1、時間序列分析總結(jié)2015,06.15期末考試題型期末考試題型p填空題填空題40p計算題計算題50p證明題證明題10 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)平穩(wěn)模型平穩(wěn)模型p嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn)p寬平穩(wěn)寬平穩(wěn) 設(shè)時間序列 存在二階矩 ，如果 滿足（1） 的均值 是常數(shù)；（2） 的自協(xié)方差只與間隔長度有關(guān)，即tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明2tEX cov,tt kkXXktXtXtEXtX時間序列分析總結(jié)lARMA模型模型pAR(p)模型如果時間序列 滿足其中對于任意的t, 滿足則稱時間序列服從p階自回歸模型，記為AR(p)。稱為自回歸系數(shù)。tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11ttpt

2、ptXXX t 0tE20tVartX1,p時間序列分析總結(jié)lARMA模型pMA(q)模型如果時間序列 滿足則稱時間序列服從q階自回歸模型，記為MA(q)。稱為移動平均系數(shù)。 tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11tttqt qX tX1,q時間序列分析總結(jié)pARMA(p,q)模型如果時間序列 滿足則稱時間序列服從p,q階自回歸模型，記為ARMA(p,q) 。 tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1111ttptpttqt qXXX tX時間序列分析總結(jié)p一階自回歸模型AR(1):如果時間序列 滿足其中對于任意的t, 滿足則稱時間序列服從p階自回歸模型，記為AR(1)。tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與

3、管理學(xué)院王黎明11tttXcX t 0tE 20tVartX時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)11tttXX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)依次推導(dǎo)，得p格林函數(shù)上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明10jttjjX 0tjtjjXGjGjG時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)pAR(1)模型的無限階MA模型逼近10jttjjX 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1jjG12112ttta 11221jtttj 令時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性AR(1)模型的后移算子表達式及格林函數(shù)B 后移算子,B的次數(shù)表示后移期數(shù)。如則AR(

4、1)模型可以寫成其解為上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明212,ttttBXXB XX11ttB X時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性10jtjj 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11ttXB22111tBB21112ttt 0jtjjG時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)模型平穩(wěn)p，系統(tǒng)存在某種趨勢或季節(jié)性。p時，系統(tǒng)非平穩(wěn)。上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明111111時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)模型 的方差tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明100jttjjVar XVar 120jtjjVar1220jj 時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pAR(1)模型 的方差tX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1

5、220jtjVar X2211時間序列分析總結(jié)l平穩(wěn)性pARMA(2,1)模型的格林系數(shù)pB滿足一個迭代上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明2121011jjttjBBG BB上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院16時間序列分析總結(jié)上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院17時間序列分析總結(jié)時間序列分析總結(jié)l可逆性p若ARMA模型可以表示為1111ttptpttqt qXXX 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明121211jtjtjtI BXI BI BX時間序列分析總結(jié)l逆函數(shù)與可逆性p上述式子稱為逆轉(zhuǎn)形式逆轉(zhuǎn)形式逆函數(shù)逆函數(shù)上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明jI時間序列分析總結(jié)上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列

6、分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)p理論自相關(guān)函數(shù)與樣本自相關(guān)函數(shù)p隨機變量X與Y的協(xié)方差函數(shù)為p其中，為X的期望，為Y的期望，X,Y的相關(guān)函數(shù)為XYXYE XY上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明XY XYXYVar X Var Y時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)p對于ARMA模型，自協(xié)方差函數(shù)為p自相關(guān)函數(shù)為cov,kkt kXX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明0kk時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)p樣本的自協(xié)方差函數(shù)為 或p樣本的自相關(guān)函數(shù)為或11,0,1,1Nktt kt kX XkNN 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1201Ntt kkt kkNttX XX *11Nktt kt kX XNk *1*

7、201Ntt kkt kkNttX XNNkX 時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pAR(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)pk=0時，即11tttXX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11tt ktt ktt kE X XE XXEX11ttttttE X XE XXEX201 1時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pk=1時，即pk=2時， 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11111ttttttE X XE XXEX11021122ttttttE X XE XXEX21 1時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)p對于一般地的k0,p由此，22201 11100211 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11kk11,0kkk

