1、2016-2017學年湖南省百所重點中學高三（上）12月段考數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）設集合A=x|x290，B=x|2xN，則AB的元素的個數為（）A3B4C5D62（5分）下列各圖中，表示以x為自變量的奇函數的圖象是（）ABCD3（5分）設向量是互相垂直的兩個單位向量，且，則實數m的值為（）ABCD4（5分）已知Sn為數列an的前n項和，若a2=3且Sn+1=2Sn，則a4等于（）A6B12C16D245（5分）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列選項判斷錯誤的是（）A|MN|=BCD6

2、（5分）函數的零點不可能在下列哪個區間上（）A（1，4）B（3，7）C（8，13）D（11，18）7（5分）設區間q，p的長度為pq，其中pq現已知兩個區間4lnm，ln2m與lnm，4lnm10的長度相等，則ex+1+mex的最小值為（）A2e3B或2e3CD或2e28（5分）若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為Nn（bmodm），例如102（bmod4）下面程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的中國剩余定理執行該程序框圖，則輸出的i等于（）A4B8C16D329（5分）已知A、B、C、D四點共線，且向量，則等于（）ABC7D710（5分）若變量x，y滿足約束條件且a（6，3），則z=僅

3、在點A（1，）處取得最大值的概率為（）ABCD11（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD12（5分）設函數，若不論x2取何值，f（x1）g（x2）對任意總是恒成立，則a的取值范圍為（）ABCD二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）某高校調查了400名大學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5，25）25，27.5），27.5，30根據此直方圖，這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的人數是14（5分）若a是集合1，

4、2，3，4，5，6，7中任意選取的一個元素，則圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含的概率為15（5分）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作數書九章卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步，欲知為田幾何”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設1里按500米計算，則該沙田的面積為平萬千米16（5分）已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G為ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為三、解答題（本大題共6小題，共7

5、0分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（10分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求b；（2）已知ABC內切圓的半徑，其中S為ABC的面積，l為ABC的周長，求ABC內切圓的面積18（12分）已知某企業的近3年的前7個月的月利潤（單位：百萬元）如下面的折線圖所示：（1）試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤較高？（2）通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發展趨勢；（3）試以第3年的前4個月的數據（如下表），用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤月份x1234利潤y（單位：百萬元）4466相關公式：=，=x19（12分）已知函數f（x）定義在R上，且周

6、期為3，當1x3時，f（x）=x2+4（1）求f（5）+f（7）的值；（2）若關于x的方程f（x）=mx2（mR）在區間4，6有實根，求實數m的范圍20（12分）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E為線段AB上一點，且AE：EB=7：2，點F、G分別為線段PA、PD的中點（1）求證：PE平面ABCD；（2）若平面EFG將四棱錐PABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比21（12分）已知正項數列an的前n項和為Sn，且2Sn=（an1）（an+2）（1）求證：不論取何值，數列an+an+1總是等差數列，并求此數列的公差；（2）設

7、數列的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小22（12分）已知圓C經過點A（0，2），B（2，0），圓C的圓心在圓x2+y2=2的內部，且直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為2，點P為圓C上異于A、B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N（1）求圓C的方程；（2）求證：|AN|BM|為定值；（3）當取得最大值時，求|MN|2016-2017學年湖南省百所重點中學高三（上）12月段考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）（2017煙臺一模）設集合A=x|x290，

8、B=x|2xN，則AB的元素的個數為（）A3B4C5D6【分析】先分別求出集體合A和B，由此能求出AB的元素的個數【解答】解：集合A=x|x290=x|3x3，B=x|2xN，所以集合B中x可取0，0.5，1，1.5，2，2.5AB=0，0.5，1，1.5，2，2.5，AB的元素的個數為6個故選：D【點評】本題考查交集中元素個數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集性質的合理運用2（5分）（2016秋連山區校級月考）下列各圖中，表示以x為自變量的奇函數的圖象是（）ABCD【分析】根據函數的圖象特征，函數的奇偶性，得出結論【解答】解：作平行于y軸的直線，圖象中y的取值是唯一的，故排除A，D

9、，由于奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱故排除C，故選：B【點評】本題主要考查函數的圖象，函數的奇偶性，屬于基礎題3（5分）（2016秋湖南月考）設向量是互相垂直的兩個單位向量，且，則實數m的值為（）ABCD【分析】根據向量為單位向量且互相垂直，得到|=|=1，=0，再把所給的式子兩邊平方，即可求出m的值【解答】解：向量是互相垂直的兩個單位向量，|=|=1，=0，|+3|2=m2|2，1+9=m2（1+1），m=，故選：C【點評】本題考查了單位向量和向量的垂直以及向量的模的計算，屬于基礎題4（5分）（2017春東莞市月考）已知Sn為數列an的前n項和，若a2=3且Sn+1=2S

