1、5 動態分析有限元法動態分析有限元法工程中受動載荷的產品：受道路載荷的汽車；受風載的雷達；工程中受動載荷的產品：受道路載荷的汽車；受風載的雷達；受海浪沖擊的海洋平臺；受偏心離心力作用的旋轉機械等。受海浪沖擊的海洋平臺；受偏心離心力作用的旋轉機械等。動態分析的必要性：當產品受到隨時間變化的動載荷時，需動態分析的必要性：當產品受到隨時間變化的動載荷時，需要進行動態分析，以了解產品動態特性。要進行動態分析，以了解產品動態特性。動載荷（又稱動力分析）動載荷（又稱動力分析）固有特性分析固有特性分析響應分析響應分析固固有有頻頻率率振振型型位位移移響響應應速速度度響響應應加加速速度度響響應應動動應應變變動動

2、應應力力固有特性：是一組模態參數構成，它由結構本身（質量與剛度固有特性：是一組模態參數構成，它由結構本身（質量與剛度分布）決定，而與外部載荷無關，但決定了結構對動載荷的響應；分布）決定，而與外部載荷無關，但決定了結構對動載荷的響應；響應分析：是計算結構對給定動載荷的各種響應特性。響應分析：是計算結構對給定動載荷的各種響應特性。第一節第一節 動態分析有限元法的特點動態分析有限元法的特點一、載荷特點一、載荷特點 結構所受的載荷是隨時間變化的動載荷。結構所受的載荷是隨時間變化的動載荷。 這是與靜力分析的一個根這是與靜力分析的一個根本區別。本區別。二、位移特點二、位移特點 1、節點位移、節點位移q不僅

3、是坐標的函數，而且也是時間的函數。仍以不僅是坐標的函數，而且也是時間的函數。仍以節節點位移點位移q作為基本未知量。作為基本未知量。 2、節點具有速度、節點具有速度 加速度。加速度。 qq 和3、利用節點位移插值表示單元內任一點的位移、利用節點位移插值表示單元內任一點的位移一般仍采用與靜力分析相同的形函數，一般仍采用與靜力分析相同的形函數，N。當單元數量較多時，上述。當單元數量較多時，上述插值可以得到較好的插值精度。插值可以得到較好的插值精度。4、在線彈性條件下，單元內的應變和應力與節點位移的關系仍為、在線彈性條件下，單元內的應變和應力與節點位移的關系仍為 但這時的位移、應變和應力都是某一時刻的

4、瞬時值，它們都是隨時間但這時的位移、應變和應力都是某一時刻的瞬時值，它們都是隨時間t變化的函數。變化的函數。 edNq= eeBqDBq=5、由于節點具有速度和加速度，結構將受到阻尼和慣性力的作用。、由于節點具有速度和加速度，結構將受到阻尼和慣性力的作用。根據達朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結構仍處于平衡狀態，因根據達朗伯原理，引入慣性力和阻尼力之后結構仍處于平衡狀態，因此動態分析中仍可采用虛位移原理來建立單元特性方程，然后再集成。此動態分析中仍可采用虛位移原理來建立單元特性方程，然后再集成。整個結構的平衡方程為整個結構的平衡方程為式又稱運動方程，它不再是靜力問題那樣的線性方程，而是一個二階

5、式又稱運動方程，它不再是靜力問題那樣的線性方程，而是一個二階常微分方程組。常微分方程組。 MqCqKqR t求解過程復雜，建立有限元模型時要特別注意控制模型規模。求解過程復雜，建立有限元模型時要特別注意控制模型規模。第二節第二節 動態分析有限元法的一般步驟動態分析有限元法的一般步驟一、結構離散一、結構離散該步驟與靜力分析完全相同，只是應該分析內容不同，對網格形式的要求該步驟與靜力分析完全相同，只是應該分析內容不同，對網格形式的要求有可能不一樣。有可能不一樣。靜力分析：要求在應力集中部位加密網格；靜力分析：要求在應力集中部位加密網格；動態分析：由于固有頻率和振型主要與結構的質量和剛度分布有關，要

6、求動態分析：由于固有頻率和振型主要與結構的質量和剛度分布有關，要求整個結構采用盡可能均勻的網格形式。整個結構采用盡可能均勻的網格形式。二、單元分析二、單元分析單元分析的任務仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。單元分析的任務仍是建立單元特性矩陣，形成單元特性方程。動態分析中，動態分析中，單元特性矩陣：剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。單元特性矩陣：剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。動態分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。動態分析中，仍采用虛位移原理建立單元特性矩陣。在動載荷作用下，對于任一瞬時，設單元節點發生虛位移在動載荷作用下，對于任一瞬時，設單元節點發生虛位移 ，則單元，則單元內也產生相應