8、時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pMA(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)k=0時，11tt ktt ktt kE X XEXEX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11tttX 011211111112211ttttttttttttttE X XEXEXEEEE 時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)k=1時，k=2時，上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明111111211111221ttttttttttE X XEXEXEE 2221120ttttttE X XEXEX時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pk1時，pAR(p)模型的自協(xié)方差函數(shù)11ttptptXXX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明0k11tt ktt kpt

9、pt ktt kE X XE XXE XXEX時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pk=0時，pk=1時，上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明01121 1ttttptptttppE X XE XXE XXEX 111111101ttptptttppE XXE XXEX 時間序列分析總結(jié)l自協(xié)方差函數(shù)pk=2時，p則（Yule-Walker方程）0 11 2111 102221 1220pppppppp 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明21 12pp 例例3.12 求AR(2)序列的偏自相關(guān)系數(shù)。 解：解： 對 ，計算可以得到 上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院321122ttttXXX11112122211

10、221212222122221111222221222211111111111時間序列分析總結(jié)上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院33時間序列分析總結(jié)1111211211122132112213312121111212111110111111 0,3kkk時間序列分析總結(jié)待估參數(shù) 個未知參數(shù)常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1pq211,pq 時間序列分析總結(jié)原理樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù)上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明111111( ,)( ,)pqp qpqp q 時間序列分析總結(jié)AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計（Yule-Walker方

11、程的解）上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1122ttttxxx2112121112121112121221時間序列分析總結(jié)MA(1)模型方程矩估計上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明11tttx 2201111220111(1)1 12112411時間序列分析總結(jié)ARMA(1,1)模型方程矩估計上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1111ttttxx 1111 112011 1211()(1)12 1122122112121,2,242,24,ccccccc時間序列分析總結(jié)AR模型的矩估計Yule-Wolker方程11 2111 12221 122pppppppp上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序

12、列分析總結(jié)AR模型的矩估計當(dāng)k=0時，則由此，可以得到參數(shù)的矩估計。201 1pp 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明201 1pp 時間序列分析總結(jié)MA模型的矩估計解此方程的MA模型的矩估計。222011q上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明21 11,2,kkkqq kkq 時間序列分析總結(jié)ARMA模型的矩估計第一步，先給出AR部分的參數(shù)的矩估計。第二步，其協(xié)方差函數(shù)1,p11tttptpyXXX上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明,0nktijkj ii jy 時間序列分析總結(jié)ARMA模型的矩估計第三步，把 近似看作MA模型11tttqt qy 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明ty時間序列分析總結(jié)

13、優(yōu)點估計思想簡單直觀不需要假設(shè)總體分布計算量小（低階模型場合）缺點信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計精度差通常矩估計方法被用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)原理在極大似然準則下，認為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此未知參數(shù)的極大似然估計就是使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大的參數(shù)值 上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明,);(max),;,(21121kkxpxxL對極大似然估計的評價優(yōu)點極大似然估計充分應(yīng)用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高同時還具有估計的一致性、漸近正態(tài)性和漸

14、近有效性等許多優(yōu)良的統(tǒng)計性質(zhì)缺點需要假定總體分布上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)模型的顯著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)目的檢驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列 反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明時間序列分析總結(jié)原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列上海財經(jīng)

15、大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某個1, 01時間序列分析總結(jié)LB統(tǒng)計量上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明221(2)() ( )mkkLBn nmnk時間序列分析總結(jié)上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明 111111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 預(yù)測誤差預(yù)測誤差預(yù)測值預(yù)測值)(),()( ),(11leVarxxxVarlxxxxEtttltttlt時間序列分析總結(jié)預(yù)測值上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明1 (),tkttkx ktktE XXXxkt10,kttkktEXXkt時間序列分析總結(jié)估計誤差期望方差上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計

16、與管理學(xué)院王黎明1111)(tlltlttGGle0)(leEt1222011 ( )()tlVar e lGGG時間序列分析總結(jié)預(yù)測值(AR(p)模型）預(yù)測方差95置信區(qū)間上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明)() 1()( 1plxlxlxtpt22211 ( )(1)tlVar e lGG12221112 ( )1tlx lzGG上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院 55時間序列分析總結(jié)上海財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與管理學(xué)院 56時間序列分析總結(jié)時間序列分析總結(jié)單整上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與管理學(xué)院王黎明差分差分：用變量 的當(dāng)期值減去其滯后值而得到新序列的方法單整單整：若一個非平穩(wěn)的時間序列 必須經(jīng)過d次差分之后才能變換