作兩個銳角銳角，它們的終邊

13、分別交單位圓于它們的終邊分別交單位圓于AB，兩點兩點AB，兩兩點的橫坐標分別是點的橫坐標分別是210，2 551求求tan()的值；的值；2求求2的值的值【試題【試題解析解析】先由條件得先由條件得22 5cos,cos105，第第1問求tan()的值，運用正切的和角公式；第2問求2的值，先求出tan(2 )的值，再根據范圍確定角的值。的值，再根據范圍確定角的值。【標準答案】【標準答案】1由條件即三角函數的定義可知22 5cos,cos105，因為銳角，故sin0，從而27 2sin1 cos10同理可得25sin1 cos5，因此1tan7,tan2.所以tan()=17tantan2311t

14、antan1 72 ;BAxyOABCDEFBCDAOP2132tan(2 )tan()111 ( 3)2 ,30,0,02,222又故從而由tan(2 )1 得324.16如圖如圖，在四面體在四面體ABCD中中，CBCDADBD，點點EF，分別是分別是ABBD，的中點的中點求求證：證：1直線直線/EF面面ACD；2平面平面EFC 面面BCD【試題【試題解析解析】第 1 問根據線面平行關系的判定定理 ，在面ACD內找一條直線和直線 EF 平行即可，第 2 問，需在其中一個平面內找一條直線和另一個面垂直，由線面垂直推出面面垂直。【標準答案】【標準答案】證明證明： 1E,F 分別是ABBD，的中點

15、EF 是ABD 的中位線，EFAD，EF面 ACD，AD面 ACD，直線 EF面 ACD；2ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是的中點，CFBD又 EFCF=F,BD面 EFC，BD面 BCD，面EFC 面BCD17如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD 的兩個頂點的兩個頂點 A，B 及及 CD 的中點的中點 P 處處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上含邊界且與為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上含邊界且與 A，B 等距的一點等距的一點 O 處處，建造一個污水處理廠建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污

16、管道并鋪設三條排污管道 AO，BO，PO記鋪設管道的記鋪設管道的總長度為總長度為 ykm1按以下要求建立函數關系式：按以下要求建立函數關系式：i設設BAOrad ，將，將y表示成表示成的函數；的函數；ii設設OPxkm ，將，將y表示成表示成x的函數；的函數；2請你選用請你選用1中的一個函數關系確定污水處理廠的中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短。位置，使鋪設的污水管道的總長度最短。【解析】本小題主要考查函數最值的應用由條件知 PQ 垂直平分 AB，假設BAO=(rad) ，那么10coscosAQOA, 故10cosOB，又 OP10 10tan，所以10101

17、0 10tancoscosyOAOBOP，所求函數關系式為20 10sin10cosy04假設 OP=x(km) ，那么 OQ10 x，所以 OA =OB=222101020200 xxx所求函數關系式為2220200 010yxxxx選擇函數模型，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny令y 0 得 sin12，因為04，所以=6，當0,6時，0y ，y是的減函數；當,6 4 時，0y ，y是的增函數，所以當=6時，min10 10 3y。這時點 P 位于線段 AB 的中垂線上，在矩形區域內且距離 AB 邊10 33km 處。18在平面直角坐標系在平面直角坐標

18、系xOy中，記二次函數中，記二次函數2( )2f xxxbxR與兩坐標軸有與兩坐標軸有三個交點經過三個交點的圓記為三個交點經過三個交點的圓記為C1求實數求實數 b 的取值范圍；的取值范圍；2求求圓圓C的方程；的方程；3問問圓圓C是否經過定點其坐標與是否經過定點其坐標與b的無關的無關？請證明你的結論？請證明你的結論解：解：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法令x0，得拋物線與y軸交點是0，b ；令 220f xxxb，由題意 b0 且0，解得 b1 且 b0設所求圓的一般方程為2x20yDxEyF令y0 得20 xDxF這與22xxb0 是同一個方程，故 D2，Fb令x0 得2yEy

