1、船體振動學船體振動學 第第3 3章章 梁的橫向振動梁的橫向振動 Ship Vibration 3.1 連續系統連續系統 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響橫向自由振動的影響 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法Ship Vibration 3.1 3.1 連續系統連續系統Ship Vibration各種工程結構和構件，例如桿、梁、板、殼等都各種工程結構和構件，例如桿、梁、板、殼等都是具有分布質量的彈性體。要確定彈性體上各點是具有

2、分布質量的彈性體。要確定彈性體上各點的位置需要無限多個廣義坐標，因此彈性體是具的位置需要無限多個廣義坐標，因此彈性體是具有有無限多自由度的系統無限多自由度的系統，也稱為，也稱為連續系統連續系統。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續系統連續系統對于圖示的簡支梁，在第對于圖示的簡支梁，在第2章中提到的處理方法章中提到的處理方法是將梁離散化，即將梁近似的看作是由是將梁離散化，即將梁近似的看作是由 個集中個集中質量組成的無質量的梁。當梁作橫向彎曲振動時，質量組成的無質量的梁。當梁作橫向彎曲振動時，用有限個離散點處的橫向位移用有限個離散點處的橫向位移 來代替真實的、連續的動撓來代替真實的

3、、連續的動撓度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的度曲線。顯然，采用這種方法得到的解只是梁的真實解的一種近似。隨著離散點的數目不斷增加，真實解的一種近似。隨著離散點的數目不斷增加，所得到的解將逐漸收斂于梁的真實解。所得到的解將逐漸收斂于梁的真實解。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續系統連續系統n)(,),(),(21twtwtwn連續系統具有連續系統具有連續分布的質量和彈性連續分布的質量和彈性，它的振動，它的振動規律要用規律要用時間和空間坐標的連續函數時間和空間坐標的連續函數來描述，其來描述，其運動微分方程是運動微分方程是偏微分方程偏微分方程。在數學上，離散系。在數學上，

4、離散系統和連續系統代表兩種不同類型的系統。但在本統和連續系統代表兩種不同類型的系統。但在本課程里，離散系統和連續系統只不過是描述同一課程里，離散系統和連續系統只不過是描述同一物理系統的兩個數學模型而已。盡管離散系統的物理系統的兩個數學模型而已。盡管離散系統的振動用常微分方程來描述，連續系統的振動用偏振動用常微分方程來描述，連續系統的振動用偏微分方程來描述，但是在物理本質上以及振動的微分方程來描述，但是在物理本質上以及振動的基本概念、分析方法上連續系統的振動與離散系基本概念、分析方法上連續系統的振動與離散系統的振動是相似的。統的振動是相似的。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續系

5、統連續系統彈性體的振動需要用偏微分方程來描述彈性體的振動需要用偏微分方程來描述 ，不同彈，不同彈性體的振動方程是不同的。只有對一些簡單的、性體的振動方程是不同的。只有對一些簡單的、 規則的彈性體才能得到振動方程的精確解，如均規則的彈性體才能得到振動方程的精確解，如均勻直桿的縱向振動、均勻圓軸的扭轉振動以及均勻直桿的縱向振動、均勻圓軸的扭轉振動以及均勻直梁的橫向振動等等。對于大多數的實際彈性勻直梁的橫向振動等等。對于大多數的實際彈性體的振動，仍然要采用各種近似的離散化方法，體的振動，仍然要采用各種近似的離散化方法，將連續系統轉化為離散系統來處理。但本章討論將連續系統轉化為離散系統來處理。但本章討

6、論的離散化不同于上一章的的離散化不同于上一章的將分析模型離散化將分析模型離散化，而，而是是按固有振型離散化按固有振型離散化。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續系統連續系統梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構件。對梁是彈性體中最常見的，也是最基本的構件。對于橫截面具有兩條對稱軸線的梁，存在著四種形于橫截面具有兩條對稱軸線的梁，存在著四種形式的振動，即式的振動，即垂直平面內的振動垂直平面內的振動、水平面內的振水平面內的振動動、縱向振動縱向振動和和扭轉振動扭轉振動。本章僅介紹梁在垂直。本章僅介紹梁在垂直平面內的橫向振動。假定梁的平面內的橫向振動。假定梁的材料均質材料均質、各向同各向

