1、例 如圖， ABC 的內心為 I，外心為 O,且ZBIC=115 ，求ZBOC 的度數. 解：Tl ABC 的內心，1 ZIBC= _ZABCZ2 ZIBC+ZICB=180 ZABC+ZACB=130又 O 是厶 ABC 的外心，1(2)此題可得：/ BIC=90 +_ / A;2例 已知，在 Rt ABC 中，/ C=90, AB=5, AC=4 求直角三角形內切圓的半徑的長. 分析：利用分割三角形，通過面積建立含內切圓半徑的方程求解.說明：(1)本題應用了三角形內心的性質、等腰三角形的性質及判定、圓周角定理的推1ICB=/ACB2-ZBIC=180-115=65/A=180-(ZABC+

2、ZACB)=50BOC=2ZA=100說明：(1)此題為基本題型;解：由勾股定理得:BC、AB2AC2連結OA OB0C設OO 的半徑為 r，則:BCCA)r，又ABC-AC BC21專(AB BC CA)rAC BC- rAB BC CA答：直角三角形內切圓的半徑為說明：(1)此題為基本題目；1丄AC BC,2i5 3 41.(2)三角形內切圓性質的應用，通過面積求線段的長度.例 (陜西省，2001)如圖，點 I 是厶 ABC 的內心，AI 的延長線交邊 BC 于 D，交 ABC 的外接圓于點 E.(1) 求證：IE=BE ;(2) 若 IE=4, AE=8，求 DE 的長.證明：(1)連結

3、 BI,ZBIE=ZBAI+ZABI= -(ZBAC+ZABC),2ZIBE=ZIBC+ZEBC= -ZABC+ZEAC= -(ZABC+ZBAC),2 2ZBIE=ZIBE IE=BE解：(2) I 是厶 ABC 的內心，/ BAE=ZCAE ,又TZDBE=ZCAE ,ZBAE=ZDBE，又 E 為公共角， ABE BDE , 匹,BE2AE DEBE DEIE2AE DE, DEIE2AEAo論、相似三角形等；(2)本題為教材 117 頁 12 題和 B 組第 3 題的變形與結合；(3)本題為典型例題四已知：如圖，設ABC為Rt,C 90，以AC為直徑作OO交AB與D，設E是BC的中點，

4、連結0D、證明 連結CD.AC為O0的直徑，CD AB,ADC又E是BC的中點，CE DE BE,EDC ECD.BC AC,C是半徑的外端點,BC是OO的切線，ECD A EDC A.又OD OC,ODC OCDA OCD 90,EDC ODC 90,ODE EDC ODC 90.DE OD.說明：本題證到EDCA時，也可說明DE是OO的切線，盡而說明DE OD.典型例題五例 已知：如圖，在ABC的外接圓中，D 是懇的中點，AD 交 BC 于點 E,ABC的 平分線交AD 于點 F. (1)若以每兩個相似三角形為一組，試問圖中有幾組相似三角形，并2且逐一寫出；(2)求證：FD AD ED.中

5、檔D在OO上，90,BDC 90,7A .4解過 D 作DE7C.3AB于E,94CF梯ABCD 為等腰梯形,AEDEBE21 6 15.BDri12 AB DE2AD AD12 21；21 21 17BDAB于 F.AB / DC , AB 21cm,CD 9cm.、102628.、1528217.87(cm).2解（1）有三組相似三角形：AEC與BED;BDE與ADB;AEC與ABD.(2)vD 是.中點，BADCADDBCABFCBF,DBCCBFABFBAD.即DBFDFB.DB DF.DBEDAB, DD,DBE sDAB.DB:DEDA:DB.2DB AD ED.2DB DF, D

