1、考綱要求探關12.2參數方程考綱解讀了解參數方程及善數的意義.掌握,在跋，陽及捕回的卷數方程.井能利用代級的參數方程解決問題.本同福則從近7爾嘉號情況來看，本講是舟號中的一個必考點-加測州內年將全身查：套敵方程有普通力程J°的片化及后戰與國卷載方程的應川，S基礎知識知識梳理1 .曲線的參數方程一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數t的函數f，,并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點Mx,y）都在這條iy=g（t）曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x,y的變數t叫做參變數，簡稱參數.2 .常見曲線的參數方程和普通方程點的軌

2、跡普通方程參數方程直線y-yo=tana(x-xo)為參數x=xo+tcosa,(ty=y0+tsina)圓x2+y2=r2-參數）x=rcos0,(0為y=rsin0橢圓22xy02+b2=1(a>b>0)!參數）x=acos(),(4為y=bsin()提醒：直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時，t才有幾何意義且幾何意義為：|t|是直線上任一點Mx,y）到M（x0,y0）的距離.診斷自測1.概念思辨x=2+tcos30°,（1）直線f（t為參數）的傾斜角“為30°.（）y=1+tsin150X= X0+ t COS a ,(2)過M(X0,y0)，傾斜

3、角為a的直線l的參數方程為(t為參數).參y= yo+1 sin a數t的幾何意義表示：直線數量.()X = 2cos 0 ,(3)方程t|y = 1 + 2sin 0(4)已知橢圓的參數方程l上以定點M0為起點，任一點Mx, y)為終點的有向線段 MM勺表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()X= 2cost .”1 4 . t (t為參數)，點M&橢圓上，又應參數 t =點O為原點，則直線OM勺斜率為3.()答案(1)， (2) V (3) V (4)32.教材衍化x=2t-1,(1)(選彳A4- 4P39T1)直線弋iy=t + 1(t為參數)被圓x2+y2=9截得的弦長等

4、于()A短b.健d.皿5555答案B解析直線的普通方程為x-2y+3=0.圓的圓心為(0,0),半徑r=3.圓心到直線的距離弦長為2業?d2='5卮.故選B.x=4+V2cos0,(2)(選彳A44%例2)已知點(x,y)滿足曲線方程(0為參數),y=6+t2sin0則丫的最小值是()xA.當B.3C.也D.1答案Dx=4+-J2COS0,解析曲線方程二(0為參數)化為普通方程得(x-4)2+(y-6)2,y=6+V2sin0=2,.曲線是以C(4,6)為圓心，以42為半徑的圓，.y是原點和圓上的點的連線的斜率,如圖，當原點和圓上的點的連線是切線OA時，y取最小值，設過原點的切線方程為

5、y=xkx,則圓心C(4,6)至ij切線y=kx的距離：|4k-6|廠2d=Lj亍=山，即7k-24k+17=0,鄧+1N,17解得k=1或k=y,.y的最小值是1.故選D.x3.小題熱身(1)(20142安徽高考)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極x=t+1,坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數方程是i(t為參ly=t-3數)，圓C的極坐標方程是P=4cos0,則直線l被圓C截得的弦長為()A./B.2/14C.mD.2吸答案Dx=t+1,解析由消去t,得xy4=0,ly=t-3由p=4cos0?p2=4pcos0,C:x2+y2=4x,即(x2)2+

6、y2=4,C(2,0),r=2.點C到直線l的距離d=|2-玄4|=啦，所求弦長=2獷二1=2啦.故選D.(2)(20152湖北高考)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐標方程為p(sin0-3cos0)=0,曲線C的參數方程為1x=t一1，(t為參數)，l與C相交于A,B兩點，則|AB=1iy=t+r答案 2 5解析直線l的直角坐標方程為y-3x=0,曲線C的普通方程為y2-x2= 4.y=3x, y2_x2=4,得x2=2,即x= ±則|AB=其1+kAB|xaxb|=、1+3232=2-*J5.E經典題型1中關題型1參數方程與普通方

7、程的互化典例(20142全國卷I)已知曲線C:x+y=1,直線I：/2+''(t為參數).49y=22t(1)寫出曲線C的參數方程，直線I的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與I夾角為30°的直線，交I于點A求|PA的最大值與最小值.【方法點撥】(1)用公式法，代入消參法；(2)過P作PHLI,垂足為H,當|PH最長時，|PA取最大值.x=2cos0,解(1)曲線C的參數方程為i(0為參數).|y=3sin0直線I的普通方程為2x+y6=0.(2)曲線C上任意一點R2cos0,3sin。)到I的距離為d=號14cos0+3sin0-6|,255|5Sin(