7、同性性，以及服從虎克定律（表示振動時梁內的應力，以及服從虎克定律（表示振動時梁內的應力不超過材料的比例極限，使得梁的不超過材料的比例極限，使得梁的應力與應變關應力與應變關系是線性的系是線性的）。其次假定振動是微小的，使得）。其次假定振動是微小的，使得應應變與位移的幾何關系也是線性的變與位移的幾何關系也是線性的。最后假定梁在。最后假定梁在平衡狀態下的軸線是一直線，發生振動變形前垂平衡狀態下的軸線是一直線，發生振動變形前垂直于梁軸線的橫截面，在發生振動變形后仍然保直于梁軸線的橫截面，在發生振動變形后仍然保持為平面。持為平面。 Ship Vibration 3.1 3.1 連續系統連續系統 3.2

8、3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動Ship Vibration梁的橫向振動的運動微分方程梁的橫向振動的運動微分方程如圖所示，考慮梁在如圖所示，考慮梁在 平面內的振動。假定發生平面內的振動。假定發生振動變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發振動變形前垂直于梁軸線的橫截面是平面，在發生振動變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于生振動變形后該橫截面仍然是平面且仍然垂直于變形后的梁軸線，即變形后的梁軸線，即忽略了橫截面的剪切變形和忽略了橫截面的剪切變形和轉動慣量的影響轉動慣量的影響，這種梁模型也稱為歐拉，這種梁模型也稱為歐拉-伯努利伯努利梁。梁。Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫

9、向自由振動梁的橫向自由振動xz梁的橫向位移是梁的橫向位移是 ，長度是，長度是 ，橫截面面積，橫截面面積是是 ，橫截面對中性軸的慣性矩是，橫截面對中性軸的慣性矩是 ；梁的密度；梁的密度是是 ，材料的彈性模量是，材料的彈性模量是 ；單位長度梁上作用；單位長度梁上作用的分布外力是的分布外力是 。在梁上。在梁上 處取長為處取長為 的的微段，微段微段，微段 的受力圖如圖所示。的受力圖如圖所示。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動),(txwlAIEdx),(txfxdx由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程 Ship V

10、ibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動dxtxfdxxQQQtwAdx),(22),(22txfxQtwAz化簡為化簡為 再寫出微段繞再寫出微段繞 軸的力矩平衡方程軸的力矩平衡方程 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動022),(2222dxtwAdxdxxQQMdxtxfdxxMMxMQ略去略去 的二次項后，得的二次項后，得 ydx將將 代入代入 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動),(22txfxQtwA),(2222txftwAxM由材料力學知由材料力學知

11、 ，并代入上式，得，并代入上式，得 22xwEIM),(222222txftwAxwEIx上式就是歐拉上式就是歐拉-伯努利梁橫向振動的運動微分方程伯努利梁橫向振動的運動微分方程 。對于等截面梁，則對于等截面梁，則 是常數，上式又可寫成是常數，上式又可寫成 ),(2244txftwAxwEIEIxMQ固有頻率和振型固有頻率和振型在上式中令在上式中令 得到梁橫向自由振動的運得到梁橫向自由振動的運動微分方程動微分方程運動微分方程的解可以用運動微分方程的解可以用 的函數的函數 與與 的簡的簡諧函數的乘積表示，即諧函數的乘積表示，即 其中其中 是是主振型主振型或或振型函數振型函數，即梁上各點按，即梁上各

12、點按振型振型 作同步簡諧振動。作同步簡諧振動。Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動),(2244txftwAxwEI0),(txf02244twAxwEI)(xWxt)sincos)(),(tBtAxWtxw)(xW)(xW將上式代入運動微分方程將上式代入運動微分方程 ，得得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動上式可改寫成上式可改寫成 02244twAxwEI)()(444xWdxxWd0)()(244xAWdxxWdEI)sincos)(),(tBtAxWtxw式中式中 EIA24上述方程的通解是上述方程的

13、通解是 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動也可以表示為也可以表示為 )()(444xWdxxWdxCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(4321根據梁的邊界條件可以確定根據梁的邊界條件可以確定 值及振型函數值及振型函數 中的待定常數。邊界條件要考慮四個量，即撓度、中的待定常數。邊界條件要考慮四個量，即撓度、轉角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個端點都轉角、彎矩和剪力，一般情況下梁的每個端點都與其中的兩個量有關。與其中的兩個量有關。 xjxjxxeCeCeCeCxW4321)()(xW常見的簡單邊界條件常見的簡單邊界條件 有如下幾種。有如下幾

