1、幾何畫板應用案例探微內容摘要：本文通過對幾何畫板在數學課堂教學中的應用案例的分析,展現在用幾何畫板進行輔助教學的特有的優勢.充分體現數學源于實踐,源于生活;充分體現“以學生發展為本”;具體實現“數學是數學活動的教學”;深入理解“數學的實質內涵”等等.文中還提出了開展計算機輔助教學的有待研究的問題.關健詞：以學生發展為本 數學的實質內涵 數學實驗 課件制作筆者認為,計算機輔助教學,只有一線教師廣泛地應用到自己的課堂教學中去,才真正地有意義.一個好的教學案例肯定勝過“在搖擺的椅子上杜撰出來的事實”.下面通過對幾何畫板在數學課堂教學中應用的案例來觀察課堂,反思教學實踐.案例1 運動的活塞 這是我校劉

2、志學老師的案例,是解斜三角形應用舉例一節課的第二個例題,例題是這樣的: 例2.如圖1-1是曲柄連桿機構的示意圖,當曲柄CB繞C點旋轉時,通過連桿AB的傳遞,活塞作直線往復運動.當曲柄在CB0位置時,曲柄和連桿成一條直線,連桿的端點A在A0處.設連桿AB長為340mm,曲柄CB長為85mm,曲柄自CB0按順時針方向旋轉80°,求活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離A0A)(精確到1mm). 劉志學老師是一位有豐富教學經驗的教師.自從他講授新教材以來,他一直考慮如何改進自己的教學,以適應新教材的要求,更好地促進學生的發展. 利用正弦定理和余弦定理解斜三角形這部分內容原來在初中學習,實

3、行九年制義務教育以后上調到了高中學習.由于這部分內容多為實際問題,數值計算比較復雜,課堂教學和考試中又不使用計算器,在以往的教學中往往得不到應有的重視. 劉志學老師為這節課準備了三道例題,例一是自動卸貨車的液壓機構問題, 例二是活塞問題, 例三是測量底部不能到達的電視塔的高度的問題.他先用掃描儀將與例題有關的背景圖片掃了下來,對于例題2,為了讓學生理解活塞的工作原理,根據教學設計,筆者又用幾何畫板做了一個能夠演示活塞運動的課件.上課時采用了錄像來記錄、分析課堂教學情況.上課所在的班學生的成績普遍較好,學生在課堂上表現出了很高的參與的熱情,學生在回答教師提問時用不著教師點名,都是學生主動地站起來

4、回答.第 1 頁 講解例題2時,劉志學老師先向學生介紹了活塞在發動機中的工作背景,然后用幾何畫板課件演示了活塞的運動,這時學生們表現的非常興奮.演示完之后,一個叫李超的女同學站起來分析了問題,將實際問題轉化成了解三角形這樣的純數學問題,然后全班同學又各自解三角形.一會兒,坐在教室后面角落里的一名男同學宣布他找到了問題的算法,只是最后的計算比較復雜,沒有算出具體結果.這時劉志學老師打開幾何畫板,用里面的計算器,計算出了最后的結果.下面是例題的計算過程,圖1-2是課件的 演示情況.解: 在DABC中,由正弦定理可得sinA= EQ F(BCsinC,AB) = EQ F(BCsinC,AB) =

5、EQ F(85´sin80°,340) = 0.2462 因為 BC<AB, 所以A為銳角, 得A=14°15¢. B = 180°-(A+C) =180°-( 14°15¢ + 80°) = 85°45¢.由正弦定理, 可得 AC = EQ F(ABsinB,sinC) = EQ F(340´sin85°45¢,0.9848) = 344.3mm. 因此, A0A = A0C - AC = ( AB + BC) - AC = (340+85)-34

6、4.3 = 80.7 » 81(mm).答: 活塞移動的距離約為81mm.建議討論的問題 1.數學問題:在解決實際問題時,為什么“翻譯(轉化)”在數學理解和解決問題方面是重要的?怎樣解釋活塞的運動是一個簡諧振動? 2.評價學生的思維:學生在解決實際問題時常見的思維障礙是什么?;計算機的演示會對學生理解問題有哪些幫助? 3.教學法問題:計算器的使用對那些“思路自然但運算很繁”的問題的解決無疑是有幫助的,你贊成課堂中使用計算器嗎?計算機演示對教師和學生之間的交流有什么幫助? 4.背景問題:從課堂教學中學生發言時不舉手是否說明學生精神的放松,建立寬松的課堂文化對學生的學習會有多大的作用?

