1、yiT論女第表站冢q-正交多項式及相關問題的研究【摘要】：一、給出了 Rogers-Szego 多項式系列生成函數的新證明及 其推廣首先，建立了指數算子與 Rogers-Szego 多項式之間的表示關系，從算子角度獲得生成函數及其對偶形式的新證明其次，構造了推廣的指數算子,研究了雙變量 Rogers-Szego 多項式的生成函數，并提出了一 個公開問題另外，進一步探討了 U(n+1)型 Rogers-Szego 多項式的生成 函數 及 U(n+1) 型 的 Kainins-Miller 變 換 公 式 的 推 廣 . 二 、 給 出 了 多 重Rogers-Szego 及 Hahn 多項式生成

2、函數兩項和展開的新證明首先，通過了距量與正交多項式之間的關系得到Al-Salam-Carlitz 正交多項式及相關的積分其次，得到了雙線性 Hahn 多項式的生成函數兩項和的展 開另外，進一步研究了三線性及多線性Hahn 多項式的生成函數兩項和的展開最后，給出了距量與 Euler 有限差分公式及 Carlitz 反演公式 之間的相關結果三、給出了多變量 q-Laguerre 多項式積分結果.首先, 利用了單變量 q-Laguerre 多項式的正交性，研究其多變量性質.其次，獲 得了推廣的 q-Hermite 多項式與 q-Laguerre 多項式之間的表示關系. 另外,討論了q-Hermite

3、 與 q-Laguerre 多項式的混合積分最后，研究了 多變量推廣的離散型 q-Hermite 多項式的積分正交性四、給出了多項 式的 Carlitz 型生成函數的多重推廣和Christoffel-Darboux 公式.首先,利用了指數算子分解的方法研究了多項式的Carlitz 型生成函數其次,研究了 Rogers-Szego 多項式的 Christoffel-Darboux 公式.另外，糾正了Carlitz 的結果.最后,借助了 Carlitz 的 q-算子給出了二項式定理模擬的yiT論女第表站家新證明五、給出了比值型伽馬函數的漸進改進及復合型psi 函數的凹凸性首先，利用了對數完全單調性

4、研究了伽馬函數并改進了比值型伽 馬不等式其次，借助了 Laplace 卷積公式研究了 psi 函數的性質并給出 相應不等式.【關鍵詞】：q-正交多項式 Rogers-Szeg(o|)多項式 Hahn 多項式q-Laguerre 多項式生成函數展開距量正交伽馬函數逼近psi 函數【學位授予單位】：華東師范大學【學位級別】：博士【學位授予年份】：2010【分類號】：0174.14【目錄】：摘要 6-7ABSTRACT7-9 目錄 9-12 主要符號對照表 12-13 第一章引言 13-251.1 研究背景 13-201.1.1q 級數的發展 13-171.1.2q- 正交多項式的發展 17-191

5、.1.3 論文結構 19-201.2 預備知識 20-251.2.1 基本定義及定理 20-231.2.2 正交多項式的性質 23-25 第二章 Rogers-Szego 多項式的算子表示問題 25-492.1 單變量 Rogers-Szego 多項式的 Poisson 核26-342.1.1 引理及命題 27-302.1.2 定理及其對偶 形式的證明 30-342.2 雙變量 Rogers-Szego 多項式的 Poisson 核 34-422.2.1 雙變量生成函數34-372.2.2 混合型生成函數 37-392.2.3 一 個公開問題 39-422.3U(n+1)型Rogers-Sze

6、go 多項式的生成函數C 易發表用yiT論女第表匸冢42- 492.3.1U( n+1)型雙變量 Rogers-Szego 多項式的生成函數43- 442.3.2Kalnins-Miller 變換恒等式的 U(n+1)推廣 44-49 第三章多重生成函數的兩項和展開問題49-653.1Hahn 多項式的距量表示及相關積分 51-533.1.1Hah n 多項式的距量表示及其證明51-523.1.2AI-Salam-Carlitz 多項式的相關積分 52-533.2 雙線性 Hahn 多項式的兩項和展開 53-563.2.1 弓|理 54-553.2.2 主要命題及新證明55- 563.3 三線

7、性及多線性Hahn 多項式生成函數的兩項和展開56- 603.3.1Hah n 多項式的三線性生成函數兩項和展開 56-583.3.2Hahn多項式的多線性生成函數兩項和展開58-603.4 距量正交性相關問題60-653.4.1Euler 有限差分與q-Chu-Va nderm on de 公式60-623.4.2Carlitzq-反演公式與 32變換 62-65 第四章多變量 q-Laguerre多項式的正交性問題 65-834.1 多變量 q-Laguerre 多項式的 正交性67-734.1.1 引理 68-724.1.2 主要定理及證明 72-734.2 離散的 q-Hermite

8、多項式與 q-Laguerre 多項式的表示 73-784.2.1 引理 74-754.2.2 主要定理及證明75-784.3 離散的 q-Hermite 多項式與q-Laguerre 多項式的混合積分 784.4q-Hermite 多項式的積分正交性的 推廣 78-834.4.1 命題 794.4.2 主要定理及證明 79-83 第五章多項式的 Carlitz型生成函數指數分解問題 83-975.1Rogers-Szego 多項式的線性 化公式84-865.2Carlitz 型生成函數的新證明及 Christoffel-Darboux 公 式86-905.2.1Carlitz 型生成函數的新證明 87-885.2.2Rogers-Szegc 多項 式的 Christoffel-Darboux 公式 88-905.3Carlitz 結論的糾正 90-945.3.1引理及 Hahn 多項式算子表示 90-925.3.2 主要定理及證明 92-945.4 二項式定理 q-模擬的 Carlitz 算子證明 94-97 第六章經典的 Gamma 函數及其相關不等式問題97-1096.1比值型伽馬函數的上下界99-1056.1.1 對數完全單調性及引理 99-1036.1.2 主要定理及證明 103-1056.2 復合 型 psi函數的凹凸性 105-109 附錄 A 級