14、種。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動1. 固定端固定端在梁的固定端上撓度在梁的固定端上撓度 和轉角和轉角 等于零，即等于零，即 xw2. 簡支端簡支端 在梁的簡支端上撓度在梁的簡支端上撓度 和彎矩和彎矩 等于等于零，即零，即 ）或（lxx 0w0)(, 0)(dxxdWxWw22xwEIM0)(, 0)(22dxxWdxWShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動3. 自由端自由端 在梁的自由端上彎矩在梁的自由端上彎矩 和和剪力剪力 等于零，即等于零，即 33xwEIQ下面討論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主

15、下面討論在兩種邊界條件下，梁的固有頻率和主振型。振型。 0)(, 0)(3322dxxWddxxWd22xwEIMShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動1. 兩端簡支兩端簡支 這時的邊界條件是這時的邊界條件是 0)(, 00)(, 0220220lxlxxxdxxWdWdxxWdW將將代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(43210sinhsin31lClC042CC0sinhsin31lClCShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動由于由于 可得可得 ，因此應有，

16、因此應有 這是簡支梁的頻率方程。由上式得這是簡支梁的頻率方程。由上式得 0sinhl對應于對應于 的固有頻率是的固有頻率是 0sinhsin0sinhsin0313142lClClClCCC03C0sinlliiilii, 2 , 1i, 2 , 1222iAEIliiEIA24Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動可見，各固有頻率與梁長可見，各固有頻率與梁長 的平方成反比。的平方成反比。 因此主振型函數是因此主振型函數是 前三階主振型如圖所示前三階主振型如圖所示 l, 2 , 1sin)(ixlixWi, 2 , 1222iAEIliixCxCxCxC

17、xWcoshsinhcossin)(4321liiShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動2. 左端固定，右端自由左端固定，右端自由這時的邊界條件是這時的邊界條件是 將將代入代入4個邊界條件，得個邊界條件，得0)(, 0)(0)(, 0332200lxlxxxdxxWddxxWddxxdWWxCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(43210)sinhsin()cosh(cos0)cosh(cos)sinh(sin0021213142llCllCllCllCCCCCShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動因此

18、有因此有 這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個根是這就是懸臂梁的頻率方程。方程的前四個根是 解得解得 0)cosh(cos)sinhsin)(sinh(sin2llllll0)sinhsin()cosh(cos0)cosh(cos)sinh(sin0021213142llCllCllCllCCCCC996.10,855. 7,694. 4,875. 14321llll1coshcosllShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動對應于對應于 的固有頻率是的固有頻率是 前三階主振型如圖所示前三階主振型如圖所示 因此主振型函數是因此主振型函數是 ixxllllx

19、xxWiiiiiiiiisinhsin)cosh(cos)sinh(sincoshcos)(, 2 , 142iAlEIliiEIA24Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動例例：如圖所示，懸臂梁的自由端附加一集中質：如圖所示，懸臂梁的自由端附加一集中質量量 ，將附加質量看作為質點，求頻率方程和主，將附加質量看作為質點，求頻率方程和主振型函數。振型函數。MShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動解：其邊界條件是解：其邊界條件是 )(, 00, 0)0(233220lMWdxWdEIdxWddxdWWlxlxx將將代入

20、代入4個邊界條件，得個邊界條件，得xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(4321004231CCCCShip Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動上面兩式是關于上面兩式是關于 的線性齊次代數方程組，的線性齊次代數方程組，具有非零解的充分必要條件是其系數行列式必須具有非零解的充分必要條件是其系數行列式必須為零，由此得到為零，由此得到 這就是頻率方程。這就是頻率方程。因此主振型函數是因此主振型函數是 0)sinh(sin)cosh(cos12CllCll0)sinh(sin)coshcos()cosh(cos)sinh(sin123223CllMllE

21、ICllMllEI)sinhcoscosh(sin)coshcos1 (23llllMllEI, 2 , 1)sinh(sinsinhsincoshcoscoshcos)(ixxllllxxxWiiiiiiiii21,CC 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動Ship Vibration主振型的正交性主振型的正交性梁作橫向振動時，振型函數也具有正交性。這里梁作橫向振動時，振型函數也具有正交性。這里只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。只討論具有簡單邊界條件的梁的主振型的正交性。取特征值問題的任意兩個解取特征值問題的任意兩個解 和和 代入代入 ，得到，得到 Ship Vibra