19、0，此方程有一個根為 b，代入得出 Eb1所以圓 C 的方程為222(1)0 xyxbyb.圓 C 必過定點，證明如下：假設圓 C 過定點0000(,)(,)xyxyb不依賴于，將該點的坐標代入圓 C 的方程，并變形為22000002(1)0 xyxyby*為使*式對所有滿足1(0)bb的b都成立，必須有010y，結合*式得22000020 xyxy，解得000002 11xxyy， ，或，經檢驗知，點(0,1),( 2,0)均在圓 C 上，因此圓 C 過定點。19 1設設12,na aa是是各項均不為零的各項均不為零的n4n項等差數列項等差數列，且公差且公差0d ，假設將此假設將此數列刪去某

20、一項后得到的數列按原來的順序是等比數列數列刪去某一項后得到的數列按原來的順序是等比數列i當當4n 時，求時，求1ad的數值；的數值；ii求求n的所有可能值的所有可能值2求證：對于給定的正整數求證：對于給定的正整數n(4n)，存在一個各項及公差均不為零的等差數列，存在一個各項及公差均不為零的等差數列12b b， ， ，nb，其中任意三項按原來的順序都不能組成等比數列，其中任意三項按原來的順序都不能組成等比數列解解： 1當 n=4 時,1234,a a a a中不可能刪去首項或末項，否那么等差數列中連續三項成等比數列，那么推出 d=0。假設刪去2a，那么2314aa a，即2111(2 )(3 )

21、adaad化簡得140ad，得14ad假設刪去3a，那么2214aa a，即2111()(3 )adaad化簡得10ad，得11ad綜上，得14ad或11ad。當 n=5 時,12345,a a a a a中同樣不可能刪去1245,a a a a，否那么出現連續三項。假設刪去3a，那么1524a aaa，即1111(4 )() (3 )a adadad化簡得230d ，因為0d，所以3a不能刪去；當 n6 時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列12321,nnna a aaaa中，由于不能刪去首項或末項，假設刪去2a，那么必有132nna aaa，這與0d矛盾；同樣假設刪去1na也有132n

22、na aaa，這與0d矛盾；假設刪去32,naa中任意一個，那么必有121nna aaa，這與0d矛盾。(或者說：當 n6 時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)綜上所述，4n 。2 假設對于某個正整數 n， 存在一個公差為 d 的 n 項等差數列nbbb,.,21， 其中111,xyzbbb01xyzn 為 任 意 三 項 成 等 比 數 列 ， 那 么2111yxzbbb， 即2111()() ()bydbxdbzd，化簡得221()(2 )yxz dxzy bd*由10bd 知，2yxz與2xzy同時為 0 或同時不為 0當2yxz與2xzy同時為 0 時，有xyz與題設矛盾。故

23、2yxz與2xzy同時不為 0，所以由*得212byxzdxzy因為01xyzn，且 x、y、z 為整數，所以上式右邊為有理數，從而1bd為有理數。Oyx(a,f(a)(b,f(b)圖 1于是，對于任意的正整數) 4( nn，只要1bd為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。例如n項數列1，12，1 2 2，1 (1) 2n滿足要求。20函數函數11( )3xpf x，22( )2 3xpfx12,xR p p為常數為常數 函數函數( )f x定義為定義為：對每個對每個給定的實數給定的實數x，112212( ),( )( )( )( ),( )( )fxfxfxfxfxfxfx若若1 1求

24、求1( )( )f xf x對所有實數對所有實數x成立的充分必要條件用成立的充分必要條件用12,p p表示表示 ；2 2設設, a b是兩個實數是兩個實數，滿足滿足ab，且且12,( , )p pa b假設假設( )( )f af b，求證求證：函數函數( )f x在在區間區間 , a b上的單調增區間的長度之和為上的單調增區間的長度之和為2ba閉區間閉區間 , m n的長度定義為的長度定義為nm解解： 1由( )f x的定義可知，1( )( )f xf x對所有實數x等價于 12fxfx對所有實數x這又等價于1232 3xpxp，即123log 2332x px p 對所有實數x均成立.*由

