1、1第第 2 2 節節二元一次不等式二元一次不等式( (組組) )與簡單的線性規劃問題與簡單的線性規劃問題考試要求1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；2.了解二元一次不等式的幾何意義， 能用平面區域表示二元一次不等式組； 3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決.知 識 梳 理1.二元一次不等式(組)表示的平面區域(1)一般地， 二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐標系中表示直線AxByC0 某一側的所有點組成的平面區域(半平面)不含邊界直線.不等式AxByC0 所表示的平面區域(半平面)包括邊界直線.(2)對于直線AxByC0 同一側的所有點(x，y)，使得A

2、xByC的值符號相同，也就是位于同一半平面內的點，其坐標適合同一個不等式AxByC0；而位于另一個半平面內的點，其坐標適合另一個不等式AxByC0 時， 截距zb取最大值時，z也取最大值；截距zb取最小值時，z也取最小值；當b0 時，截距zb取最大值時，z取最小2值；截距zb取最小值時，z取最大值.基 礎 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)不等式AxByC0 表示的平面區域一定在直線AxByC0 的上方.()(2)線性目標函數的最優解可能是不唯一的.()(3)線性目標函數取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上.()(4)在目標函數zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz

3、0 在y軸上的截距.()(5)不等式x2y20 表示的平面區域在直線xy10 的下方.(4)直線axbyz0 在y軸上的截距是zb.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.下列各點中，不在xy10 表示的平面區域內的是()A.(0，0)B.(1，1)C.(1，3)D.(2，3)解析把各點的坐標代入可得(1，3)不適合，故選 C.答案C3.(必修 5P86T3 改編)不等式組x3y60，xy20，則題中的不等式組表示的平面區域為以(1，0)，k2k，12k，1，1k為頂點的三角形區域(包含邊界)，易得當目標函數z3xy經過平面區域內點k2k，12k時，z3xy取得最小值zmin3k2k12k1，解

4、得k12.答案126.(2018麗水月考)已知整數x，y滿足不等式yx，xy4，x2y80，則 2xy的最大值是_；x2y2的最小值是_.解析滿足不等式組yx，xy4，x2y80的可行域如圖所示，由z2xy，得y2xz，由圖可知，當直線y2xz過A時，直線在y軸上的截距最大，由xy，x2y80可得x8，y8，即A點坐標為(8，8)，z最大值等于 28824.x2y2的最小值是可行域的B到原點距離的平方，由4xy4，yx可得B(2，2)，可得 22228.答案248考點一二元一次不等式(組)表示的平面區域【例 1】 (1)(2019杭州質檢)設不等式組y0，xy1，ymx所表示的區域面積為S(m

5、R R).若S1，則()A.m2B.2m0C.0m2D.m2(2)若不等式組x2y40，ax3y40，y0表示的平面區域是等腰三角形區域，則實數a的值為_.解析(1)如圖，當xy1 與ymx的交點為(1，2)時，陰影部分的面積為 1，此時m2，若S1，則m2，故選 A.(2)不等式組x2y40，y0表示的平面區域是如圖所示三角形區域，而直線ax3y40 過定點0，43 ，且不等式ax3y40 表示不含原點的區域，故若不等式組x2y40，ax3y40，y0表示的平面區域是等腰三角形區域，則只能為如圖所示的ABC，其中ABAC.tan OACa3，tan ABC12，且OAC2ABC，a3tanO

6、AC2tan ABC1tan2ABC43，解得a4.5圖圖答案(1)A(2)4規律方法二元一次不等式(組)表示平面區域的判斷方法：直線定界，測試點定域，注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.【訓練 1】 (1)若不等式組xy20，x2y20，xy2m0表示的平面區域為三角形，且其面積等于43，則m的值為()A.3B.1C.43D.3(2)已知aR R，若存在實數x，y滿足xya1，xy2a0，xy2a0，則實數a的取值范圍為()A.，12B.(，1C.1，)D.12，解析(1)如圖，要使不等式

7、組表示的平面區域為三角形，則2m2，則m1，由xy20，xy2m0，解得x1m，y1m，即A(1m，1m).由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，6即B2343m，2323m，所圍成的區域為ABC，則SABCSADCSBDC12(22m)(1m)12(22m)23(1m)13(1m)243，解得m3(舍去)或m1.故選 B.(2)要使得存在實數x，y滿足不等式組所表示的可行域如圖所示(含邊界)，即 1a2a，得a1，故選 C.答案(1)B(2)C考點二線性規劃相關問題多維探究角度 1求線性目標函數的最值【例 21】 設x，y滿足約束條件x3y3，xy1，y0，則zxy的最大

