1、命題與證明復(fù)命題與證明復(fù)習(xí)習(xí)本章主要內(nèi)容有本章主要內(nèi)容有定義、命題、證明、反例和反證法定義、命題、證明、反例和反證法 1 1、能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的、能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的 的句子叫做定義的句子叫做定義2 2、對某一件事作出、對某一件事作出 的句子叫做命題；的句子叫做命題； 叫做真命題，叫做真命題， 叫做假命題叫做假命題要說明一個命題是假命題，常用的方法是舉出一個要說明一個命題是假命題，常用的方法是舉出一個 . .要說明一個命題是真命題，常用要說明一個命題是真命題，常用 方法方法意義意義正確或不正確判斷正確或不正確判斷正確的命題正確的命題不正確的命題不正確的命題反例反例推理推理3、

2、數(shù)學(xué)中通常挑選一部分人類經(jīng)過長期實踐后、數(shù)學(xué)中通常挑選一部分人類經(jīng)過長期實踐后公認為正確的命題公認為正確的命題,作為判斷其他命題的作為判斷其他命題的_,這些公認為正確的命題叫做這些公認為正確的命題叫做_.用用_的方法判斷為正確的方法判斷為正確,并且可以作為并且可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)的判斷其他命題真假的依據(jù)的_叫做定叫做定理理.公理公理依據(jù)依據(jù)推理推理命題命題4 4、要判定一個命題是真命題，往往需要從命題、要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，依據(jù)已知的定義、定理、公理，的條件出發(fā)，依據(jù)已知的定義、定理、公理，一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做一步一步推得結(jié)論成立，這樣

3、的推理過程叫做_._.證明證明下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ）：）：（A）命題一定是正確的）命題一定是正確的（B）不正確的判斷就不是命題）不正確的判斷就不是命題（C）公理都是真命題）公理都是真命題（D）真命題都是定理）真命題都是定理C5 5、反證法的概念、反證法的概念; ;在證明一個命題時在證明一個命題時, ,人們有時人們有時_, ,從這樣的假設(shè)出發(fā)從這樣的假設(shè)出發(fā), ,經(jīng)過推理得出和經(jīng)過推理得出和_矛盾矛盾, ,或者與或者與_等矛盾等矛盾, ,從而得出從而得出_, ,即所求證的命題正確即所求證的命題正確. .這種證明方法叫做這種證明方法叫做反證法反證法. .先假設(shè)命題不成立先假設(shè)命題

4、不成立已知條件已知條件定義定義, ,公理公理, ,定理定理假設(shè)不成立假設(shè)不成立用反證法證明用反證法證明“在直角三角形中，至少有一個銳角在直角三角形中，至少有一個銳角不大于不大于45450 0”時，應(yīng)先假設(shè)（時，應(yīng)先假設(shè)（ ）A A、至少有一個銳角小于、至少有一個銳角小于45450 0 B B、至少有一個銳角等于、至少有一個銳角等于45450 0C C、每個銳角都大于、每個銳角都大于45450 0D D、每個銳角都小于、每個銳角都小于45450 0C反證法的一般步驟反證法的一般步驟: :從假設(shè)出發(fā)從假設(shè)出發(fā)假設(shè)命題不成立假設(shè)命題不成立引出矛盾引出矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立求證的命題正確求證的命題正

5、確得出結(jié)論得出結(jié)論w證明文字幾何命題的一般步驟證明文字幾何命題的一般步驟: :w(1)(1)理解題意理解題意: :分清命題的條件分清命題的條件( (已知已知),),結(jié)論結(jié)論( (求證求證););w(2)(2)根據(jù)題意根據(jù)題意, ,畫出圖形畫出圖形; ;w(3)(3)結(jié)合圖形結(jié)合圖形, ,用用符號語言符號語言寫出寫出“已知已知”和和“求證求證”; ;w(4)(4)分析題意分析題意, ,探索證明思路探索證明思路; ;w(5)(5)依據(jù)思路依據(jù)思路, ,運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程理清晰地寫出證明過程; ;例例1 1、下列語句中哪些是命題？、下列語句中哪些是命

6、題？（1 1）每單位面積所受到的壓力叫做壓強；）每單位面積所受到的壓力叫做壓強； （2 2）如果）如果a a是實數(shù)，那么是實數(shù)，那么a a2 2+1+10 0； （3 3）兩個無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)；）兩個無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)； （4 4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 （5 5）連接）連接ABAB； （6 6）不相等的兩個角不可能是對頂角）不相等的兩個角不可能是對頂角（7 7）作兩條相交直線）作兩條相交直線（8 8）生活在水里的動物是魚。）生活在水里的動物是魚。（9 9）相等嗎？和（2 2）如果）如果a a是實數(shù)，那么是實數(shù)，那么a a2

