1、初中數(shù)學(xué)八年級初中數(shù)學(xué)八年級(下冊下冊)9.5 9.5 三角形的中位線三角形的中位線2 2溫馨提示溫馨提示定義定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形的中位線三角形有三角形有三三條中位線條中位線 D、 E分別為分別為AB、 AC的中點(diǎn)的中點(diǎn) DE為為 ABC的中位線的中位線ED DF FA AC CB B復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知思考：三角形有幾思考：三角形有幾條中位線呢？條中位線呢？ 三角形三角形中位線中位線的兩端點(diǎn)都是三角形邊的兩端點(diǎn)都是三角形邊 的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 三角形三角形中線中線只有一個端點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，另一只有一個端點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，另一端點(diǎn)是三角形的一個頂

2、點(diǎn)。端點(diǎn)是三角形的一個頂點(diǎn)。ABCDEF中位線中位線與與中線中線的區(qū)別的區(qū)別BDACE猜想：猜想： ABC的中位線的中位線DE與與BC的的關(guān)系怎樣？（從位置和數(shù)量關(guān)系怎樣？（從位置和數(shù)量關(guān)系猜想）關(guān)系猜想）獲取新知獲取新知三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，平行于第三邊，并且等于第三邊的一半并且等于第三邊的一半. .已知：如圖，已知：如圖，D、E分別是分別是ABC的邊的邊AB、AC的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證：求證：DEBC。BCDE21猜想結(jié)論猜想結(jié)論A AB BC CE ED DF F證法一：證法一：如圖，延長如圖，延長DE至至F, 使使EF=DE，連接連接CD、AF、CFAE=EC DE=

3、EF四邊形四邊形ADCF是平行四邊形是平行四邊形AD FC又又D為為AB中點(diǎn)，中點(diǎn)，DB FC四邊形四邊形BCFD是平行四邊形是平行四邊形 DE/ BC 且且DE=EF=1/2BCCEDF FBA證明二：證明二：如圖，以點(diǎn)如圖，以點(diǎn)E E為旋轉(zhuǎn)中心，把為旋轉(zhuǎn)中心，把ADEADE繞點(diǎn)繞點(diǎn)E E，按順時針方向旋轉(zhuǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)180180，得到得到CFECFE，則，則D D，E E，F(xiàn) F同在一直線上同在一直線上DE=EFDE=EF，且，且ADEADECFECFE。ADE=F，AD=CF，ABCF。又又BD=AD=CF，四邊形四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平是平行四邊形（一組對邊平行且相等

4、的四邊形是平行四邊形），行且相等的四邊形是平行四邊形），DFBCDE 1/2BCCEDF FBA證法三證法三：過點(diǎn)：過點(diǎn)C作作AB的平行的平行線交線交DE的延長線于的延長線于FCFAB，A=ECF又又AE=EC，AED=CEF ADE CFE AD=FC又又DB=AD，DB FC四邊形四邊形BCFD是平行四邊形是平行四邊形DE/ BC 且且DE=EF=1/2BC三角形中位線定理三角形中位線定理三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，平行于第三邊，并且等于第三邊的一半并且等于第三邊的一半. .幾何語言：幾何語言： ABC中 AD=BD,AE=CEAD=BD,AE=CE DEBC,且且 DE=1

5、/2BCCEDBA 如圖，已知如圖，已知ABCABC，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，BCBC的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為M M，MEADMEAD，交，交BABA的的延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)E E，交，交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)F F（1 1）求證：）求證：AE=AFAE=AF；（2 2）求證：）求證：BE=BE=（AB+ACAB+AC）證明：證明：（1 1）DADA平分平分BACBAC，BAD=CADBAD=CAD，ADEMADEM，BAD=AEFBAD=AEF，CAD=AFECAD=AFE，AEF=AFEAEF=AFE，AE=AFAE=AF（2 2）作）作CGEMCGEM，交，交BABA的

