1、數(shù)學史數(shù)學史 非歐幾何非歐幾何 主講：陳朝哲主講：陳朝哲組員：刁素蘭、陳興勇、鄭茂涌、組員：刁素蘭、陳興勇、鄭茂涌、 方浩東、謝常平、方浩東、謝常平、 葉夢暉、葉夢暉、 李健標李健標非歐幾何的發(fā)展史非歐幾何的發(fā)展史一、第五公設的思考探索一、第五公設的思考探索二、非歐幾何的萌芽二、非歐幾何的萌芽三、非歐幾何的產(chǎn)生三、非歐幾何的產(chǎn)生四、非歐幾何的發(fā)展四、非歐幾何的發(fā)展非歐幾里得幾何是一門大的數(shù)學分支，一般來講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

2、非歐幾里得幾何非歐幾里得幾何非歐幾何的萌芽非歐幾何的萌芽非歐幾何的產(chǎn)生與著名的歐幾里得第五公設密切相關，它是數(shù)學家們?yōu)榻鉀Q這個問題而進行長期努力的結果。非歐幾何的發(fā)展源于2000多年前的古希臘數(shù)學家的歐幾里得的幾何原本其中公設五是歐幾里得自己提出的?！暗谖骞O”：“若一條直線與兩直線相交，且若同側所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點”、這一公設引起了廣泛的討論第五公設的思考探究第五公設的思考探究數(shù)學家們主要沿2條研究途徑前進：一條途徑是尋找一條更為自明的命題代替平行公設；另一條途徑是試圖從其他9條公理、公設推導出平行公設來。沿第一條途徑找到的第五公設最簡單的表述是17

3、95年蘇格蘭數(shù)學家普雷菲爾給出的：“過直線外一點，有且只有一條直線與原直線平行”也就是我們今天中學課本里使用的平行公理，古希臘數(shù)學家普羅克魯斯在公元5世紀就陳述過它然而問題是，所有這些替代公設并不比原來的第五公設更好接受，更“自然”歷史上第一個證明第五公設的重大嘗試是古希臘天文學家托勒玫(約公元150年)做出的，后來普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行，這就是普雷菲爾公設最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐式幾何一樣正確的新幾何學的是高斯。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在

4、書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。 非歐幾何的誕生非歐幾何的誕生C.F. Gauss是 德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。他有數(shù)學王子的美譽，并被譽為歷史上最偉大的數(shù)學家之一 。高斯的簡介高斯的簡介高斯的貢獻高斯的貢獻高斯是最早指出歐幾里得第五公設獨立于其他公設的人，早在1792年他就已經(jīng)有一種思想，去建立一種邏輯幾何學，其中歐幾里得第五公設不成立1794年高斯發(fā)現(xiàn)在他的這種幾何中，四邊形的面積正比于2個平角與四邊形內(nèi)角和的差，并由此導出三角形的面積不超過一個常數(shù)，無論其頂點相距多遠后來他進一步發(fā)展了他的新幾何，稱之為非歐幾

5、何。羅巴切夫斯基幾何得來的背景羅巴切夫斯基幾何得來的背景自從歐幾里得提出第五公設（同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側相交以來），一些數(shù)學家在思考第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。羅巴切夫斯基的貢獻羅巴切夫斯基的貢獻 羅巴切夫斯基的第一篇關于非歐幾何的論文：幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。 這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學家的冷漠和反對。在創(chuàng)立和發(fā)展非歐幾何

6、的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發(fā)現(xiàn)者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基 俄國俄國（17921856 ）羅巴切夫斯基的成就羅巴切夫斯基的成就1、論幾何學基礎，以后又有補充。2、平行線理論的幾何研究等一系列非歐幾何論文。由于當時還沒有找到這種幾何的實際應用，所以他稱他的新幾何為”想象的幾何學”，“虛幾何學”。3、后來他雙目失明，卻以口授寫出一部他的幾何的完全的新的說明，并于1855年以書名泛幾何出版，今天稱為“羅巴切夫斯基幾何“。羅巴切夫斯基定理羅巴切夫斯基定理歐式幾何：同一直線的垂線和斜線相交。垂直于同一直線的兩條直線互相平行。

7、存在相似的多邊形。過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。羅氏幾何：同一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。不存在相似的多邊形。過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。鮑耶的貢獻鮑耶的貢獻非歐定理非歐定理 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學的同時，匈牙利數(shù)學家鮑耶也發(fā)現(xiàn)了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親數(shù)學家鮑耶法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形

8、式發(fā)表了研究結果。 黎曼，德國數(shù)學家，物理學家 。黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。但他的理論仍難被同時代人理解。據(jù)說他在哥延根大學的演講只有年邁的高斯聽得懂。黎曼的貢獻黎曼的貢獻 1846年，按照父親的意愿，黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數(shù)學講座，包括高斯關于最小二乘法的講座。在得到父親的允許后，他改學數(shù)學。1847年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門下。兩年后他回到哥廷根。后開創(chuàng)了黎曼積分。黎曼幾何是德國數(shù)學家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一

9、篇論文論幾何學作為基礎的假設中明確的提出另一種幾何學的存在，開創(chuàng)了幾何學的一片新的廣闊領域。黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。黎曼幾何黎曼幾何近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數(shù)學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數(shù)論等方面。 19世紀70年代以后，意大利數(shù)學家貝爾特拉米、德國數(shù)學家克萊因和法國數(shù)學家龐加萊等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義。至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解。羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”。 非歐幾何的發(fā)展非歐幾何的發(fā)展23非歐幾何的意義：非歐幾何的意義：（1）是人類認識史上一個富有創(chuàng)造性的偉大成果，它把人從傳統(tǒng)的思想束縛中解放出來