1、18-6 8-6 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢能電勢能一一 靜電場力所作的功靜電場力所作的功靜電場第三講靜電場第三講二二 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理三三 電勢能電勢能8-7 8-7 電勢電勢一一 電勢電勢二二 點電荷電場的電勢點電荷電場的電勢三三 電勢的疊加原理電勢的疊加原理四四 電勢的計算電勢的計算28-6 8-6 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢能電勢能一一 靜電場力所作的功靜電場力所作的功1 1 點電荷電場中移動試驗電荷點電荷電場中移動試驗電荷q q0 0點電荷點電荷q q的電場強度為：的電場強度為：2014rqEer 正點電荷正點電荷q q固定于原點固定于原點o

2、o，試驗電荷試驗電荷q q0 0在在q q的電場中，由的電場中，由A A點沿任意路徑點沿任意路徑ACBACB到達到達B B點。點。0qEABCoqr3020002001411()44BABArlrrrABqqWWrrqqrqqrrrdddcosrellr ddd0qldEABCrBoqrArrdr 則在則在q q0 0從從A A移至移至B B點的過程點的過程中，電場力作的總功為：中，電場力作的總功為：002014rqqWq Elelrdddq q0 0移過元位移移過元位移 時，電場力作的元功為：時，電場力作的元功為：ld4可見：可見：W W與與q q0 0在的始末位置有關，與路徑無關。在的始末

3、位置有關，與路徑無關。2 2 任意帶電體的電場任意帶電體的電場( (視為點電荷的組合視為點電荷的組合) )0011()4ABqqWrr000()iillliiWqElqElqEldddiiEE由電場強度疊加原理知：由電場強度疊加原理知： 因為上式中每一項都與路徑無關，所以它因為上式中每一項都與路徑無關，所以它們的代數(shù)和也必然與路徑無關。們的代數(shù)和也必然與路徑無關。53 3 結論：結論： 一試驗電荷一試驗電荷q q0 0在靜電場中從一點沿任意路徑在靜電場中從一點沿任意路徑運動到另一點時，靜電場力對它所作的功，僅與運動到另一點時，靜電場力對它所作的功，僅與試驗電荷試驗電荷q q0 0及路徑的起點和

4、終點的位置有關，而及路徑的起點和終點的位置有關，而與該路徑的形狀無關。與該路徑的形狀無關。 說明：靜電場力是保守力，靜電場是保守場。說明：靜電場力是保守力，靜電場是保守場。6二二 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理q q0 0沿閉合路徑沿閉合路徑l l移動一周，電場力作功為：移動一周，電場力作功為：00llWq ElqEldd又由靜電場力作功特點知：又由靜電場力作功特點知：W=0W=000lqEld則：則：0q 0lEl d0此即靜電場的環(huán)路定理此即靜電場的環(huán)路定理 式中式中 稱為電場強度矢量環(huán)流。稱為電場強度矢量環(huán)流。lEld 靜電場的環(huán)路定理表述了靜電場的另一性質：靜電場的環(huán)路定理表述了靜電

5、場的另一性質： 無旋性，即電場線不閉合。無旋性，即電場線不閉合。EA700ABABWq ElqElABdd三三 電勢能電勢能因為靜電場是保守場，所以可以引入勢能概念。因為靜電場是保守場，所以可以引入勢能概念。將將q q0 0由由A A點移到點移到B B點時，靜電場力所作的功為：點時，靜電場力所作的功為：由保守力與勢能的關系知：由保守力與勢能的關系知：()WEEABpBpA0ABEqElEpApBd則：則：0()ABqElEE pBpA d0E pB選選B B點為電勢能零點，即令：點為電勢能零點，即令：00ABABEqElEq ElpApBdd8 電勢能的大小是相對的，電勢能的大小是相對的， 電

6、勢能的差是絕對的。電勢能的差是絕對的。 電勢能是電場和電場中的電荷共同擁有的。電勢能是電場和電場中的電荷共同擁有的。可見：電荷可見：電荷q q在電場中某點的電勢能，在數(shù)值上在電場中某點的電勢能，在數(shù)值上 就等于把它從該點移到零勢能處靜電場力所就等于把它從該點移到零勢能處靜電場力所 作的功。作的功。0ABEq ElpAd即即98-7 8-7 電勢電勢一一 電勢電勢定義：電場中定義：電場中A A點的電勢點的電勢0EVqpAA0ABABEqElEpp d( (V VB B為參考電勢，值任選。為參考電勢，值任選。) )ABVElVBAd1 1 電勢電勢V VA AABVElAd令令 V VB B=0=

7、0，則有：，則有：BAVElAd(B(B點為電勢參考點點為電勢參考點) )EBA10 電勢零點的選取可視問題性質而定。電勢零點的選取可視問題性質而定。ABUVVElABABd 電場中電場中A A點的電勢在數(shù)值上等于把單位正電荷從點的電勢在數(shù)值上等于把單位正電荷從 點點A A移到無窮遠時，靜電場力所作的功。移到無窮遠時，靜電場力所作的功。 源電荷為有限大小，一般以無窮遠為電勢零源電荷為有限大小，一般以無窮遠為電勢零點。實際問題中常選擇地球電勢為零。點。實際問題中常選擇地球電勢為零。 無限擴展的源電荷無限擴展的源電荷( (如無限長帶電圓柱面如無限長帶電圓柱面) )只只能選在有限區(qū)域內的任一點為電勢