7、的虛位移內也產生相應的虛位移 和虛應變和虛應變 。單元內產生的虛應變能為。單元內產生的虛應變能為: d eq TVUdV單元除受動載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力單元除受動載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力 和阻尼力和阻尼力 ，其中，其中為材料密度，為材料密度，v是線性阻尼系數。外力所做的虛功為：是線性阻尼系數。外力所做的虛功為： d dV d dV TTTvscVATTVVWdP dVdP dAdPdd dVdd dV 式中，式中，Pv、Ps、Pc分別為作用于單元上的動態體力、動態面力和動態分別為作用于單元上的動態體力、動態面力和動態集中力；集中力；V為單元面積；為單元面積；A為單元面

8、積。為單元面積。UW eeeedNqdNqdNqBq由于由于且形函數僅為坐標且形函數僅為坐標x、y、z的函數，與時間無關，因此有的函數，與時間無關，因此有 ,eedNqBq根據虛位移原理，有根據虛位移原理，有代入經整理，可得單元運動方程為代入經整理，可得單元運動方程為 eeeeeeemqcqkqR t式中式中 eTVkBDB dV分別稱為單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元動態性能的分別稱為單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元動態性能的特性矩陣。特性矩陣。稱為單元節點動載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節稱為單元節點動載荷列陣，它是作用在單元上

9、的體力、面力和集中力向單元節點移置的結果。點移置的結果。 eTVmNN dV eTVcNN dV eTTTvscVAR tNP dVNP dANP在動態分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。在動態分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。 20101002010110201001020112101020010102ectAm在動態分析中，單元的質量矩陣通常采用以下兩種形式。在動態分析中，單元的質量矩陣通常采用以下兩種形式。1、一致質量矩陣、一致質量矩陣按按 形成的單元質量矩陣稱為一致質量矩陣，因為形成的單元質量矩陣稱為一致質量矩陣，因為它

10、采用了和剛度一致的形函數。這種質量矩陣取決于單元的類型和形函它采用了和剛度一致的形函數。這種質量矩陣取決于單元的類型和形函數的形式。數的形式。 eTVmNN dV 1000000100000010000001003000010000001eltAm2、集中質量矩陣、集中質量矩陣集中質量矩陣將單元的分布質量按等效原則分配在各個節點上，等效原則集中質量矩陣將單元的分布質量按等效原則分配在各個節點上，等效原則就是要求不改變原單元的質量中心，這樣形成的質量矩陣稱為集中質量矩就是要求不改變原單元的質量中心，這樣形成的質量矩陣稱為集中質量矩陣。集中質量矩陣是一個對角陣，陣。集中質量矩陣是一個對角陣，集中質

11、量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態計算，減小存儲容量。利集中質量矩陣：是一個對角陣，因而可簡化動態計算，減小存儲容量。利用這種矩陣計算出的結構固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結構用這種矩陣計算出的結構固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實際結構偏剛，兩者相互補償，計算出的固有頻率反而更接近真實值。偏剛，兩者相互補償，計算出的固有頻率反而更接近真實值。一致質量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整一致質量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整個模型的質量分布還受網格劃分形式的影響。個模型的質量分布還受網格劃分形式的影響。三、總體矩陣集成三、總體矩陣集成

12、總體矩陣集成的任務是將各單元特性矩陣裝配成整個結構的特性矩陣，總體矩陣集成的任務是將各單元特性矩陣裝配成整個結構的特性矩陣，從而建立整體平衡方程，即從而建立整體平衡方程，即 1niiR tR t MqCqKqR t式中，式中，q為所以節點位移分量組成的為所以節點位移分量組成的n階列陣，階列陣，n為結構總自由度數；為結構總自由度數； （i為節點數），稱為節點載荷列陣；為節點數），稱為節點載荷列陣；K、M、C分別為結構的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。分別為結構的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。其中其中K與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣與靜力分析中的總剛度矩陣完全相同，矩陣M、C也采用與也采用與