6、F AD ED.說明：本題考查三角形內心的性質，解題關鍵是熟練運用三角形內心的性質易錯點是找不到證明DB DF的解題思路.典型例題六ABCD 中，AB / DC , AB 21cm, CD 9cm, DA 10cm.O O1與BCD的內切圓，它們的半徑分別為A, a，則一的值是（）.2例如圖，等腰梯形ABD和證明 （1）ABIDAC連結 BI.vI 是ABC的內心,IBC, BADDBC,BADDAC.DBC.ABI3ADIBCDBC.即BIDIBD. IDBD.(2 )在ABD和BDE中，BADDBE, BDAEDBBDDEABDsBDE. ADBDBD ID,ID2AD DE.ID 2,

7、ADx,DEy,4 yxBD AD2R, 2x6.自變量x 的取值范圍是2x6.說明：質，易錯點是忽視自變量的取值范圍或求錯自變量的取值范圍選擇題1、下列圖形中，一定有內切圓的四邊形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形 （D）平行四邊形2、 菱形 ABCD 中，周長為 40,/ ABC=120。，則內切圓的半徑為（）7同理，r；22( cm) .也7.選 A.r224說明：本題考查三角形內切圓半徑的求法，解 題 關 鍵 作 輔 助 線 ，求 出 三 角 形 的 邊 長 和 高線長易錯點是企圖求出r1的而使思路受阻2典型例題七例（山西省，1998）如圖，已知 I 為ABC的內心，射線 AI 交A

8、BC的外接圓于 D， 交 BC 邊于點 E. （ 1 ）求證：ID BD；（ 2 ）設ABC外接圓半徑R 3, ID 2, AD x, DE y.當點 A 在優弧心上運動時，求函數與自變量 x 間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍解又E2 L2L5L5L(A)3( B)2(C)、2(D)333223、 如圖，O O 是厶 ABC 的內切圓，D、E、F 是切點，/ A=50。，/ C=60 ，則/ DOE=()(A ) 70(B) 110 (C) 120(D) 1304、等邊三角形的內切圓半徑、外接圓的半徑和高的比為()(A) 1 :2:3( B) 1 : 2 :. 3(C) 1 :3: 2(

9、D) 1 : 2 : 35、 存在內切圓和外接圓的四邊形一定是()(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)平行四邊形參考答案：BDBDC填空題1. 等邊三角形的邊長為 4，則外接圓的半徑為 _，內切圓半徑為 _ ，內切圓半徑：高：外接圓半徑=_ .2.ABC中，內切圓與AB，BC，CA相切于F,D，E,若A 40，則EOF _，EDF _，BOC _.3.ABC的A 50，B 80，O是ABC的內心，貝 UAOB _.4. 內切圓的半徑為r的等邊三角形的面積為_5. 在ABC中，若C 90,A 30,AC 3，則內切圓的直徑為 _.6若ABC的BC邊上的高為AH,BC長為30cm，直線DE /

10、BC交AB、AC分別為D、E,以DE為直徑的半圓與BC切于F，若此半圓的面積是18ncm2，則AH _cm.7. 在ABC中，I為內心，若A 70，貝 UBIC _.8. 已知：等邊三角形的邊長為 4,則它的內切圓與外接圓組成的圓環面積是 _ .答案：1.43,23,1:2:32.140,170,1103.1154.3 3r25.3.36. 10337.1258.4.解答題1. 畫一個邊長為 3cm 的等邊三角形，在畫出它的內切圓.2. (山西省，1998)如圖，已知點 I ABC 的內心，射線 AI 交厶 ABC的外接圓于點 D，交 BC 邊于點 E.(1)求證：ID=BD ;設 ABC 外接圓半徑 R=3, ID=2 , AD=x , DE=y，當點A 在優弧 BC 上運動時，求函數 y 與自變量 X 間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍.AIED3.已知點I為ABC的內心，如果ABC ACB 100，求BIC的度數。4已知：OO的半徑為R，求它的外切等邊三角形的周長和面積。5.如圖，Rt ABC的內切圓OO切斜邊AB于點D，切BC于點F,BO的延長線交AC于點E，求證：BO BC BD BE6.如圖，在ABC中，AC