1、3.22. 2二次函數與一元二次方程提高練習一、選擇題1.若二次函數y =（m-l）%2+ 2% + 1的圖象與x軸有兩個不同的交點，則m的取值 范闈是（）A. m2B. m 2C m S 2Km =# 1D. m 0: 4a -2b at2+ bt（t為實數）：點 （一?力），（一孑力），（一扌3）是該拋物線上的點，則yi y2 0;2a-b = 0;(4)c a = 3其中正確的有()個A. 1B. 2C. 3D. 4如圖， 是二次兩數y=a/+bx + c的圖彖， 若關于x的方程a/+ bx+ c k = 0有兩個不相等的實數根，則k的取值范闈 是()A. k 3C k 35.如圖，己知

2、二次函數必=的圖象與正比例函數y2= |的圖象交于點4(3,2),與x軸交于點8(2,0),若 力力， 則x的取值范用是()A. 0 % 2C. 2x3D. 0 x 0：2若b a + c,則一元二次方程+ bx + c = 0有兩個不相等的實數根：3若b = 2a + 3c,則一元二次方程a*+ c =0有兩個不相等的實數根；0 Kb2- 4ac 0,則二次函數y = ax2+ bx + c的圖彖與坐標軸的公共點的個數 是2或3.其中正確的是()A.只有B.只有C.只有D.只有7.己知拋物線y = x2-x-l,與x軸的一個交點為(m,0),則代數式- m + 2014的 值為()A. 20

3、13B. 2015C. 2014D. 2010二、計算題8.已知拋物= (% - m)2- (% - m),其中m是常數.4.(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；(2)若該拋物線的對稱軸為直線x = ?1求該拋物線的函數解析式：2把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公 共點.9.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y = mx2-8mx + 16m一l(m 0)與x軸的交 點分別為力(廠,0),鞏七,0).(1)求證：拋物線總與x軸有兩個不同的交點：(2)若AB = 2,求此拋物線的解析式.(3)己知x軸上兩點C(2,0), D(5,0),若拋

4、物線卩=m* _8mx + 16m l(m 0)與 線段CD有交點，請寫出m的取值范|乩10.已知：拋物線y = aF一21)無 +a-2(a 0).(1)求證：拋物線與x軸有兩個交點:(2)設拋物線與X軸有兩個交點的橫坐標分別為小，X2,(其中XJL X2)若y是關丁a的幣數，Uy = ax2+ %1,求這個函數的表達式；(3)在(2)的條件下，結合函數的圖象回答：若tiiy 0.不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；(2)解：.* = _甞巴=?.% m = 2拋物線解析式為y = /一5尢+ 6：設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則 平移后拋

5、物線解析式為y =X2-5X+ 6 + /C,拋物線y = / _ 5x + 6 + k與x軸只有一個公共點，&= 52 4(6 + k) = 0,即把該拋物線沿y軸向上平移十個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點.49. (1)證明：A= 64rn2 4m - (16zn 1)=4 m 拋物線總與x軸白兩個不同的交點:(2)根據題意，兀2為方程rnx2- 8mx + 16m - 1 = 0的兩根vxi-x2 =2,+ x2)2- 4%1兀2 = 4,c2A16m1 8Z- 4- - 4tm m = 1,拋物線的解析式為y = x2- 8% + 15：+ 兀2= _-8m16m

6、-l拋物線的對稱軸為直線x=-魯=4, 拋物線開II向上,當x = 2, yQ時，拋物線與線段CD有交點， 16m + 16m 1 Ot410. 0 a 0, m1工0,解得：m 0,再結合二次此項系 數不為0,進而得出答案.此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確得出的符號是解題關鍵.2.解：拋物線的對稱軸為直線x = _；=_2,2a 4a b = 0,所以)正確：與x軸的一個交點在(一3.0)和(4,0)之間，由拋物線的對稱性知，另一個交點在(一1,0)和(0,0)0間，拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，即cvo,敵正確:由知， = 1時y 0且b = 4a,即a b + c = a 4a

7、 + c = 3ci + c 0 所以正確；由函數圖彖知當尢=2時.皈數取得最人值. 4a - 2b + c二at2+ bt + c,RP4a -2b at2+ bt(t為實數)，故錯誤：拋物線的開II向 2 且對稱軸為直線兀=-2,拋物線上離對稱軸水平距離越小，說數值越人, yi yz 故錯誤；故選：B.根據拋物線的對稱軸可判斷，rti拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性可判斷， 由x= 1時y0可判斷，由x = -2時函數取得址人值町判斷，根據拋物線的開II向下且對稱軸為直線 =-2知圖象上離對稱軸水平距離越小函數值越大，可判斷. 本題考査了二次函數與系數的關系：對于二次函y = ax2+

8、bx + c（a0）,二次項系 數a決定拋物線的開口方向和大小.當a 0時，拋物線向上開11；當a Q）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即abvO）,對稱軸在y軸右.常數項c決定 拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交T（o,c） ；拋物線與x軸交點個數由決定：A=b2-4ac 0時，拋物線與x軸冇2個交點：= b? - 4ac= 0時，拋物線與x軸有1個交點；=b2 4acv 0時，拋物線與x軸沒有交點.3.解：拋物線與x軸有兩個交點，.-.A 0, b2一4ac 0,故錯誤；由于對稱軸為x = -1,x =一3與 =1關于x = 1對稱， x =一3吋，y v 0, x = 1時，y = a+