22、tion 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動)(,2xWii)(,2xWjj0)()(0)()(244244xAWdxxWdEIxAWdxxWdEIjjjiii0)()(244xAWdxxWdEI以以 乘以左式，以乘以左式，以 乘以右式，并且都乘以右式，并且都沿梁的長度沿梁的長度 對對 進行積分，得進行積分，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動)(xWi)(xWj0)()(0)()(244244xAWdxxWdEIxAWdxxWdEIjjjiiidxWAWdxdxWdEIWdxWAWdxdxWdEIWljijljiljiilij020

23、4402044lx分別對上面兩式左邊進行分別對上面兩式左邊進行兩次分部積分兩次分部積分，得，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動dxWAWdxdxWddxWdEIdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIWljijljiljiljiljiljilji0202222022033033033044dxWAWdxdxWddxWdEIdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIWljiilijlijlijlijlijlij0202222022033033033044d

24、xWAWdxdxWdEIWdxWAWdxdxWdEIWljijljiljiilij0204402044Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動對于前面介紹的任何一種簡單邊界條件，以上二對于前面介紹的任何一種簡單邊界條件，以上二式已積分出來的各項均為零。因此有式已積分出來的各項均為零。因此有 ljijidxWAW0220)(dxWAWdxdxWddxWdEIdxWAWdxdxWddxWdEIljijljiljiilij02022220202222ji ji上面兩式相減，得上面兩式相減，得 如果如果 時，有時，有 ，則由上式得，則由上式得 jidxWAWlji

25、00Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動上式就是梁的上式就是梁的主振型關于質量的正交性主振型關于質量的正交性。 dxWAWdxdxWddxWdEIdxdxWdEIWljiilijlij0202222044jidxdxWdEIWjidxdxWddxWdEIlijlij0004402222將上式代入將上式代入上面兩式就是梁的上面兩式就是梁的主振型關于剛度的正交性主振型關于剛度的正交性。 jidxWAWlji00可得可得Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動令令 dxdxWdEIWdxdxWdEIKdxAWMljjlj

26、pjljpj044022202pjpjKM ,常數常數 分別稱為第分別稱為第 階階主質量主質量及第及第 階階主主剛度剛度。它們之間的關系可以由下式得到。它們之間的關系可以由下式得到即即jdxWAWdxdxWddxWdEIljiilij0202222jjpjpjMK2Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動如果主振型中的常數按下述歸一化條件來確定，如果主振型中的常數按下述歸一化條件來確定，即即 20440222jljjljjpdxdxWdEIWdxdxWdEIK由此得到的主振型函數稱為由此得到的主振型函數稱為正則振型函數正則振型函數，表示，表示為為 。這時相

27、應的第。這時相應的第 階主剛度是階主剛度是 j, 2 , 1102jMdxWAjplj)(xWjShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動梁橫向振動的強迫響應梁橫向振動的強迫響應梁的橫向強迫振動的運動微分方程是梁的橫向強迫振動的運動微分方程是假設運動微分方程的解是假設運動微分方程的解是其中其中 是是正則振型函數正則振型函數， 是是正則坐標正則坐標。 將上式代入將上式代入 ，得，得 )(xWi),(2244txftwAxwEI1)()(),(iiitqxWtxw)(tqi),(2244txftwAxwEI),(1144txfqWAqdxWdEIiiiiii S

28、hip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動上式兩邊乘以上式兩邊乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，有積分，有 利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為 )(xWjxl),(1144txfqWAqdxWdEIiiiiii dxWtxfdxWWAqdxdxWdEIWqljijiliiilji 0104410),( )(2tFqqiiii 上式即是用第上式即是用第 個正則坐標表示的梁的橫向強迫個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運動微分方程。其中振動的運動微分方程。其中 ，稱為第稱為第 個正則坐標的廣義力。個正則坐標的廣義力。 id