7、5.課件的評價:數學源于實踐,源于生活.通過電腦的演示,學生對這類問題的態度會由原來的冷漠轉變為親切嗎?請給課件打分.案例2 多姿多彩的圖象變換第 2 頁 這是我校鄭玉亮老師的案例.鄭玉亮老師畢業以后教了幾年初中數學,有教初中畢業班的經驗,目前有5年在高中任教的經歷,兩次教高中畢業班. 函數 y =Asin(w x+j)的圖象一節內容已經上了一課時,第二課時主要的問題是用五點法畫函數 y = 3sin(2 x+ EQ F(p,3) )的圖象,并由此總結出由函數 y =sinx的圖象到函數y = Asin(w x+j)的圖象的變化規律,這樣就必然涉及到大量的圖象,在以往的教學中對這個問題的處理總

8、是不能達到很好的效果,于是采用計算機輔助教學就成為必然的選擇.鄭玉亮老師在網上找到了幾個有關的課件,發現都是嚴格按照課本上給出的方式進行演示,而這樣并不一定符合學生的思維習慣,鄭玉亮老師就課件制作的問題與筆者進行了探討. 我們認為,計算機輔助教學必須充分體現“以學生發展為本”.以學生為主體,讓學生積極參與,自行探索,獲得親身體驗,對數學的概念和內涵有更為深入的理解,從而達到可持續發展的要求. 仍然采用錄像對課堂教學進行分析,對將函數 y =sinx的圖象經過怎樣的變換得到函數 y =Asin(w x+j)的圖象,課堂上學生經過,提出了只需三個步驟,共六種變換方式,以函數 y =sinx的圖象變

9、換到函數 y =Asin(w x+j)的圖象的步驟為例,分別是: 第 3 頁以上變換分別如圖2-1圖2-6表示.第 4 頁 對學生在學習過程中出現的錯誤情況,鄭玉亮老師先是讓學生充分地說出自己的理由,并讓學生找證據為自己的結論進行辯護,然后用幾何畫板演示如果按照學生的思路去進行變換,將會得到怎樣的結果.通過電腦的演示,讓學生在錯誤的結果與正確的結果之間進行比較,轉變了學生的思維.如圖2-7所示.建議討論的問題 1.數學問題:點(x , y)在函數 y =sinx的圖象上,則點( EQ F(1,2) (x- EQ F(p,3) ), 3 y)在函數y =f (x)的圖象上,寫出函數y =f (x

10、)的解析式. 2.評價學生的思維:學生在猜想、討論時思維的廣闊性是否得到了培養,電腦演示對學生的思維活動起了怎樣的促進作用? 3.教學法問題: 函數 y =Asin(w x+j)的圖象的教學中,與過去一支粉筆一塊黑板相比,現在的計算機輔助教學除了增大教學容量外,還體現了“以學生發展為本”.學生出錯的思維機制怎樣轉變. 4.背景問題:鄭玉亮老師在課堂上并沒有完全按照課本上的順序進行教學,而是按照學生討論的情況進行教學,這體現了鄭玉亮老師怎能樣的教學思想?5.課件的評價:借助計算機技術,在課堂教學中,很容易地得到豐富的函數圖象.這樣,學生就很容易通過自己的參與 、探索與歸納,深刻理解A、w、j 這

11、三個系數對函第 5 頁數y =Asin(w x+j)的圖象的影響,大大地增加了教學容量,活躍了課堂氣氛,提高了教學效率,為進一步研究其他函數圖象的性質,打下了堅實的基礎,學生的主體地位得到了較好的體現. “以學生發展為本”是我們進行課件設計時的重要指導思想.給本課件打分.案例3 命題人的思路(1999年高考題) 設復數z3cos i·2sin , y=-arg z (0<< EQ F(p,2) ),求函數的最大值以及對應的值.解：由0 EQ F(p,2) 得tan 0.由z=3cos+i·2sin,得0argz EQ F(p,2) 及tan(argz)= EQ

12、F(2sin,3cos) = EQ F(2,3) tan.故tany=tan(-argz)= EQ F(tan- EQ F(2,3) tan, 1+ EQ F(2,3) tan2) = EQ F(1, EQ F(3, tan) +2tan) EQ F(3, tan) + 2tan2 EQ R(,6) EQ F(1, EQ F(3, tan) +2tan) EQ F( EQ R(,6) ,12) 當且僅當 EQ F(3, tan) = 2tan(0<< EQ F(p,2) 時，即tan = EQ F( EQ R(,6) ,2) 時，上式取等號.當=arctan EQ F( EQ R(