9、b+cvO,故錯誤；對稱軸為x = - ?=一1,za2a b = 0,故正確；.頂點為（一1,3）,y=a b + c = 3, y = a 2a + c = 3 即c a=3,故正確：故選：B.根據拋物線的圖彖與性質即町判斷.本題考查拋物線的圖彖9性質，解題的關鍵是熟練運用拋物線的圖象與性質，本題屬于 中等題型.4.解：拋物線開口向下, 拋物線頂點的縱坐標為3,關于X的方程a%2 + bx + c - k = 0有兩個不相等的實數根，b2 4a(c k) 0.即，4ac + 4ak 0,把代入得，12a + 4ak 0,.-3+k v0,即k 3.故選A.先根據拋物線的圖象可知a0,進而可

10、求出k的取值范闈本題考査的是拋物線與x軸的交點及一元二次方程的判別式、不等式的基本性質，熟知 以上知識是解答此題的關鍵.5.解：如圖所示：若力 0正確：若b a + c,則的人小無法判斷，故不能得出方程有兩個不等實根，錯誤；b2 4ac = 4a2+ 9c2+ 12ac 4ac = 4(a + c)2+ 5c2因為a工0,故(a + c)?與c?不會同時為0,所以b2 4ac 0正確；二次函數y = ax2+ b% + c與y軸必有一個交點，而這個交點有可能跟圖象與x軸的 交點重合，故正確.故選B.小題利用移項與變形b2- 4ac與0的人小關系解決：處理第小題時不要疏忽 二次函數y = ax2

11、+ bx + c與y軸的交點情況.考査二次函數y = ax2 + bx + c的圖象與x軸交點的個數.7.解：.拋物線y = /-x-l,與x軸的一個交點為(m,0), m2 m 1 = 0, m2 m = 1,m2-m + 2014 = 1 + 2014 = 2015,故選B.根據拋物線卩=/一-1,與x軸的一個交點為(m, 0),求出m2- m - 1 = 0.然后整 體代值計算.4ac-b24aH卩4ac 本題主要考查了拋物線與x軸的交點的知識，解答本題的關鍵是求出= 0,注意整體法求值，此題難度不犬.& (1)先把拋物線解析式化為般式，再計算的值，得到=10,于是根據= b2-

12、4ac決定拋物線與x軸的交點個數即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點：(2)根據對稱軸方程得到=-牟巴1 =學然后解出m的值即對得到拋物線解析式：根據拋物線的平移規律，設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y =*_5x + 6 + k,再利用拋物線與x軸的只有一個交點得到厶=52 4(6 +町=0,然后解關于k的方程即可.本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y = o%2 +荻+c(a,b, c是常數，a豐0)與x軸的交點坐標， 令y=0,即ax2+ b兀+c= 0,解關于x的一元二次方程即町求得交 點橫坐b2- 4

13、ac決定拋物線與x軸的交點個數：=b2_4ac0時，拋物線與x軸有2個交點：=b2 4ac =0時,拋物線與x軸有1個交點:=b2 4ac ()即町；(2)利用拋物線與x軸的交點問題，則X、為方程_ 8mx + 16m - 1 = 0的兩根， 利用根與系數的關系得到帀+勺=8,址*2=詈工，再變形|%!-%2| =2得到(3)先求出拋物線的對稱軸為直線X= 49利用函數圖彖.由于拋物線開II向上，則只要 當兀=2,y 0時，拋物線與線段CD有交點，于是得到4m- 16m + 16m - 1 0,然 后解不等式即町.本題考査了拋物線與X軸的交點：把求二次函數y = ax2+ bx + c(ab

14、c是常數.a H 0)與X軸的交點坐標問題轉化為解關于X的一尤.：次方程.也考査了根與系數的關系.10. (1)證明：=4(a I)2 4a(a一2) = 4 0,拋物線與x軸有兩個交點；(2)解：解方程得=駕空. X = 1.或兀=1 a a 0, xx x2.v2 Xj=11= 192 y = a( 1 -) + 1 = a l(a 0)：(%i +x2)2一4然后解出m(3)解：畫岀= a - 1和拋物= -3a2+ 1的圖象，如圖，解方程得到a - 1 = -3a2+ 1得a =一1或a=扌，即直線y = a 1和拋物線y = -3a2+ 1的圖象的交點坐標為(-1,-2).(一，當一ISaS扌時，a-1 0, a的取值范圍為0 v aM 扌.故答案為0 v a S扌.(1)先計算判別式的值，然后利用判別式的意義判斷拋物線與x軸有兩個交點；(2)利用求根公式解方程得小=1. x2= 1 -于是得到y = a-l(a0)：(3)利用圖象法解決問題：先畫出直y = a- 1和拋物線)，=一3以+1的圖象，如圖， 通過解方程得到a - 1 = -3a2+ 1町得到直線y = a - 1和拋物線y = -3a2+