1、11.2 熱傳導方程與定解條件熱傳導方程與定解條件),(zyxt熱傳導現象熱傳導現象：一、下面先從物理一、下面先從物理G G內的熱傳導問題出發來導出內的熱傳導問題出發來導出熱傳導方程。熱傳導方程。為此，我們用函數為此，我們用函數如果空間某物體如果空間某物體G G內各處的溫度內各處的溫度不同，則熱量就從溫度較高的點處向溫度較不同，則熱量就從溫度較高的點處向溫度較低的點流動。低的點流動。表示物體表示物體G G在位置在位置),(tzyxu處及時刻處及時刻的溫度。的溫度。2熱的傳播熱的傳播按傅立葉（按傅立葉（FourierFourier）實驗定律）實驗定律進行：進行：物體在無窮小時段物體在無窮小時段內

2、流過一個無窮小面積內流過一個無窮小面積dtdSdQdSnu,),(dSdtnuzyxkdQ),(zyxk),(zyxkndS的熱量的熱量與物體溫度沿曲面與物體溫度沿曲面法線方向法線方向的方向導數的方向導數成正比，而熱流方向與溫度升高的成正比，而熱流方向與溫度升高的其中其中稱為物體在點稱為物體在點處的熱傳導處的熱傳導系數，為正值系數，為正值. . 當物體為均勻且各向同性時，當物體為均勻且各向同性時，為常數，為常數，為曲面為曲面沿熱流方向的法線沿熱流方向的法線. . 方向相反，即方向相反，即3u,2tnu,211dtdSnukQtt 1t,u為了導出溫度為了導出溫度所滿足的方程所滿足的方程, ,

3、在物體在物體G G內任取內任取一閉曲面一閉曲面它所包圍的區域記作它所包圍的區域記作則從時刻則從時刻到時刻到時刻經過曲面經過曲面流入區域流入區域的熱量為的熱量為其中其中表示表示對曲面的外法向導數對曲面的外法向導數. .coscoscoszuyuxunu,),(dSdtnuzyxkdQ4),(21tt),(1tzyxu),(2tzyxu,),(),(),(),(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的熱量使區域流入的熱量使區域內部的溫度發生變化內部的溫度發生變化, ,在時間間隔在時間間隔中物理溫度從中物理溫度從變化到變化到所需要的熱量為所需要的熱量為其中其中為物體的比熱為物體的比熱,

4、 ,為物體的密度為物體的密度. .如果所考察的物體內部沒有熱源如果所考察的物體內部沒有熱源, ,由于由于熱量守恒熱量守恒, ,12QQ dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 215先對先對1Q,211dtdSnukQtt 進行變形進行變形.)coscoscos(211dtdSzuyuxukQtt 利用奧利用奧- -高高(Gauss)(Gauss)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,t1Q;)()()(dtdvzukzyukyxukxQtt 211設函數設函數關于變量關于變量具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數, ,關于變量關于變量具有一

5、階連續偏導數具有一階連續偏導數, ,可化為可化為62QdvtzyxutzyxucQ),(),(122dvdttuctt)(21,)(21 ttdtdvtuc而而可化為可化為因此由因此由dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21 21)(ttdtdvtucdtdvzukzyukyxukxtt)()()( 21移項即得移項即得（利用牛頓（利用牛頓- -萊布尼茲公式）萊布尼茲公式）7.)()()(021 dtdvzukzyukyxukxtuctt2,1tt,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于由于與區域與區域都是任意取的都是任意取的, ,并且被積函數并且

6、被積函數是連續的是連續的, ,于是得于是得).()()(zukzyukyxukxtuc上式稱為上式稱為非均勻非均勻的各向同性體的的各向同性體的熱傳導方程熱傳導方程. .如果物體是如果物體是均勻均勻的的, ,此時此時為常數為常數, , 記記則得則得齊次熱傳導齊次熱傳導方程方程8),(21tt),(tzyxF.),(213dtdvtzyxFQtt 如果所考察的物體內部有熱源如果所考察的物體內部有熱源( (例如物體中通有例如物體中通有電流電流, ,或有化學反應等情況或有化學反應等情況),), 設熱源密度設熱源密度( (單位時單位時間內單位體積所產生的熱量間內單位體積所產生的熱量) )為為則在時間間隔