6、延長線于的延長線于G GEFCGEFCG，G=AEFG=AEF，ACG=AFEACG=AFE，AEF=AFEAEF=AFE，G=ACGG=ACG，AG=ACAG=AC，BM=CMBM=CMEMCGEMCG，BE=EGBE=EG，BE=BG=BE=BG=（BA+AGBA+AG）= =（AB+ACAB+AC）鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)一、選擇題一、選擇題1.1.如圖，如圖，DEDE是是ABCABC的中位線，過點(diǎn)的中位線，過點(diǎn)C C作作CFBDCFBD交交DEDE的的延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)F F，則下列結(jié)論正確的是（），則下列結(jié)論正確的是（） A AEF=CFEF=CFB BEF=DEEF=DEC CCFCFB

7、DBD D DEFEFDEDE2.2.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ABC=90ABC=90，AB=8AB=8，BC=6BC=6若若DEDE是是ABCABC的中位線，延長的中位線，延長DEDE交交ABCABC的外角的外角ACMACM的的平分線于點(diǎn)平分線于點(diǎn)F F，則線段，則線段DFDF的長為（）的長為（） A A7 7B B8 8 C C9 9 D D10103.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=8AC=8，AB=10AB=10，DEDE垂直平分垂直平分ACAC交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，則，則DEDE的長為（）的長為（） A A6 6B B5 5

8、C C4 4 D D3 34 4如圖，在如圖，在ABCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D，E E分別是邊分別是邊ABAB，ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AFBCAFBC，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)F F，ADE=30ADE=30，DF=4DF=4，則，則BFBF的長的長為（）為（） A A4 4B B8 8 C C2 2 D D4 4 5.5.在在ABCABC中，中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，AC=2AC=2，D D、E E、F F分別為分別為ABAB、BCBC、ACAC中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，連接DFDF、FEFE，則四邊形，則四邊形DBEFDBEF的周長是（的周長是（） A A5 5B B7 7 C C9 9

9、D D1111二、填空題：二、填空題： 1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D、E E分別是邊分別是邊ABAB、ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BC=8BC=8，則，則DE=DE= 2.2.如圖，如圖，ABAB、CDCD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，OC=2OC=2，OD=3OD=3，ACBDACBD，EFEF是是ODBODB的中位線，且的中位線，且EF=2EF=2，則，則ACAC的長為的長為 3.3.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，M M、N N分別是分別是ABAB、ACAC的中點(diǎn)，延長的中點(diǎn)，延長BCBC至點(diǎn)至點(diǎn)D D，使，使CD=1/3BDCD=1/3BD，連

10、接，連接DMDM、DNDN、MNMN若若AB=6AB=6，則，則DN=DN=二、解答題：二、解答題： 1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D、E E分別是分別是ABAB、ACAC的中點(diǎn)，過點(diǎn)的中點(diǎn)，過點(diǎn)E E作作EFABEFAB，交，交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)F F（1 1）求證：四邊形）求證：四邊形DBFEDBFE是平行四邊形；是平行四邊形；（2 2）當(dāng)）當(dāng)ABCABC滿足什么條件時，四邊形滿足什么條件時，四邊形DBFEDBFE是菱形？為什么？是菱形？為什么？ 2.D 2.D、E E分別是不等邊三角形分別是不等邊三角形ABCABC（即（即ABBCACABBCAC）的邊的邊ABAB、ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O是是ABCABC所在平面上的動點(diǎn)，連所在平面上的動點(diǎn)，連接接OBOB、OCOC，點(diǎn)，點(diǎn)G G、F F分別是分別是OBOB、OCOC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D D、G G、F F、E E（1 1）如圖，當(dāng)點(diǎn)）如圖，當(dāng)點(diǎn)O O在在ABCABC的內(nèi)部時，求證：四邊形的內(nèi)部時，求證：四邊形DGFEDGFE是平行四邊形；是平行四邊形；（2 2）若四邊形）若四邊形DGFEDGFE是菱形，則是菱形，則OAOA與與BCBC應(yīng)滿足怎樣的應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案，不需要說明理