8、值為()A.0B.1C.2D.3解析根據約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)，則當目標函數zxy經過A(3，0)時取得最大值，故zmax303，故選 D.答案D角度 2求非線性目標函數的最值【例 22】 (1)(2019臺州質量評估)已知實數x，y滿足不等式組x0，x2y0，xy30，則(x1)2(y2)2的取值范圍是()A.1，5B. 5，5C.5，25D.5，267(2)若x，y滿足約束條件x10，xy0，xy40，則yx的最大值為_.解析(1)畫出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分(含邊界)所示.因為(x1)2(y2)2表示平面區域內的點到點P(1，2)的距離的平方，直線PO

9、：y2x與直線x2y0 垂直，由圖知，點P(1，2)到直線x2y0 的距離的平方為所求最小值，即為|12（2）|525，與點A(0，3)的距離的平方為所求最大值，即為(01)23(2)226，所以所求取值范圍為5，26，故選 D.(2)作出可行域如圖中陰影部分所示， 由斜率的意義知，yx是可行域內一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1，3)與原點連線的斜率最大，故yx的最大值為 3.答案(1)D(2)3角度 3求參數的值或范圍【例 23】 (1)已知x，y滿足條件x12y10，xy2，x2y2，若zmxy取得最大值的最優解不唯一，則實數m的值為()A.1 或2B.1 或12C.1 或2D.2

10、 或12(2)(2019衢州二中二模)已知實數x，y滿足約束條件xy0，xy20，x2ya0，若z2xy在點(0，80)處取得最小值，則z2xy的最大值是()A.3B.4C.5D.6解析(1)在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示(包含邊界)，由圖易得當目標函數zmxy與直線xy2 或x12y10 平行時，目標函數取得最大值的最優解不唯一，所以m1 或m2.(2)由目標函數z2xy在點(0，0)處取到最小值，則邊界直線x2ya0 過點(0，0)，故a0，因此約束條件所對應的平面區域為AOB內部(含邊界)，如圖所示，則目標函數z2xy移至點A(4，2)時有最大值為

11、6，故選 D.答案(1)A(2)D規律方法線性規劃兩類問題的解決方法(1)求目標函數的最值：畫出可行域后，要根據目標函數的幾何意義求解，常見的目標函數有：截距型：形如zaxby；距離型：形如z （xa）2（yb）2.斜率型：形如zybxa.(2)求參數的值或范圍：參數的位置可能在目標函數中，也可能在約束條件中.求解步驟為：注意對參數取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來；在符合題意的可行域里，尋求最優解.【訓練 2】 (1)若實數x，y滿足x2y21，則|xy1|2x3y1 的最大值是()A.5B.235C.4D.1749(2)(2019嵊州適考)已知實數x，y滿足約束條件2xy10，xy10

12、，x2y40，若ztxy的最小值為1，則實數t的取值范圍是()A.t2B.2t1C.t1D.t2 或t1解析(1)當xy1 時，z|xy1|2x3y13x4y在點35，45 處有最大值 5，當xy1 時，z|xy1|2x3y1x2y2 在點(0，1)處有最大值 4，所以|xy1|2x3y1 的最大值是 5，故選 A.(2)畫出滿足約束條件的平面區域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖易知只有平移直線txy0 經過直線 2xy10 與直線xy10 的交點C(0，1)時，目標函數ztxy的值為 1，則目標函數ztxy要取得最小值 1，直線ztxy必過點C(0，1).當t0時，則t1，即 0t1；當

13、t0 時，則t2，即2t0，xN N，yN N，則 3x4y的最小值是()A.19B.17C.16D.14解析在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區域， 如圖所示的陰影部分中橫縱坐標均為整數的點，由圖易得當目標函數z3x4y經過平面區域內的點(4，1)時，z3x4y取得最小值zmin344116，故選 C.11答案C4.x，y滿足約束條件xy20，x2y20，2xy20.若zyax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為()A.12或1B.2 或12C.2 或 1D.2 或1解析如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a0 時，要使zyax取得最大值的最優解不唯一，則

14、a2；當a0 時，要使zyax取得最大值的最優解不唯一，則a1.答案D5.(2016浙江卷)若平面區域xy30，2xy30，x2y30夾在兩條斜率為 1 的平行直線之間， 則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A.3 55B. 2C.3 22D. 5解析已知不等式組所表示的平面區域如圖所示陰影部分，由x2y30，xy30，解得A(1，2)，12由xy30，2xy30，解得B(2，1).由題意可知，當斜率為 1 的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即|AB| （12）2（21）2 2.答案B6.(2019麗水測試)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組2xy20，x2y10，3xy8

15、0所表示的平面區域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A.2B.1C.13D.12解析在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組所表示的平面區域，其是以(1，0)，(3，1)，(2，2)為頂點的三角形及其內部，由圖易得平面區域內的點(3，1)與原點連線的斜率最小，斜率的最小值為103013，故選 C.答案C7.已知x，y滿足約束條件x1，y1，4xy9，xy3，若目標函數zymx(m0)的最大值為 1，則m的值是()A.209B.1C.2D.5解析作出可行域，如圖所示的陰影部分.化目標函數zymx(m0)為ymxz，由圖可知，當直線ymxz過A點時，直線在y軸的截距最大，由x1，xy3，解得x1，