7、 2+1+10 0； （3 3）兩個無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)；）兩個無理數(shù)的乘積一定是無理數(shù)； （6 6）不相等的兩個角不可能是對頂角）不相等的兩個角不可能是對頂角這些命題中哪些是真命題？哪些是假命題？并這些命題中哪些是真命題？哪些是假命題？并說明理由說明理由（8）生活在水里的動物是魚。）生活在水里的動物是魚。（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（1）每單位面積所受到的壓力叫做壓強；）每單位面積所受到的壓力叫做壓強；對于命題對于命題“不相等的兩個角不可能是對頂角不相等的兩個角不可能是對頂角”條件：條件：結(jié)論：結(jié)論：改寫成改寫成“如果如果，那么，那

8、么”的形式：的形式：兩個角不相等兩個角不相等這兩個角不可能是對頂角這兩個角不可能是對頂角如果兩個角不相等，那么這兩個角不可能是對頂角如果兩個角不相等，那么這兩個角不可能是對頂角對于命題對于命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”條件：條件：結(jié)論：結(jié)論：改寫成改寫成“如果如果，那么，那么”的形式：的形式：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線它的長度等于斜邊的一半它的長度等于斜邊的一半如果是直角三角形斜邊上的中線，那么它的長如果是直角三角形斜邊上的中線，那么它的長度等于斜邊的一半。度等于斜邊的一半。例1、證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。等腰三角形

9、兩底角的平分線相等。已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，BD，CE是是ABC的角平分線。的角平分線。求證：求證：BD=CE.PFECBA例例2：如圖在如圖在ABCABC中中AB=AC,BAC=90AB=AC,BAC=900 0, ,直角直角EPFEPF的頂點的頂點P P是是BCBC的中點的中點, ,兩邊兩邊PEPE、PFPF分別交分別交ABAB、ACAC于點于點E E、F F。 求證：求證：AE=CFAE=CF是否還有其它結(jié)論是否還有其它結(jié)論。 證明：證明：在三角形中至少有一個角大于或等于600.ACB已知：已知：ABCABC求證：求證：ABCABC中至少有一個角大于或等于中

10、至少有一個角大于或等于6060證明：證明：假設(shè)假設(shè)ABCABC的三個角都小于的三個角都小于6060，那么三角之和必小于那么三角之和必小于180180，這與，這與“三角三角形三個內(nèi)角和等于形三個內(nèi)角和等于180180” 相矛盾。因此，相矛盾。因此，ABCABC中至少有一個角大于或等于中至少有一個角大于或等于6060. .例例3 3 已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=BC.AEAC=BC.AE是是BCBC邊上的中線，過邊上的中線，過C C作作CFAECFAE于于F F，過過B B作作BDBCBDBC，交，交CFCF的延長線于點的延長線于點D.D.A A

11、B BC CD DE EF F求證：求證：AE=CDAE=CD證明：證明： ACB=90，CFAE EAC+ACF=90，DCB+ACF=90EAC=DCBBDBC DBC =90=ACB又又AC=BC AE=CD 說明：在三角形中，有多個垂直關(guān)說明：在三角形中，有多個垂直關(guān)系時，常利用系時，常利用“同角（或等角）的同角（或等角）的余角相等余角相等”來證明兩個角相等，從來證明兩個角相等，從而證明三角形全等而證明三角形全等. .例例4 4 已知：如圖，已知已知：如圖，已知ADAD是是ABD ABD 和和ACDACD的公共邊的公共邊求證：求證：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+CABCD例

12、例4、 如圖，已知如圖，已知AD是是ABD 和和ACD的公共邊的公共邊.求證：求證： BDC=BAC+B+CABCD1234證法一：證法一：在在ABD中中, 1180B3 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理） 在在ADC中中, 2180C4 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理） 又又BDC36012（周角定義）（周角定義） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代換）（等量代換）例例4 如圖，已知如圖，已知AD是是ABD 和和ACD的公共邊的公共邊.求證：求證： BDC=BAC+B+C證法二：證法二

13、：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代換）等式性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理中，在中，在連接ABCD12ABCD1234例例4、 如圖，已知如圖，已知AD是是ABD 和和ACD的公共邊的公共邊.求證：求證： BDC=BAC+B+C證法三：證法三： 延長延長AD 1=3+B，2=4+C1+2=3+B+4+C 即即BDC=BAC+B+C用用反證法反證法證明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。證明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。abc132已知：如圖，已知：如圖，ab，a，b都被都被c所截。所截。求證：求證： 1+2=1800證明：假設(shè)證明：假設(shè)1+21800如圖所示，下面四個結(jié)論中，請以其中兩個為已知條件，第三個為由前面兩個條件得出的正確結(jié)論，并寫出證明過程。AE=AD；AB=AC；OB=OC；B=C。OABCDE探索：探索：（1）如圖）如圖(甲甲)，在五角星圖形中，求，在五角星圖形中，求 A