13、K相同的集成方式，即相同的集成方式，即 11eeneeeneeMmnCc為單元總數矩陣矩陣K、M和和C均為均為n階對稱陣。階對稱陣。四、固有特性分析四、固有特性分析 結構的固有特性由結構本身決定，與外部載荷無關，它由一組模態參結構的固有特性由結構本身決定，與外部載荷無關，它由一組模態參數數定量描述。包括：固有頻率、模態振型、模態質量、模態剛度和模態阻尼定量描述。包括：固有頻率、模態振型、模態質量、模態剛度和模態阻尼比等。比等。 固有特性分析就是對模態參數進行計算，其目的一是避免結構出現共固有特性分析就是對模態參數進行計算，其目的一是避免結構出現共振和有害的振型，二是為響應分析提供必要依據。振和

14、有害的振型，二是為響應分析提供必要依據。 由于固有特性與外載荷無關，且阻尼對固有頻率和振型影響不大，因由于固有特性與外載荷無關，且阻尼對固有頻率和振型影響不大，因此可通過無阻尼自由振動方程計算固有特性。此可通過無阻尼自由振動方程計算固有特性。 j tqe 0MqKq式中，式中，為簡諧振動圓頻率；為簡諧振動圓頻率；為節點振幅列向量。為節點振幅列向量。由于自由振動可分解為一系列簡諧振動的疊加，因此上式的解可設為由于自由振動可分解為一系列簡諧振動的疊加，因此上式的解可設為 將解代入振動方程中，同時消去因子將解代入振動方程中，同時消去因子ejt，可得，可得 12,n 20KM 振型振型i是結構按頻率是

15、結構按頻率i振動時各自由度方向振幅間的相對比例關系，振動時各自由度方向振幅間的相對比例關系，它反映了結構振動的形式，并不是振幅的絕對大小。它反映了結構振動的形式，并不是振幅的絕對大小。上式為一廣義特征問題。根據線性代數可知，求解該問題可以求出上式為一廣義特征問題。根據線性代數可知，求解該問題可以求出n個特個特征值征值 和相對應的和相對應的n個特征向量個特征向量 。其中特。其中特征值征值i(i=1,2,.,n)就是結構的就是結構的i階固有頻率，特征向量階固有頻率，特征向量i i(i=1,2,.,n)就是結構就是結構的的i階模態振型。階模態振型。22121,n nndkkkK2211固有特性分析實

16、際上就是求解廣義特征值問題。求解的數值方法主要有固有特性分析實際上就是求解廣義特征值問題。求解的數值方法主要有1、變換法、變換法基本思想是通過一系列矩陣變換，將矩陣基本思想是通過一系列矩陣變換，將矩陣MK化為對角陣，化為對角陣，變換后的特征值不變，即原問題與特征值問題變換后的特征值不變，即原問題與特征值問題具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所具有相同的特征值。先求特征值，再求特征向量，而且是一次性求出所以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問題的求解。以特征值和特征向量。該方法主要用于一些小型問題的求解。1122dnnmmMm 20dddKM kkA112、迭代法

17、、迭代法是對一選取的初始向量是對一選取的初始向量 和迭代公式和迭代公式求一向量序列求一向量序列 使它收斂于與使它收斂于與 絕對值最大的特征值相絕對值最大的特征值相應應的特征向量，在滿足收斂精度時，以的特征向量，在滿足收斂精度時，以 作為作為 的特征量，再求的特征量，再求出相應的特征值。出相應的特征值。先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對，該先求特征向量，再求特征值，且從低階到高階依次求出各階特征對，該法只適合求解法只適合求解35個低階特征對。個低階特征對。子空間迭代法，求大型結構的少數特征對。子空間迭代法，求大型結構的少數特征對。011, A1kA五、響應分析五、響應分析

18、 響應分析的目的是計算結構在動載荷作用下，節點位移、速度和加速響應分析的目的是計算結構在動載荷作用下，節點位移、速度和加速度度的變化規律。因此響應分析的任務就是求解二階常微分方程組，的變化規律。因此響應分析的任務就是求解二階常微分方程組，求解主要有求解主要有1、振型疊加法、振型疊加法根據結構振動理論，在動載荷作用下，結構動態響應可以表示為其各階根據結構振動理論，在動載荷作用下，結構動態響應可以表示為其各階主模態振型的線性疊加，即主模態振型的線性疊加，即2、直接積分法、直接積分法是一種純粹的數值方法。是一種純粹的數值方法。連續時間區域連續時間區域 離散離散 為為n1離散點離散點 時間間隔時間間隔T/n 每個時間間隔上的狀態向量每個時間間隔上的狀態向量 xxxxqnn2211瞬