16、y2，即A(1，2)，2m1，解得m1.故選 B.13答案B8.若函數y2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件xy30，x2y30，xm，則實數m的最大值為()A.12B.1C.32D.2解析在同一直角坐標系中作出函數y2x的圖象及xy30，x2y30，xm.所表示的平面區域，如圖陰影部分所示.由圖可知，當m1 時，函數y2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為 1.答案B二、填空題9.(2018北京卷)若x，y滿足x1y2x，則 2yx的最小值是_.解析法一x1y2x表示的平面區域如圖中陰影部分所示，令z2yx，易知z2yx在點A(1，2)處取得最小值，最小值為 3.14法二

17、由題意知xy1，2xy0，則 2yx3(xy)(2xy)3，所以 2yx的最小值為3.答案310.已知O是坐標原點，點M的坐標為(2，1)，若點N(x，y)為平面區域xy2，x12，yx上的一個動點，則OMON的最大值是_.解析依題意，得不等式組對應的平面區域如圖中陰影部分所示，其中A12，12 ，B12，32 ，C(1，1).設zOMON2xy，當目標函數z2xy過點C(1，1)時，z2xy取得最大值 3.答案311.已知實數x，y滿足不等式組x2y40，3x4y80，2xy80，則|xy|的最大值為_.解析在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區域為以(4，0)，(8，8)，(0，

18、2)為頂點的三角形區域(包含邊界)，設zxy，則由圖易得當zxy經過平面區域內的點(4，0)時，zxy取得最大值zmax404，當zxy經過平面區域內的點(0，2)時，zxy取得最小值zmin022，所以|xy|的取值范圍為0，4，最大值為 4.答案41512.已知實數x，y滿足2xy0，xy0，0 xa，設bx2y，若b的最小值為2，則b的最大值為_.解析作出不等式組滿足的可行域如圖陰影部分所示.作出直線l0：x2y0，yx2b2，當l0平移至A點處時b有最小值，bmina，又bmin2，a2，當l0平移至B(a，2a)時，b有最大值bmaxa2(2a)5a10.答案1013.(2019金麗

19、衢十二校聯考)設x，y滿足約束條件xy2，xy2，y2，則目標函數z12xy的最大值是_，目標函數z2x2y2的最小值是_.解析在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區域，其是以(2，0)，(0，2)，(4， 2)為頂點的三角形區域(包含邊界)， 易得當目標函數z12xy經過平面區域內的點(4，2)時，取得最大值 2426.z2x2y2表示平面區域內的點到原點的距離的平方，易得原點到直線xy2 的距離的平方為所求最小值，即z2x2y2的最小值為|2|121222.答案6214.若x，y滿足約束條件xy20，xy40，y1，則|xy|xy|的取值范圍為_.解析根據約束條件畫出可行域如圖中

20、ABC區域(含邊界)，A(1，3)，B(1，1)，C(3，1)，且ABC區域在直線lOB：xy0 的右側，所以|xy|xy|xy|xy|2y（xy） ，2x（xy）.取BC的中點為M，AC的中點為N，由圖可知直線lMN：xy0 將可行域分割為兩部分，其中M(1， 1)，N(2， 2)， 當xy時，對應區域為MNC區域(含邊界)， 22y4，當xy時，對應區域為四邊形ABMN區域(不含邊界MN)，22x4，所以|xy|xy|16的取值范圍是2，4.答案2，4能力提升題組15.若實數x，y滿足不等式組x2y20，x2y20，2xy10，則 2|x1|y的最大值是()A.143B.193C.4D.1

21、解析設z2|x1|y2xy2，x1，2xy2，x1，在平面直角坐標系中畫出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，是以A(2，0)，B(0，1)，C43，53 為頂點的三角形區域(含邊界)，z2xy2(x1)在點A(2，0)處取得最大值 2；z2xy2(x1)在點C43，53 處取得最大值193，故z2|x1|y的最大值是193.答案B16.(2019杭州高級中學測試)已知實數x，y滿足xy0，x2y60，x3y0，則xy的最大值是()A.92B.10825C.4D.7225解析畫出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分(含邊界)所示，設直線x2y6017與曲線yzx相切于第一象限， 切點為(x0，y0).由yzx， 得yzx2， 所以y0zx0，zx2012，x02y060，解得x03，y032，z92，所以xy的最大值為92，故選 A.答案A17.(2019鎮海中學模擬)已知不等式組x2y10，x2，xy10表示的平面區域為D， 若函數y|x1|m的圖象上存在區域D上的點，則實數m的取值范圍是()A.2，1B.2，12C.0，12D.1，32解析不等式組表示的平面區域為如圖所示的ABC及其內部，而函數y|x