25、于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值為12pp，故*等價于1232pp，即123log 2pp，這就是所求的充分必要條件2分兩種情形討論i當1232pplog時，由1知1( )( )f xf x對所有實數 , xa b那么由 f afb及1apb易知12abp，再由111113,( )3,pxxpxpf xxp的單調性可知，函數( )f x在區間 , a b上的單調增區間的長度為22abbab參見示意圖 1ii1232pplog時，不妨設12,pp，那么213log 2pp，于是當1xp時，有1212( )33( )pxpxf xfx，從而1( )( )f xf x；當2

26、xp時，有312122122log 212( )333333( )xpppxpppxpxpf xfx 從而2( )( )f xfx；Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)圖 2當12pxp時，11( )3xpf x，及22( )2 3pxfx，由方程1232 3xppx解得12( )( )f xfx與圖象交點的橫坐標為12031log 222ppx顯然10221321()log 22pxpppp，這說明0 x在1p與2p之間。由易知101022( ) ,( )( ) ,pxxf xf xxxpfx綜上可知，在區間 , a b上，0102( ) ,( )( )

27、,axxf xf xxxbfx參見示意圖 2故由函數1( )f x及2( )fx的單調性可知，( )f x在區間 , a b上的單調增區間的長度之和為012()()xpbp，由于( )( )f af b，即1232 3pab p，得123log 2ppab故由、得0121231()()log 222baxpbpbpp綜合i ii可知，( )f x在區間 , a b上的單調增區間的長度和為2ab。20212021 年普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷年普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷數學附加題參考答案數學附加題參考答案21：從從 A，B，C，D 四個中選做四個中選做 2 個，每題個，每題 10

28、 分，共分，共 20 分分A選修選修 41幾何證明選講幾何證明選講如圖，設如圖，設ABC 的外接圓的切線的外接圓的切線 AE 與與 BC 的延長線交于點的延長線交于點 E，BAC 的平分線與的平分線與 BC 交于交于點點D求證：求證：2EDEB EC證明：如圖，因為AE是圓的切線，所以，ABCCAE ,又因為AD是BAC的平分線，所以BADCAD 從而ABCBADCAECAD 因為ADEABCBAD ,DAECADCAE 所以ADEDAE ,故EAED.因為EA是圓的切線，所以由切割線定理知,2EAEC EB,而EAED,所以2EDEC EBB選修選修 42矩陣與變換矩陣與變換在平面直角坐標系

29、在平面直角坐標系xOy中，設橢圓中，設橢圓2241xy在矩陣在矩陣2001對應的變換作用下得到曲線對應的變換作用下得到曲線 F，求求 F 的方程的方程解：設00(,)P xy是橢圓上任意一點，點00(,)P xy在矩陣A對應的變換下變為點00(,)P xy那么有00002 0 0 1xxyy ，即00002xxyy，所以00002xxyy又因為點P在橢圓上，故220041xy，從而2200()()1xy所以，曲線F的方程是221xyBCEDAC選修選修 44參數方程與極坐標參數方程與極坐標在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中，點中，點()P xy，是橢圓是橢圓2213xy上的一個動點，求上

30、的一個動點，求Sxy的最大的最大值值解： 因橢圓2213xy的參數方程為3cos (sinxy為參數）故可設動點P的坐標為( 3cos ,sin），其中02.因此313cossin2(cossin )2sin()223Sxy所以，當6時，S取最大值 2D選修選修 45不等式證明選講不等式證明選講設設 a，b，c 為正實數，求證：為正實數，求證：3331112 3abc+abc證明：因為, ,a b c為正實數，由平均不等式可得33333331111113abcabc即3331113abcabc所以3331113abcabcabcabc，而3322 3abcabcabcabc所以3331112 3abc+abc22 【必做題】記動點【必做題】記動點 P 是棱長為是棱長為 1 的正方體的正方體1111-ABCD ABC D的對角線的對角線1BD上一點，記上一點，記11D PD B當當APC為鈍角時，求為鈍角時，求的取值范圍的取值范圍解：由題設可知，以DA 、DC、1DD 為單位正交基底，建立如下圖的空間直角坐標系Dxyz，那么有(1,0,0)A,(1,1,0)