10、n，則a4等于（）A6B12C16D24【分析】Sn+1=2Sn，n2時，an+1=Sn+1Sn=2Sn2Sn1=2an，再利用等比數列的通項公式即可得出【解答】解：Sn+1=2Sn，n2時，an+1=Sn+1Sn=2Sn2Sn1=2an，數列an從第二項起為等比數列，公比為2=3×4=12故選：B【點評】本題考查了等比數列的通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5（5分）（2017春長安區校級月考）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列選項判斷錯誤的是（）A|MN|=BCD【分析】根據函數的部分圖象知=1，寫出f（x）的解析式，再對選項中的命題進行分析、判斷正誤【

11、解答】解：根據函數的部分圖象知，=1，f（x）=sin（x+）+1；|MN|=T=，A正確；f（）=sin（+）+1=2，B正確；f（x）+f（x）=sin（x+）+1+sin（x）+1=sinxcos+cosxsinsinxcoscosxsin+2=（sinxcosx）+21，C錯誤；x=是f（x）=sin（x+）圖象的一條對稱軸，f（x）=f（+x），D正確故選：C【點評】本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題6（5分）（2016秋湖南月考）函數的零點不可能在下列哪個區間上（）A（1，4）B（3，7）C（8，13）D（11，18）【分析】由條件可得當0x10時，f（x）=3&#

12、215;2x24為增函數，當10x20時，f（x）=1262x5遞減，分別計算f（1），f（4），f（3），f（7），f（8），f（13），f（11），f（18），判斷符號，由函數零點存在定理即可判斷零點的存在性【解答】解：函數，當0x10時，f（x）=3×2x24為增函數，f（1）=3×224=180，f（4）=3×1624=240，由函數零點存在定理可得，f（x）在（1，4）內存在零點；由f（3）=3×824=0，f（7）=3×2724=3640，再由f（x）在（0，10）遞增，則f（x）在（3，7）內不存在零點；當10x20時，f（x）=

13、1262x5遞減，由f（8）=3×28240，f（13）=126280，則f（x）在（8，13）可能存在零點；由f（11）=126260，f（18）=1262130，且f（x）在（11，18）為減函數，則f（x）在（11，18）存在零點綜上可得，f（x）在（3，7）不可能存在零點故選：B【點評】本題考查函數的零點存在問題的解法，注意運用零點存在定理和函數的單調性，考查運算能力和判斷能力，屬于基礎題7（5分）（2016秋湖南月考）設區間q，p的長度為pq，其中pq現已知兩個區間4lnm，ln2m與lnm，4lnm10的長度相等，則ex+1+mex的最小值為（）A2e3B或2e3CD或2

14、e2【分析】兩個區間4lnm，ln2m與lnm，4lnm10的長度相等，可得ln2m4lnm=4lnm10lnm，解得m=e5則ex+1+mex=ex+1+e5x=f（x）利用導數研究其單調性即可得出【解答】解：兩個區間4lnm，ln2m與lnm，4lnm10的長度相等，ln2m4lnm=4lnm10lnm，ln2m7lnm+10=0，解得lnm=2或lnm=5其中lnm=2舍去m=e5則ex+1+mex=ex+1+e5x=f（x）f（x）=ex+1e5x，令f（x）=0，解得x=2可知：當x=2時，則ex+1+e5ex=2e3故選：A【點評】本題考查了對數的運算法則、指數冪的運算性質、利用導

15、數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題8（5分）（2017文昌模擬）若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為Nn（bmodm），例如102（bmod4）下面程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的中國剩余定理執行該程序框圖，則輸出的i等于（）A4B8C16D32【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：模擬程序的運行，可得n=11，i=1i=2，n=13不滿足條件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，滿足條件“n=2（mod 3）“，不滿足條件“n=1（m

16、od 5）“，i=8，n=25，不滿足條件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，滿足條件“n=2（mod 3）“，滿足條件“n=1（mod 5）”，退出循環，輸出i的值為16故選：C【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環的次數不多，或有規律時，常采用模擬循環的方法解答，屬于基礎題9（5分）（2016秋湖南月考）已知A、B、C、D四點共線，且向量，則等于（）ABC7D7【分析】利用向量共線定理可得tan，再利用倍角公式與和差公式即可得出【解答】解：A、B、C、D四點共線，且向量，3tan2+2tan=0，化為：=0，tan0，解得tan=2，tan2=則=7故選：D【點評】本題考查了