7、則在時間間隔中區域中區域內所產生的熱量為內所產生的熱量為同樣由于熱量要平衡同樣由于熱量要平衡, ,dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21.),(21dtdvtzyxFtt 9dtdvzukzyukyxukxtuctt)()()( 21.),(21dtdvtzyxFtt ).,()()()(tzyxFzukzyukyxukxtuc).,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./ ),(),(ctzyxFtzyxf其中其中非齊次熱傳非齊次熱傳導方程導方程相對應的一維、二維熱傳導方程可相對應的一維、二維熱傳導方程可類似寫出。類似寫出。10二、定解條件二、定解條件

8、初始條件：初始條件： 表示初始時刻物體內溫度的分布情況表示初始時刻物體內溫度的分布情況),(| ),(0zyxtzyxut),(zyx),(1tzyxf),(| ),(1tzyxftzyxuS其中其中為已知函數。為已知函數。1 1、第一類邊界條件第一類邊界條件（狄利克雷（狄利克雷DirichletDirichlet）設所考察的物體設所考察的物體G G的邊界曲面為的邊界曲面為S S，已知物體，已知物體表面溫度函數為表面溫度函數為即即.),(Szyx112 2、第二類邊界條件第二類邊界條件（諾伊曼（諾伊曼Neumann）,|Snukq, q),(|2tzyxfnuS 特別地，如果物體表面上各點的特

9、別地，如果物體表面上各點的熱流量為熱流量為0 0, ,絕熱性邊界條絕熱性邊界條件件已知物體表面上各點的熱流已知物體表面上各點的熱流量量kqtzyxf/),(20t. 0| Snu也就是說在也就是說在單位時間內流過單位面積的熱量是已知的，單位時間內流過單位面積的熱量是已知的，其中其中由由傅里葉實驗定律傅里葉實驗定律可知可知是定義在邊界曲面是定義在邊界曲面S S，且，且上的已知函數上的已知函數. .則相應的邊界條件為則相應的邊界條件為121.3 拉普拉斯方程與定解條件拉普拉斯方程與定解條件0222222zuyuxu0u. 02 u1.1.三維拉普拉斯三維拉普拉斯(Laplace)(Laplace)

10、方程方程(1)(1)凡具有二階連續偏導數并滿足方程凡具有二階連續偏導數并滿足方程(1)(1)的連的連續函數為續函數為調和函數調和函數. .( (調和方程調和方程) )方程方程(1)(1)通常表示成通常表示成或或拉普拉斯方程描述的是穩定狀態下物理量的拉普拉斯方程描述的是穩定狀態下物理量的分布規律分布規律. .13).,(222222zyxfzuyuxu),(zyxfu).,(2zyxfu2.2.泊松方程泊松方程( (非齊次的拉普拉斯方程非齊次的拉普拉斯方程) )(2)(2)方程方程(2)(2)通常表示成通常表示成或或3. 3. 拉普拉斯方程的邊值問題拉普拉斯方程的邊值問題第一邊值問題第一邊值問題

11、( (狄氏問題狄氏問題) )14),(zyxu, f.|fu在空間某一區域在空間某一區域的邊界的邊界上給定了連續函數上給定了連續函數要求函數要求函數在閉區域在閉區域上連續且在上連續且在內內調和調和, ,在邊界在邊界上與給定的函數上與給定的函數f重合重合, ,即即第二邊值問題第二邊值問題( (諾伊曼問題諾伊曼問題) ),(zyxu, f在空間某一區域在空間某一區域的邊界的邊界上給定了連續函數上給定了連續函數要求函數要求函數在閉區域在閉區域上連續且在上連續且在內內調和調和, ,在邊界在邊界上法向導數上法向導數nu存在存在, ,且有且有,|fnu其中其中n n是外法線方向是外法線方向. .151.4