29、xxWtxftFlii0)(),()(iShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動假設假設 ，則，則 式中式中如果作用在梁上的載荷不是分布簡諧力如果作用在梁上的載荷不是分布簡諧力 ，而是集中簡諧力，而是集中簡諧力 ，利用狄拉克，利用狄拉克 函數，函數，集中力可以表示為集中力可以表示為tFtdxxWxfdxxWtxftFliliisinsin)()()(),()(000txftxfsin)(),(dxxWxfFli00)()(dxxWtxftFlii0)(),()(txfsin)(tFcsintxFtxfcsin)(),(tFtWFtdxxWxFdxxWtxf

30、tFiclicliisinsin)(sin)()()(),()(000Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動假設梁的初始條件是假設梁的初始條件是 將將 代入上式，有代入上式，有 )(, )()0 ,(201xwtwxwxwt1)()(),(iiitqxWtxw將以上兩式兩邊分別乘以將以上兩式兩邊分別乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，利用正交條件可以得到用正則坐標表示積分，利用正交條件可以得到用正則坐標表示的梁的初始條件是的梁的初始條件是 liiliidxxWxAwqdxxWxAwq0201)()()0()()()0(12011)0()()()0()()

31、()0 ,(iiitiiiqxWxwtwqxWxwxw)(xWAjxlShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動用第用第 個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運個正則坐標表示的梁的橫向強迫振動的運動微分方程是動微分方程是上述運動微分方程的全解是上述運動微分方程的全解是 tFtFtqtqtqiiiiiiiiiisin1sin1sin)0(cos)0()(220220)(2tFqqiiii tFtdxxWxfdxxWtxftFliliisinsin)()()(),()(000liiliidxxWxAwqdxxWxAwq0201)()()0()()()0(iShip

32、 Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動由此即可得到梁在初始條件下對簡諧激勵的響應由此即可得到梁在初始條件下對簡諧激勵的響應12202201sin1sin1sin)0(cos)0()()(),(iiiiiiiiiiiiiitFtFtqtqWtqxWtxwShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動例：如圖所示，一簡支梁在其中點受到常力例：如圖所示，一簡支梁在其中點受到常力 作作用而產生變形，求當力用而產生變形，求當力 突然移去時梁的響應。突然移去時梁的響應。 , 2 , 1222iAEIlii, 2 , 1sin)(ixliCxW

33、iiPP解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型解：前面已求出兩端簡支梁的固有頻率及主振型函數是函數是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動將主振型代入歸一化條件將主振型代入歸一化條件 AlCdxlxiCAdxAWilili21sin10202xliAlxWisin2)(從而得到正則振型函數是從而得到正則振型函數是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動由結構力學得知初始條件是由結構力學得知初始條件是 0)(2432043)()0 ,(20331 xwtwlxllxllxlwlxlxlxwxwxwtstst其中

34、其中 是梁中點的靜撓度。是梁中點的靜撓度。 EIPlw483t sShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動用正則坐標表示的初始條件是用正則坐標表示的初始條件是 , 5 , 3 , 10)0() 1() 1(48sin43sin43)0(21444214423320 iqCEIiAPlilCAwdxlxiClxllxlAwdxlxiClxlxwAqiiiiistllististli因為沒有激勵力，正則廣義力等于零。所以用正因為沒有激勵力，正則廣義力等于零。所以用正則坐標表示的梁的自由振動響應是則坐標表示的梁的自由振動響應是 tqtqiiicos)0()(Sh

35、ip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動因此，梁的自由振動響應是因此，梁的自由振動響應是 , 3 , 142143, 3 , 1214441cossin) 1(2cos) 1(sin)()(),(iiiiiiiiiiitlxiiEIPltCEIiAPllxiCtqxWtxw由上式可見，梁在中點受常力作用產生的靜變形由上式可見，梁在中點受常力作用產生的靜變形只激發對稱振型的振動。只激發對稱振型的振動。 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動例：如圖所示，均勻簡支梁在例：如圖所示，均勻簡支梁在 處作用有一處作用有一正弦激勵正

36、弦激勵 ，求梁的強迫振動響應，梁的，求梁的強迫振動響應，梁的初始條件為零。初始條件為零。 1xx tPsinShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動解：由上例的結果可知正則振型函數解：由上例的結果可知正則振型函數 tlxiPAltdxxxPxWtFliisinsin2sin)()()(101xliAlxWisin2)(用狄拉克用狄拉克 函數把集中力表示成分布力的形式函數把集中力表示成分布力的形式 txxPtxfsin)(),(1正則廣義力是正則廣義力是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動由于初始條件為零，所以用正