17、向量共線定理、倍角公式與和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10（5分）（2017春東莞市月考）若變量x，y滿足約束條件且a（6，3），則z=僅在點A（1，）處取得最大值的概率為（）ABCD【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用斜率的幾何意義以及數形結合是解決本題的關鍵【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：z=的幾何意義是區域內的動點P（x，y）到定點D（a，0）的斜率，由圖象知當2a1時，DA的斜率最大，此時滿足條件故則z=僅在點A（1，）處取得最大值的概率=，故選：A【點評】本題主要考查線性規劃的應用，結合直線斜率的幾何意義是解決本題的關鍵11（5分）（2017虎林市校級

18、模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，代入棱錐和棱柱的體積公式，可得答案【解答】解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個以俯視圖左下角的三角形為底面的三棱錐和一個以俯視圖右上角的三角形為底面的三棱柱相加的組合體，棱錐和棱柱的底面面積均為：S=，高均為h=3，故組合體的體積V=Sh+Sh=4，故選：A【點評】本題考查的知識點棱錐的體積和表面積，棱柱的體積和表面積，空間幾何體的三視圖12（5分）（2017虎林市校級模擬）設函數，若不論x2

19、取何值，f（x1）g（x2）對任意總是恒成立，則a的取值范圍為（）ABCD【分析】利用三角恒等變換化簡得g（x）=2sin（x+）2，依題意可得f（x1）ming（x2）max=2，即當x時，0ax2+2x1恒成立，通過分類討論，即可求得a的取值范圍【解答】解：函數，=2sin（x+）2，即g（x）max=2，因為不論x2取何值，f（x1）g（x2）對任意總是恒成立，所以f（x1）ming（x2）max，即對任意，2恒成立，即當x時，0ax2+2x1恒成立，1°由ax2+2x1得：ax22x，即a=（）2，令h（x）=（）2，因為，所以，當=時，h（x）min=，故a；2°

20、由0ax2+2x1得：a，令t（x）=（1）21，因為，所以，當x=即=時，t（）=（1）21=；當x=，即=時，t（）=（1）21=，顯然，即t（x）max=，故a；綜合1°2°知，a，故選：D【點評】本題考查函數恒成立問題，求得g（x）max=2是關鍵，考查等價轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想的綜合運用，考查推理運算能力，屬于難題二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）（2016秋堯都區校級月考）某高校調查了400名大學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30，樣本數據分組為17.

21、5，20），20，22.5），22.5，25）25，27.5），27.5，30根據此直方圖，這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的人數是120【分析】由頻率分布直方圖求出這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的頻率，由此能求出這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的人數【解答】解：由頻率分布直方圖得這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的頻率為：（0.08+0.04）×2.5=0.3，這400名大學生中每周的自習時間不少于25小時的人數為：400×0.3=120，故答案為：120【點評】本題考查頻數的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻

22、率分布直方圖的性質的合理運用14（5分）（2016秋湖南月考）若a是集合1，2，3，4，5，6，7中任意選取的一個元素，則圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含的概率為【分析】基本事件總數n=7，由圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含，得a3，由此能求出圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含的概率【解答】解：a是集合1，2，3，4，5，6，7中任意選取的一個元素，基本事件總數n=7，圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含，a3，包含的基本事件個數m=4，圓C：x2+（y2）2=1與圓O：x2+y2=a2內含的概率為p=故答案為：

23、【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用15（5分）（2017廣西模擬）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作數書九章卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步，欲知為田幾何”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設1里按500米計算，則該沙田的面積為21平萬千米【分析】由題意畫出圖象，并求出AB、BC、AC的長，由余弦定理求出cosB，由平方關系求出sinB的值，代入三角形的面積公式求出該沙田的面積【解答】解：由題意畫出圖象：且AB=13里=6500米，B

24、C=14里=7000米，AC=15里=7500米，在ABC中，由余弦定理得，cosB=，所以sinB=，則該沙田的面積：即ABC的面積S=21000000（平方米）=21（平方千米），故答案為：21【點評】本題考查了余弦定理，以及三角形面積公式的實際應用，注意單位的轉換，屬于中檔題16（5分）（2017虎林市校級模擬）已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD底面ABC，G為ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為【分析】求出ABC外接圓的直徑，利用勾股定理求出球O的半徑，即可求出球O的表面積【解答】解：由題意，AG=2，AD=1