8、零點。能選在有限區(qū)域內的任一點為電勢零點。2 2 電勢差電勢差U UABAB= =V VA A- -V VB B 電勢是標量，它的單位是伏特簡稱伏，符號為電勢是標量，它的單位是伏特簡稱伏，符號為V V。11 一般情況下，電勢是源電荷和空間位置的函數(shù)，一般情況下，電勢是源電荷和空間位置的函數(shù)， 當電勢分布已知時，可以方便地求出電荷當電勢分布已知時，可以方便地求出電荷q q在電在電 場中某點的電勢能和在電場中移動電荷場中某點的電勢能和在電場中移動電荷q q時靜電時靜電 場力作的功。場力作的功。000WqVqVqUABABBAEqVpAA 電勢差是絕對的，與電勢零點的選擇無關；電勢差是絕對的，與電勢

9、零點的選擇無關； 電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關。電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關。 靜電場中靜電場中A A、B B兩點電勢差兩點電勢差U UABAB，在數(shù)值上等于把，在數(shù)值上等于把 單位正電荷從單位正電荷從A A點移到點移到B B點時，靜電場力所作的功。點時，靜電場力所作的功。12q q0 0時，時，V V0 0；q q0 0時，時，V V0 022000444rrrqq rqVelrrrdd二二 點電荷電場的電勢點電荷電場的電勢04rqEer2令：令：V V=0=0，且沿徑向積分。，且沿徑向積分。EoqrldP04qVr即：即：131 1 點電荷系點電荷系iiEE04iAAi

10、iiiiiVElElqVrAAdd 04iiiqVrA即：2 2 電荷連續(xù)分布電荷連續(xù)分布04qVrPdqVdd三三 電勢的疊加原理電勢的疊加原理1q2q3qA1r1E2r3r2E3EPdqdEr14 其步驟為：其步驟為： 將帶電體劃為許多電荷元將帶電體劃為許多電荷元d dq q。 d dq q可以是點電荷，也可以是其他典型帶電可以是點電荷，也可以是其他典型帶電 體，應視問題的具體情況而定。體，應視問題的具體情況而定。 選擇電勢零點，寫出電荷元選擇電勢零點，寫出電荷元d dq q在場點的電勢在場點的電勢d dV V。 由電勢疊加原理求由電勢疊加原理求V V。1 1 利用電勢疊加原理利用電勢疊加

11、原理四四 電勢的計算電勢的計算計算電勢常用的方法有兩種。計算電勢常用的方法有兩種。15例例1 1 正電荷正電荷q q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R R的細圓環(huán)上。求圓環(huán)的細圓環(huán)上。求圓環(huán) 軸線上距環(huán)心軸線上距環(huán)心O O為為x x處點處點P P的電勢。的電勢。解解 在環(huán)上取小段在環(huán)上取小段d dl l，電荷元，電荷元2qqllRddd0014142qVrq lrRPddd00114242lllq lqVVlrRrRPdddqoxyzxPrRl d16000044qqxVxRVRxP， ，2204qVxRP即： 由此式可得均勻帶電圓由此式可得均勻帶電圓 環(huán)軸線上的電勢分布曲環(huán)軸線上的電勢分布曲

12、 線如圖。線如圖。04qRxoV22 1 204()qxR 環(huán)心和無窮遠處的電勢環(huán)心和無窮遠處的電勢220044qqVrx RP172qr r dd220124r rVxr Pdd222RxRxRxx2 均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢qdxPrrd221/2()xrxoR022020124)Rr rVxrxRx P2d(2182 2 由電勢的定義求解由電勢的定義求解 其步驟為：其步驟為： 確定電場強度確定電場強度 的分布。的分布。 選擇電勢零點和積分路徑，其原則是使計算盡選擇電勢零點和積分路徑，其原則是使計算盡 量簡便。量簡便。 由由 (B(B點為電勢參考點點為電勢參考點

13、) )計算計算V VA A 。E0VAVElAd04 VQx( (點電荷電勢點電荷電勢) )19QRreroABrArrBdr令令V V=0=0，并沿徑向積分。，并沿徑向積分。任一點任一點P P的電勢的電勢V VP P例例2 2 均勻帶電球殼的電勢。均勻帶電球殼的電勢。 真空中一半徑為真空中一半徑為R R帶電帶電Q Q的球殼。試求的球殼。試求(1)(1)球殼球殼外兩點間的電勢差；外兩點間的電勢差；(2)(2)球殼內兩點間的電勢差；球殼內兩點間的電勢差；(3)(3)球殼外任意點的電勢；球殼外任意點的電勢；(4)(4)球殼內任意點的電勢。球殼內任意點的電勢。解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得：20014rr RQEer Rr200(4)( )4Qr RVV RRin 可見，帶電球殼為一等勢體，即球殼內各處的可見，帶電球殼為一等勢體，即球殼內各處的 電勢與球殼表面的電勢相等。電勢與球殼表面的電勢相等。 由式由式和和可得均勻帶電球可得均勻帶電球 殼內、外的電勢分布曲線如圖。殼內、外的電勢分布曲線如圖。00(2)044QQr RUVVRRABAB 0(3)( )4Qr RV rr roV04QRR0