8、6;+")6|，為銳角，且tana=4.3當sin(0+a)=-1時，|PA取得最大值，最大值為一5當sin(。+a)=1時，|PA取得最小值，最小值為羋.5方法技巧將參數方程化為普通方程的方法1 .將參數方程化為普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取適當的消參方法.常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數的參數方程，常利用同角三角函數關系式消參，如sin20+cos20=1等.2 .把參數方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數，并且要注意參數的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形.沖關針對訓練x=2cos0,已知直線l的方程

9、為y=x+4,圓C的參數方程為|y=2+2sin0(0為參數)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.(1)求直線l與圓C的交點的極坐標；(2)若P為圓C上的動點，求點P到直線l的距離d的最大值.解(1)由題知直線l:y=x+4,圓C：x2+(y2)2=4,y=x+4,聯乂x2+(y_2j=4,x=-2,解得1y=2x=0,或1ly=4,其對應的極坐標分別為仲,?!；,，9(2)解法一：設P(2cos0,2+2sin0),12cos02sin0+2|(兀；廠則d：1gL=2cos1°+7.42,當cos1時，d取得最大值2+卷解法二：圓心Q0,2）到直線l的距離為|2=娘，圓

10、的半徑為2,所以點P到直線l的距離d的最大值為2+#.題型2參數方程的應用x=3cos0,典例（20172全國卷I）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為y=sin0x=a+4t,（0為參數），直線l的參數方程為（t為參數）.y=1t若a=1,求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l距離的最大值為g,求a.【方法點撥】（1）方程組法；（2）代入點到直線的距離公式，采用分類討論思想求解.解（1）曲線C的普通方程為X-+y2=1.9當a=1時，直線l的普通方程為x+4y3=0.rx+4y-3=0由ix22l9+y=1解得“x=3x =24y=252125,從而C與l的交點坐標為（3,0）（2）直

11、線l的普通方程為x+4ya4=0,故C上的點（3cos0,sin。）到l的距離為d|3cos0+4sin0a4|當a>4時，d的最大值為a+ 917.a + 91由題設得小彳=木7,所以a= 8；當a< 4時，d的最大值為a+ 1,17由題設得a+ 1,17所以a=-16.綜上，a=8或a=16.方法技巧直線的參數方程在交點問題中的應用1 .若M,M是直線l上的兩個點，對應的參數分別為ti,t2,則|M0M|M0M2|=11it2|,|MM|=|t2-ti|=M(t2+ti24t1t2.2 .若線段MM的中點為M,點M,M,M3對應的參數分別為ti,t2,ts,則t3=12

12、7;l3 .若直線l上的線段MM的中點為M(xo,y。)，則ti+t2=0,tit2<0.提醒：對于形如fxo+at'(t為參數)，當a2+b2wi時，應先化為標準形式后才|y=yo+bt能利用t的幾何意義解題.沖關針對訓練(20i72湘西模擬)以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系iiX=二十tCOSa,取相等的長度單位.已知直線I的參數方程為S2(t為參數，0<“<兀)，y=tsina曲線C的極坐標方程為p2sin20=2cos0.(i)求曲線C的直角坐標方程；(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點，當“變化時，求|AB的最小值.解(i)由p

13、2sin20=2cos0,得(psin0)2=2pcos0,即y2=2x.曲線C的直角坐標方程為y2=2x.(2)將直線l的參數方程代入y2=2x,得tsina2tCOSai=0.設A,B兩點對應的參數分別為ti,t2,則ti+t2=2COsJL,tit2=-J,sinasina.|AB=|ti-12|=1(ti+t2j4tit22/2cosa42sin2aJsin2asin2a?TT一一當a=-時，|AB的取小值為2.S真題模擬回關xacost,1.(20162全國卷I)在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為(ty=1+asint為參數，a>0).在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸

14、的極坐標系中，曲線C2：p=4cos0.(1)說明C是哪一種曲線，并將C的方程化為極坐標方程；(2)直線G的極坐標方程為0=a0,其中a0滿足tana0=2,若曲線C與G的公共點都在G上，求a.解(1)消去參數t得到G的普通方程x2+(y-1)2=a2,故C是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將*=pcos0,y=psin0代入C的普通方程中，得到C1的極坐標方程為p22psin0+1-a2=0.(2)曲線C,G的公共點的極坐標滿足方程組p2Psin0+1a=0,<p=4cos0.若PW0,由方程組得16cos20-8sin0cos0+1-a2=0,由已知tan。=2,可得16cos20

15、8sin0cos0=0,從而1a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時，極點也為G,C2的公共點，在G上，所以a=1.x=2cos(),2.(20172河南洛陽一模)在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(。y=2+2sin()為參數)，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓C的普通方程；(2)直線l的極坐標方程是2Psin+-|=5，3,射線OM0=6與圓C的交點為QP,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.x=2cos(),解(1)因為圓c的參數方程為i(。為參數)，所以圓心c的坐標為|y=2+2sin()(0,2),半徑為2,圓C的普通方程為x2+(y2)2=4.