13、,6) ,2) 時，函數tg y取最大值 EQ F( EQ R(,6) ,12) .由y= - arg z得y Î( EQ F(p,2) ， EQ F(p,2) ).由于在( EQ F(p,2) ， EQ F(p,2) )內因正切函數是遞增函數，函數y也取最大值arctan EQ F( EQ R(,6) ,12) . 這是筆者的教學案例.此題由于符合高考命題組所宣稱的在“知識的交匯點”處設計試題而名聲大燥,是考能力的好題.從解答的過程來看,本題主要考查復數的基本概念、三角公式和不等式等基礎知識,考查綜合運用所學數學知識解決問題的能力. 看似簡單的題目,解答起來卻機關重重,一些學生在老

14、師講解之后仍一臉茫然.利用幾何畫板,可以很好地理解這個問題的內涵實質.考慮橢圓 EQ F(x2,9) + EQ F(y2,4) =1的參數方程: 如圖3-1所示,易知第 6 頁q = Ð xOA, arg z = Ð xOM.所以 y = -arg z = Ð xOA- Ð xOM. 當 q =0和 EQ F(p,2) 時, Ð xOA = Ð xOM,當0< q < EQ F(p,2) 時, Ð xOA > Ð xOM. 當 q Î 0, EQ F(p,2) 時, y = -arg z

15、 = Ð xOA- Ð xOM的值經歷了先增大后減小的過程. 于是當 q Î 0, EQ F(p,2) 時, y = -arg z = Ð xOA- Ð xOM一定有最大值.圖3-1正是用幾何畫板演示當 y取得最大值時刻的情形. 當用幾何板演示以后,很多學生恍然大悟.噢!原來命題人是這樣想的.建議討論的問題 1.數學問題:找出幾個有幾何背景代數問題并解答,比如1986年高考題中求最大角的問題. 2.評價學生的思維:通過電腦演示,可揭示代數問題的幾何背景,這樣能幫助學生的思維在反思中得到升華嗎? 3.教學法問題:傳統的教學方法面對類似的問題時是怎

16、樣處理的? 4.背景問題:許多數學概念和數學思想都是在“運動”的情景中表現出來的,借助幾何畫板,在探索數學概念、論證數學事實以及解決數學問題的過程中,學生可以運用動態方法,通過動與靜的不同方式、宏觀與微觀的不同視角,尤其是在數學事實與其他學科、現實背景的緊密聯系中,樹立更為全面的、正確的數學觀. 聯系數學史對上面的問題進行討論. 5.課件的評價:通過電腦的演示,使學生更深入地理解了問題的內涵實質,并反作用于學生的思維,形成新的思維結構.案例4 給我一個證據 這是筆者的教學案例.在一份由鄧其勝命題、潘立東審校的2002年高考數學第二輪復習模擬試卷(五)中有一道選擇題:圓柱的高是2,底面半徑是1,

17、被平面截成形狀相同的兩個幾何體,如圖所示,將實體部分的側面展開,則側面展開圖是( ). 此題的正確答案是B.電腦閱卷表明此題的各個選項都有不少的支持者,問選對答案的學生是怎樣作出來的,齊聲回答:猜的. 這個問題的確不容易解答.事實上,我們知道圓柱截面的形狀是橢圓,這個橢圓在第 7 頁側面展開圖中是什么形狀就是我們要解決的問題.筆者先在家里用刀切了一棵大蔥,剝開一層皮鋪開,發現截面的形狀是選項B的樣子.上課時又在學校的食堂里要了一根粗細均勻的黃瓜,用紙裹上.用刀斜著切開,再把紙展開,發現展開圖是選項B的樣子.這樣通過用實物做實驗的方法,讓學生明白了正確答案應該是選項B.但卻不能使學生心服口服,學

18、生們自有理由,總不能讓我在考場上用大蔥和黃瓜做實驗吧.由于還有不少其它問題,這個小題就只能帶著遺憾過去了.不過我答應學生課下給他們一個充分的證據,并用幾何畫板給學生演示出來.同時提示學生重新觀察圖象,圖象的高等于圓柱的高,圖象如果是三角函數圖象,則它的一個周期正好等于圓柱底面周長. 如圖4-3,圖4-4所示,設圓柱的底面半徑為r,截面與底面所成的角為q .設P 為截面上任意一點, M在底面圓周上, PM 垂直于底面.在底面圓周上,設O1A 為始邊,O1M 為終邊,M從A開始逆時針旋轉所成的ÐAO1M 所對的弧的弧長為x,得到MP的長度為MP = rtanq (sin( EQ F(x,r) - EQ F(p,2) ) + 1). 以x為橫坐標, rtanq (s