1、方程的根與函數的零點一、教材地位和作用本節課是普通高中實驗教科書人教A版必修1第三章第一單元第一節，是后繼學習二分法的理論準備。學生通過了解函數零點與方程根的聯系，從而把求方程根的問題轉化為求函數零點的問題。作為函數應用的第一課時，就是要讓學生認識到函數與其他數學知識的聯系，讓學生用函數的圖象這個“形”來研究方程的根這個“數”，深刻體會“以形助數”的思想方法二、學情分析（1）知識基礎：學生已經熟練掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函數圖象的畫法，并能從圖象中獲取一定信息，這是學習本節課的知識基礎。（2）心理準備：公式法求解高次、超越方程的思維受挫是學生學習本節課的內在動機。三、教

2、學目標1、知識與技能：結合具體的二次函數圖象，判斷二次方程根的存在性，從而了解函數的零點與方程根的聯系，形成函數零點的概念及零點存在的判定方法。2、過程與方法：在應用函數研究方程的過程中，體會函數與方程思想，數形結合思想以及化歸思想；把從特殊函數零點存在的判定方法上升到一般函數，體現了從特殊到一般的研究方法。3、情感態度價值觀：在求解方程根的“山窮水盡”，到研究函數零點的“柳暗花明”，學生了解數學的發展史，感受探究的樂趣。四、教學重點、難點與關鍵（1）重點：零點存在定理的發現。（2）難點：零點存在定理的發現與準確理解。（3）關鍵：引導學生運用函數的觀點研究方程的根。五、教法與學法（一）教法設計

3、：本節課借鑒發現教學法，強調教師學生雙主體，采用“創設問題情境師生共同探究形成概念結論應用鞏固提高”的教學模式，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力（二）學法指導：讓學生在自主探究中，學會發現問題并解決問題，逐步形成敢于發現、敢于質疑的科學態度。六、教學過程教學過程教學內容師生互動理論依據及設計意圖創設情境揭示課題1、 問題一：（1）解方程 ；（2）解方程（3）你能求方程的根嗎？學生思考方程（3）時，遇到障礙，思路受阻發現教學法強調教師創設問題情境，造成學生強烈的問題意識，激發學生學習的動機。通過三個問題引起認知沖突，尋找到本節課的知識生長點。2、史料分析，引導新法：一次、二次方程，

4、很容易求解，對于三次、四次方程，在16世紀，數學家也找到了一般的根式解法，但直到19世紀，阿貝爾、伽羅瓦等數學家才發現，其實高于四次以及含有指數對數形式的方程，沒有根式解法，因此對于方程（3）我們必須另辟蹊徑教學中融入數學史，激發學生的學習興趣數學史引導我們同化不行，則要順應3、問題二：對方程，你能說出方程的根與對應二次函數圖象的關系嗎？學生給出答案后，教師總結要點：以全新角度審視二次方程，有助于學生形成函數的意識，有利于培養學生思維的發散性與靈活性，為后面利用函數圖象探究零點存在性作了鋪墊4、問題三：一般地，一元二次方程的根與二次函數的圖象有什么關系呢？學生易得：師生結合二次函數圖象說出方程

5、根的個數和圖象與x軸交點個數的關系教師指出：函數值為0時的自變量x值起到了聯結方程與函數的作用，這個數稱之為函數的零點從特殊到一般，學生體驗得到升華互動交流研討新知1、函數零點的定義：對于函數，把使的實數x叫做函數的零點。教師敘述并板書定義讓學生加深對函數零點定義的感知2、深化概念：零點不是點，是函數值為0時自變量x的值，是函數圖象與x軸交點的橫坐標方程有實數根圖象與x軸有交點函數有零點；零點作用：可以通過函數零點間接研究方程的根教師設置問題學生主動思考，積極回答讓學生加深對函數零點概念的理解3、探究：已知函數y=f(x)的圖象：(1)函數有無零點，在什么區間？(2)你是如何確定零點所在區間的