25、，cosBAC=，sinBAC=，ABC外接圓的直徑為2r=，設球O的半徑為R，R=球O的表面積為，故答案為【點評】本題考查球O的表面積，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（10分）（2016秋湖南月考）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求b；（2）已知ABC內切圓的半徑，其中S為ABC的面積，l為ABC的周長，求ABC內切圓的面積【分析】（1）由，正弦定理可知：；（2）利用余弦定理可知：cosA=，即可求得c的值，則ABC的周長為4+5+6=15，則，求得ABC內切圓的半徑，即可求

26、得ABC內切圓的面積【解答】解：（1）由正弦定理可知：，則，由sinB=，b=5（4分）（2）由余弦定理可知：cosA=，則2c215c+18=（2c3）（c6）=0，由c4，c=6，ABC的周長為4+5+6=15，又，（8分），（9分）故ABC內切圓的面積為（10分）【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題18（12分）（2017興慶區校級一模）已知某企業的近3年的前7個月的月利潤（單位：百萬元）如下面的折線圖所示：（1）試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤較高？（2）通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發展趨勢；（3）試以第3年的前4個月的

27、數據（如下表），用線性回歸的擬合模式估測第3年8月份的利潤月份x1234利潤y（單位：百萬元）4466相關公式：=，=x【分析】（1）結合圖象讀出結論即可；（2）根據圖象累加判斷結論即可；（3）分別求出對應的系數，的值，代入回歸方程即可【解答】解：（1）由折線圖可知5月和6月的平均利潤最高（2分）（2）第1年前7個月的總利潤為1+2+3+5+6+7+4=28（百萬元），（3分）第2年前7個月的總利潤為2+5+5+4+5+5+5=31（百萬元），（4分）第3年前7個月的總利潤為4+4+6+6+7+6+8=41百萬元），（5分）所以這3年的前7個月的總利潤呈上升趨勢（7分）（3），1×4

28、+2×4+3×6+4×6=54，（9分），（10分），（11分）當x=8時，（百萬元），估計8月份的利潤為940萬元（12分）【點評】本題考查了回歸方程問題，考查折線圖以及計算能力，是一道中檔題19（12分）（2016秋湖南月考）已知函數f（x）定義在R上，且周期為3，當1x3時，f（x）=x2+4（1）求f（5）+f（7）的值；（2）若關于x的方程f（x）=mx2（mR）在區間4，6有實根，求實數m的范圍【分析】（1）由函數f（x）的周期為3知f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；（2）x4，6時，f（x）=f（x3）=（x3）2+4；從

29、而化簡方程f（x）=mx2為（x3）2+4=mx2，從而得到m=13（）2+，從而解得【解答】解：（1）函數f（x）的周期為3，f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；（2）x4，6時，f（x）=f（x3）=（x3）2+4；故方程f（x）=mx2可化為（x3）2+4=mx2，故m=13（）2+，4x6，13（）2+，即m【點評】本題考查了函數的性質的應用及獨立系數法求取值范圍，屬于基礎題20（12分）（2016秋邯鄲期末）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E為線段AB上一點，且AE：EB=7：2，點F、G分別

30、為線段PA、PD的中點（1）求證：PE平面ABCD；（2）若平面EFG將四棱錐PABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比【分析】（1）證明PEAB，利用平面PAB平面ABCD，即可證明：PE平面ABCD；（2）若平面EFG將四棱錐PABCD分成左右兩部分，利用分割法求體積，即可求這兩部分的體積之比【解答】（1）證明：在等腰APB中，則由余弦定理可得，（2分）PE2+BE2=4=PB2，PEAB，（3分）平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PE平面ABCD（4分）（2）解：設平面EFG與棱CD交于點N，連接EN，因為GFAD，所以GF平面ABCD，從而可得ENCD（6分）延

31、長FG至點M，使GM=GF，連接DM，MN，則AFEDMN為直三棱柱，（7分）F到AE的距離為，又，（12分）【點評】本題考查線面垂直的證明，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題21（12分）（2016秋湖南月考）已知正項數列an的前n項和為Sn，且2Sn=（an1）（an+2）（1）求證：不論取何值，數列an+an+1總是等差數列，并求此數列的公差；（2）設數列的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小【分析】（1）運用數列的遞推式：當n=1時，a1=S1，當n2時，an=SnSn1可得an=n+1，再由等差數列的定義即可得證，且得公差；（2）求得，運用裂項相消求和可得Tn，再由作差法，討論n的范圍，即可得到大小關系【解答】（1）證明：當n=1時，2a1=2S1=（a11）（a1+2），a10，a1=2n=2時，2S2=（a21）（a2+2）=2（2+a2），解得a