16、(2)將x=pcos。，y=psin0代入x2+(y2)2=4,得圓C的極坐標方程為p=4sin0.p1=4sin01,、一一.一兀設P(p1,。1),則由19兀斛得p1=2,01=.設Q(P2,02),則由2 p 2sin兀02=市解得 P 2 = 5, 0 2= 6-.所以|PQ = 3.H課后作業有關基礎送分提速狂刷練x=址cos j , y= sin ()1.（20172山西太原一模）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為（其中。為參數），曲線G:x2+y2-2y=0,以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l:0=a(P>0)與曲線G,G分別交于點A,B(均異于原

17、點O).(1)求曲線G,G的極坐標方程；(2)當0<“<十時，求|OA2+|OB2的取值范圍.x222222解(1)G的普通萬程為萬+y=1,Ci的極坐標萬程為pcos。+2psin0-2=0,G的極坐標方程為p=2sin0.22(2)聯乂0=a(p>0)與C的極坐標方程得|OA=1+sin2-，聯立O=a(p>0)與Q的極坐標方程得|OB?=4sin2a,222222則10A+|OB=1+sin2a+4sina=1+sin2a+4(1+sin")4，令t=1+sin2a,一一2_22兀.2則|OA+|OB=-+4t-4,當0<a<2時，t

18、3;(1,2),設f(t)=-+4t-4,易得f(t)在（1,2）上單調遞增，.|OA2+|OB2C（2,5）.2. （20172遼寧模擬）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐x=2+tcosa,標系取相等的長度單位.已知直線l的參數方程為（t為參數，0<“<兀）,|y=1+tsina曲線C的極坐標方程為psin2。=4cos0.（1）求曲線C的直角坐標方程;(2)設點P的直角坐標為P(2,1),直線l與曲線28，一,求tana的值.3C相交于A B兩點，并且|PA2| PB解（1）將方程psin2。=4cos0兩邊同乘以p,得p2sin20=4pcos0,2由

19、x=pcos0,y=psin0,得y=4x.經檢驗，極點的直角坐標（0,0）也滿足此式.所以曲線C的直角坐標方程為y2=4x.X=2+tcosa,2（2）將，代入y=4x,y=1+1sina得sin2a212+（2sina4cosa）t7=0,所以 111t2| =一 72-sin 民= 28,所以 sin 2a =3, a34-3或,即 tan a =3或 tan a因為F（2,1）在直線l上，=-13.3. （20172湖南長郡中學六模）已知曲線G：又=4+cost,x=8cos0,（t為參數），Q：1|y=3+sint|y=3sin0(1)化G,G的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么

20、曲線;-TT-.(2)若G上的點P對應的參數為1=萬，Q為。上的動點，求PQ的中點M到直線G:x=3+2t,(t為參數)距離的最小值.N=2十t解(1)G:(x+4)2+(y-3)2=1,G:64+y9=1,649G表不圓心是(一4,3),半徑是1的圓，G表木中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.一兀一,一(2)當t=萬時，R4,4),又Q8cos0,3sin0),故M1-2+4cos0,2+3sin0:;2又G3的普通方程為x-2y-7=0,則M到G的距離,55d="5-|4cos03sin013|=J5-|3sin04cos0+13|=$5sin(。一。

21、)+13|了中。滿足tan。=4j所以d的最小值為855.4. (20172宣城二模)已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標方程是P =asin 0 ,直線l的參數方程是3x=-”2,y=*(1)若a=2,直線l與x軸的交點是MN是圓C上一動點，求|MN的最大值;(2)直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的小倍,求a的值.解(1)當a=2時，圓C的直角坐標方程為x2+y2=2y,即x2+(y1)2=1. 圓C的圓心坐標為C(0,1),半徑r=1.令y=4t=。得t=0,把t=0代入x=3t+2得x=2.,.M(2,0).55 .|MC=22+12=5. .|MN的

22、最大值為|MC+r=J5+1.(2)由p=asin0得p2=apsin。，圓C的直角坐標方程是x2+y2=ay,即x2+22a=4. 圓C的圓心為C0,a；半徑為a,7212直線l的普通方程為4x+3y8=0. 直線l被圓C截得的弦長等于圓C的半徑的43倍， 圓心C到直線l的距離為圓C半徑的一半.3a82一85.(20172錦州二模)已知曲線C的極坐標方程是p=4cos0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是x=1+tCOSa,.(t是參數).y=tsina(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點，且|AB=Vu,求直線的傾斜角a的值.解(1)pcos0=x,p