12、 基本概念與基本知識基本概念與基本知識, 0yyxxuu1.1.古典解古典解: :如果一個函數具有某偏微分方程中所如果一個函數具有某偏微分方程中所需要的各階連續偏導數需要的各階連續偏導數, ,且滿足該方程且滿足該方程. .2.2.自由項自由項: :偏微分方程中不含有未知函數及其偏微分方程中不含有未知函數及其各階偏導數的項各階偏導數的項. .例如例如: :.822xuuyx齊次偏微分方齊次偏微分方程程(自由項為自由項為0)非齊次偏微分方非齊次偏微分方程程(自由項不為自由項不為0)163.3.疊加原理疊加原理),( 22221222ifFuyuExuDyuCyxuBxuAi),(21iuiifFA

13、,考察二階線性偏微分方程考察二階線性偏微分方程yx,iiiiiiifFuyuExuDxuCyxuBxuA222222 其中其中都是某區域上都是某區域上的已知函數的已知函數. .疊加原理疊加原理設設是方程是方程(1)(1)中第中第i i個方程的解個方程的解, ,(1)(1)17iiifcFuyuExuDxuCyxuBxuA1222222 0if. 02 22222FuyuExuDxuCyxuBxuA), 2 , 1(iui1iiiucu), 2 , 1(ici如果級數如果級數(2)(2)收斂收斂, ,其中其中為任意常數為任意常數, ,并且它還能夠逐項并且它還能夠逐項微分兩次微分兩次, ,則級數則

14、級數(2)(2)是是下方程的解下方程的解特別地特別地, ,當方程當方程(1)(1)中的自由項中的自由項時時, ,則得相應的則得相應的齊次方程為齊次方程為若若是方程是方程(3)(3)的解的解, ,則級數則級數(2)(2)也是方程也是方程(3)(3)(3)(3)的解的解. .三角函數系三角函數系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0cossinnxdxmx., 0sinsinnmnmnxdxmx., 0coscosnmnmnxdxmx. 0cossinnxdxnxdx在在上正交。上正交。4.4.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數級數19補

15、充：補充：三角函數三角函數積化和差積化和差公式公式)cos()cos(21sinsin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos204.4.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數級數設周期為設周期為l 2)(xfnnba ,的函數的函數可展開成傅里葉級數可展開成傅里葉級數, ,則則, )sincos(2)(10nnnlxnblxnaaxf), 2 , 1 , 0( cos)(1ndxlxnxflalln)., 3 , 2 , 1( sin)(1ndxlxnxflblln(4)(4)其中傅里葉系數其中傅里葉系數滿足滿

16、足(5)(5)21)(xf)(xf當當為為奇函數奇函數時時當當為為偶函數偶函數時時 ,sin)(1nnlxnbxf,cos2)(10nnlxnaaxf)., 2 , 1 , 0( cos)(20ndxlxnxflaln)., 3 , 2 , 1( sin)(20ndxlxnxflbln(6)(6)(7)(7)224.4.兩個自變量的二階微分方程的分類兩個自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀yx,fcbbaaa,21221211),(00yx),(00yx,221221211fcuububuauauayxyyxyxx(8)(8)其中其中等都是自變量等都是自變量在區域在區域上的實函數，并假定他們是連續可微的。上的實函數，并假定他們是連續可微的。若在區域若在區域上每點上每點, 02211212aaa則稱方程則稱方程(8)(8)在每點在每點為為雙曲型雙曲型的；那么的；那么也也則稱方程則稱方程(8)(8)在區域內是在區域內是雙曲型雙曲型的。的。23),(00yx),(00yx若在區域若在區域上每點上每點,