37、則坐標表示的梁的由于初始條件為零，所以用正則坐標表示的梁的強迫振動響應是強迫振動響應是 11221sinsinsinsin2)()(),(iiiiiiittlxixliPAltqxWtxw因此，梁的強迫振動響應是因此，梁的強迫振動響應是 tFtFtqiiiiisin1sin1)(220220lxiPAlF10sin2Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運例：如圖所示，簡支梁左端承受正弦支撐運動，動， ，求梁的穩態強迫振動響應。，求梁的穩態強迫振動響應。 twtgsin)(0Ship Vibration 3.3 3.3

38、 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動解：令解：令 lxtgtxwg1)(),(利用材料力學的等截面假設，彎矩與撓度之間的利用材料力學的等截面假設，彎矩與撓度之間的關系是關系是 22),(),(),(xtxwtxwEItxMg0)(2244twAxwwEIg因此，梁振動的運動微分方程是因此，梁振動的運動微分方程是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動令令 ，即，即代入運動微分方程代入運動微分方程 222*24*4twAtwAxwEIg0)(2244twAxwwEIg即即 gwww*gwww*tlxwAtwAxwEIsin1022*24*4Ship Vibr

39、ation 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動運動微分方程的解為運動微分方程的解為 ：式中式中 是正則振型函數，是正則振型函數，代入運動微分方程，得：代入運動微分方程，得： xliAlxWisin2)(1*)()(iiitqxWw)(xWitlxwAtwAxwEIsin1022*24*4tlxwAqWAqdxWdEIiiiiisin102144 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動將上式兩邊分別乘以將上式兩邊分別乘以 并沿梁長并沿梁長 對對 積分，積分，得得 利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為利用正交性及歸一化條件，上式可以簡化為由此

40、可以求得用正則坐標表示的梁的穩態強迫振由此可以求得用正則坐標表示的梁的穩態強迫振動響應是動響應是x)(xWjtlxwAqWAqdxWdEIiiiiisin102144 tdxWlxwAdxWWAqdxdxWdWEIqljijiliilijisin1002101044 ,.2 , 1,sin2022iitwAlqqiii ,.2 , 1,sin122202itiwAlqiilShip Vibration 3.3 3.3 梁的橫向強迫振動梁的橫向強迫振動簡支梁的固有頻率是簡支梁的固有頻率是 代入代入 ，得，得 ), 2 , 1(,222iAEIlii1*)()(iiitqxWw1220212202

41、*1sin1sin2sin12sin2iiiilxiitwtiwAllxiAlw12220012202*1sin121sin1sin1sin1sin2iiiiglxiilxtwlxtwlxiitwwww 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響對梁的橫向自由振動的影響Ship Vibration當梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在當梁的橫截面尺寸與長度相比并不是很小或者在分析高階振動時，就需要考慮轉動慣量和剪切變分析高階振動時，就需要考慮轉動慣量和剪切變形對梁的橫向振動的影響，這時的梁稱為鐵木辛形對梁的橫向振動的影響，這時的梁稱為鐵

42、木辛柯梁。柯梁。Ship Vibration 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響取一微段取一微段 ，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當剪力為零時，微段剪力為零時，微段 的中心線垂直于橫截面，令的中心線垂直于橫截面，令 是由彎矩引起的截面轉角，是由彎矩引起的截面轉角， 是由剪力引起的剪是由剪力引起的剪切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實切角，由彎矩和剪力共同作用引起的梁軸線的實際轉角是際轉角是 ，于是剪切角，于是剪切角Ship Vibrationdxxwxwdx 3.4 3.4

43、 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響利用材料力學的基本公式利用材料力學的基本公式 Ship VibrationkG65kAkGAQxEIM109k式中式中 是截面的剪切修正系數（圓形截面是截面的剪切修正系數（圓形截面 ；矩形截面矩形截面 ），）， 是剪切彈性模量，是剪切彈性模量， 是橫截是橫截面面積。面面積。 xwkGAkGAQ 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程

44、考慮轉動慣量的影響后，寫出微段繞考慮轉動慣量的影響后，寫出微段繞 軸的力矩軸的力矩平衡方程平衡方程 Ship VibrationxQtwAdxxQQQtwAdx2222QxMtIdxtwAdxdxxQQMdxxMMtIdx222222202y 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響zShip VibrationQxMtIxQtwA2222將將 代入上述兩式，得代入上述兩式，得假設梁是等截面的，并由上述兩式中消去假設梁是等截面的，并由上述兩式中消去 ，得，得到鐵木辛柯梁橫向自由振動的運動微分方程到鐵木辛柯梁橫向自由

