1、二、二、 函數的間斷點函數的間斷點 一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義 第八節機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數的連續性與間斷點 第一章 可見 , 函數)(xf在點0 x一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 continue)()(lim, ),(000 x

2、PxPxxx若)(xf在某區間上每一點都連續 , 則稱它在該區間上連續 , 或稱它為該區間上的連續函數連續函數 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上連續 .( 有理整函數 )又如又如, 有理分式函數)()()(xQxPxR在其定義域內連續.在閉區間,ba上的連續函數的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對自變量的增量,0 xxx有函數的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(00

3、0 xfxfxf左連續右連續,0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數0 x)(xf在點連續有下列等價命題:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例. 證明函數xysin在),(內連續 .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內連續 .同樣可證: 函數xycos在),(內連續 .0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在在二、二、 函數的間斷點函數的間斷點(1) 函數)(xf0 x(2) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數)(xf0 x)(lim

4、0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續 :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數 f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點

5、無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xytan) 1 (2x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim

6、000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續右連續)(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續的等價形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 討論函數231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型.2. 設0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03. P64 題 2 , P65 題 5)(xf為連續函數.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 答案答案: x = 1 是

7、第一類可去間斷點 ,P65 題題5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理點x,1無理點x,1)()3(xf有理點x,x無理點x,x 作業作業 P64 3 ; 4 xyo11xyo第九節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 確定函數間斷點的類型.xxexf111)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則 第九節二、初等函數的連續性二、初等

8、函數的連續性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 連續函數的運算與初等函數的連續性 第一章 定理定理2. 連續單調遞增 函數的反函數xx cot,tan在其定義域內連續一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點連續的函數 .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續單調遞增，其反函數xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續單調遞增.遞增(遞減)也連續單調機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. 連

9、續函數的復合函數是連續的.xey 在),(上連續 單調 遞增,其反函數xyln在),0(上也連續單調遞增.證證: 設函數)(xu,0連續在點 x.)(00ux,)(0連續在點函數uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數)(xf.0連續在點 x又如又如, 且即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,xy1sin是由連續函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續 .復合而成 ,xyoxy1sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 . 設)()(xgxf與均在,ba上連續,

10、證明函數)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續.證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據連續函數運算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續 .)(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如例如,21xy的連續區間為1, 1(端點為單側連續)xysinln的連續區間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續點而機動 目錄

11、 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當, ea 時, 有0 x)1ln(x1xexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xux

12、vxxe)()(lim0 xuxvxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x21,41,)(xxxxx例例5. 設,1,21,)(2xxxxxf解解:討論復合函數)(xf的連續性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數時xfx在點 x = 1 不連續 , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結基本初等函數在定義區間內在定義區間內連續連續函數的四則運算四則運算的結果連續連續函數的反函數反函數連續連續函數的

13、復合函數復合函數連續初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習,)(0連續在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續? 反例, 1,1)(xf x 為有理數 x 為無理數)(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續 .反之是否成立? 作業作業P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5提示提示:“反之” 不成立 .第十節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十節一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致連續性三、一致連續性 機

14、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 閉區間上連續函數的性質 第一章 注意注意: 若函數在開區間上連續,結論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區間上連續的函數即: 設, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區間內有間斷 在該區間上一定有最大(證明略)點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,)(bax

15、f在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 證明略 )在閉區間上連續的函數在該區間上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數Cxfx)

16、()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區間上的連續函數 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內必有方程的根 ;),(4

17、321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則則0)()()(212xfxff上連續 , 且恒為正 ,例例2. 設)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, )

18、,(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當)()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三三. 一致連續性一致連續性已知函數)(xf在區間 I 上連續, 即:,0Ix ,0,0,0時當 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關與x,0無關時與若x就引出了一致連續的概念 .定義定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續上一致連續 .顯然:上一致連續在區間 I)(xf上連續在區間 I)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,

19、21時當 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續 .因為, ) 10(0取點, )N(,11211nxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續 .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續.(證明略)思考思考: P73 題 6提示提示:設)(, )(bfaf存在, 作輔助函數)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結則設, ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值

20、;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它思考與練習思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標系如圖.xoy則面積函數,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(S則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aC

21、x 易證0)()0(a2. 設作業作業P73 題 2 ; 3; 4一點習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,4,0)(上連續在閉區間xf備用題備用題 13xex至少有一個不超過 4 的 證證：證明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根據零點定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內至少存在一點在開區間顯然正根 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 連續與間斷連續與間斷 一、一、 函數函數 三、三、 極限極限 習題課習題課機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數與極限函數與極限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函數函數1. 函數的概念定

22、義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設,RD函數為特殊的映射:其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 函數的特性有界性 , 單調性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數)(:DfDf設函數為單射, 反函數為其逆映射DDff)(:14. 復合函數給定函數鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復合函數為 )(:DgfDgf5. 初等函數有限個常數及基本初等函數經有限次四則運算與復復合而成的一個表達式的函數.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設函數,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,

23、1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數表示與變量字母的無關的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設其中).(xf求令即即令即畫線三式聯立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 下列各組函數是否相同 ? 為什

24、么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 下列各種關系式表示的 y 是否為 x 的函數? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cos x24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1

25、,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 下列函數是否為初等函數 ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函數都是初等函數 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 設,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

26、 f5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 連續與間斷連續與間斷1. 函數連續的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數間斷點第一類間斷點第二類間斷

27、點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點定理 ; 介值定理 .3. 閉區間上連續函數的性質例例3. 設函數)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續 , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以be

28、xaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 設函數試確定常數 a 及 b .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 設 f (x) 定義在區間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習閱讀與練習且對任意實數證明 f (x) 對一切 x 都連續 .P64 題2(2), 4; P73 題5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證:P73 題題5

29、. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內連續,)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內有界.)(xfXXA1Myox機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 極限存在

30、準則及極限運算法則3. 無窮小無窮小的性質 ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;ln ax1)1 (x;x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5. 求極限的基本方法 例例6. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令