6、？(3)能否找到判斷函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點的一般方法？（1）的解答：學生一般會說區間，教師引導觀察區間零點情況，為第（3）問做鋪墊發現教學法強調直覺思維，充分利用直覺思維提出各種有益于問題解決的可能性讓學生在思考、操作中體會用函數圖象分析函數零點存在的過程，直觀感知零點存在定理中的條件與結論，突出本節課的重點，突破了難點（2）的解答：學生發表觀點，教師引導，先以區間為例，研究的符號，教師板書結果。教師進一步引導學生就區間，(),進行類似研究，一一板書結果，為第（3）問進一步做鋪墊。（3）的解答：分析（2）的結果，學生嘗試表達結論：若則在內有零點。教師提問：結論對本題函數成立，

7、對其它函數呢？留給學生時間思考，學生可能會舉出反例，如在(，1)上無零點。然后，教師對探究題的圖象進行截斷向上平移處理，從而得到反例。讓學生發現結論有紕漏，應增加條件：函數圖象連續。4、零點存在判定定理：如果函數在a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有，那么在區間內一定有零點，即存在，也就是方程的根。教師引導學生嘗試表述定理學生對定理的兩個條件認識已經成熟，適時升華，從而進一步突破本節課的難點5、問題探究，深化理解：問題一：零點存在判定定理中結論是“有零點”，那么有幾個？問題二：若函數上的圖象是連續不斷的一條曲線，那么上存在零點，反之成立嗎？問題三：考慮函數的圖象，它們的單調性對函數零點個數

8、有影響嗎？激發學生思考、畫圖,發表個人意見。對問題一，學生隨手畫圖，很可能出現有奇數個這個觀點，教師抓好這個點，反問并讓學生進一步舉例說明問題二給出利用定理探求零點存在的局限性：即用零點存在判定定理，并不能求出所有的零點問題三說明函數性質特別是單調性，對確定零點個數有重要作用完善對定理的認識，培養學生學習主動性和創造性，通過設問質疑讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容。應用舉例發展思維例1 求函數的零點個數。教師引導學生回到引例中的方程（3），讓學生嘗試用零點知識調整問法，出示例1。（1）培養學生問題意識（2）前后呼應教師引導學生用計算器計算函數值，第一次直觀驗證教師提出問題：在你得到的區間上

9、有幾個零點，在其它區間上還有沒有零點？引導學生想到單調性和圖象，教師展示圖象，第二次直觀驗證（3）學以致用（4）為二分法求解奠定基礎鞏固訓練深化提高1、課本88頁練習題1、（1）（3）2、課本88頁練習題2、（4）練習1的（3）：要啟發學生將“=”右邊的項移至左邊，也可將“=”左右兩邊的代數式分別設為函數，畫兩個函數圖象求交點2、先讓學生大致描點，然后用計算機給出圖象。歸納梳理整體升華請回顧本節課學了哪些內容？主要數學思想又有哪些？你還有哪些收獲？學生思考回答教師總結通過小結，進一步完善學生的認知結構，從知識與技能、過程與方法、情感三個方面回扣教學目標。布置作業課堂延伸必做作業：（1）課本88頁練習2、（1）（4），課本92頁：2 （2）了解數學史：研讀課本選修3-1第七講千古謎題伽羅瓦的解答選做作業：你會用哪些方法探究方程的實根或其所在的大致區間。分必做和選做，體現了作業的選擇性，讓不同的學生學習不同的數學，進一步體現新教材、新課程的理念，給學有余力的學生進行課外提升七、教學設計的幾點說明1、板書設計方程的根與函數的零點函數的圖象函數零點的定義函數零點存在判定定理學生舉的各種圖象例子例1小結2、時間安排1創設情境，揭示課題62互動交流，研討新知203應用舉例，發展思維84鞏固訓練，深化提高55歸納梳理，整體升華 56布置作業，課堂延伸13、