45、振動的運動微分方程 xwkGAQxEIM,002222xwkGAxEIxtIxwxkGAtwA 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響014422242244twkGItxwkGEItwAxwEIShip Vibration014422242244twkGItxwkGEItwAxwEI式中第三項和第四項表示剪切變形和轉動慣量的式中第三項和第四項表示剪切變形和轉動慣量的影響，上述方程仍可用分離變量法求解。影響，上述方程仍可用分離變量法求解。現以簡支梁為例。假設運動微分方程的解是現以簡支梁為例。假設運動微分方程的解是

46、將上式代入運動微分方程，得將上式代入運動微分方程，得 )sin(sin),(iiiitlxiCtxw01422224iiikGIlikGEIAliEI 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響由于最后一項由于最后一項 與與 相比是微小量，在相比是微小量，在研究剪切變形的影響時可以略去，從而可以得到研究剪切變形的影響時可以略去，從而可以得到式中式中 是不計剪切變形和轉動慣量時簡支是不計剪切變形和轉動慣量時簡支梁的固有頻率。梁的固有頻率。Ship Vibration4liEI42ikGI04222224iiikGIli

47、kGIEliIAliEIkGEAlIiliEIlikGEIAiii121122204222AEIli20 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉動慣量以由上式可以看出，考慮了剪切變形和轉動慣量以后，系統的固有頻率減小了。這是因為系統的固后，系統的固有頻率減小了。這是因為系統的固有頻率取決于它的質量和剛度，考慮剪切變形和有頻率取決于它的質量和剛度，考慮剪切變形和轉動慣量以后，系統的有效質量增加，有效剛度轉動慣量以后，系統的有效質量增加，有效剛度減小，因而導致系統的固有頻率減小。剪切

48、變形減小，因而導致系統的固有頻率減小。剪切變形和轉動慣量對高階頻率的影響更加顯著。和轉動慣量對高階頻率的影響更加顯著。 Ship VibrationkGEAlIii1212220 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響如果僅考慮轉動慣量的影響，則如果僅考慮轉動慣量的影響，則如果僅考慮剪切變形的影響時，則如果僅考慮剪切變形的影響時，則 比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉比較以上二式可以看到，剪切變形的影響要比轉動慣量的影響大。假設動慣量的影響大。假設 ，且梁的橫截面，且梁的橫截面是長方形的，是長方形的， ，

49、則，則即剪切變形的影響是轉動慣量的影響的即剪切變形的影響是轉動慣量的影響的3.2倍。倍。 Ship VibrationkGEAlIii1212220 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響AlIii222021kGAlEIii22202138GE 65k2 . 3)(kGEShip Vibration假設梁的兩端受到軸向拉力假設梁的兩端受到軸向拉力 的作用，且梁在振的作用，且梁在振動過程中梁截面上的軸向力動過程中梁截面上的軸向力 保持不變，如圖所保持不變，如圖所示。示。由牛頓第二定律寫出微段沿由牛頓第二定律寫出微

50、段沿 軸的力平衡方程軸的力平衡方程TT 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響zxQtwAdxxQQQtwAdx2222再寫出微段繞再寫出微段繞 軸的力矩平衡方程軸的力矩平衡方程 ，得，得 略去略去 的二次項后，得的二次項后，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動02222dxtwAdxxwTdxdxxQQMdxxMMxwTxMQydx將將 代入代入 ，得，得 由材料力學知由材料力學知 ，并代入上式，得到，并代入上式，得到軸向受載的均勻歐拉軸向受載的均勻歐拉-伯努利梁橫

51、向自由振動的伯努利梁橫向自由振動的運動微分方程運動微分方程 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的橫向自由振動梁的橫向自由振動0222222xwTxMtwA22xwEIM0222244twAxwTxwEIxwTxMQxQtwA22Ship Vibration假設運動微分方程的解是假設運動微分方程的解是 代入運動微分方程，得代入運動微分方程，得 )sin()(),(txWtxw022244AWdxWdTdxWdEIEIAEIT242,0222244twAxwTxwEI0422244WdxWddxWd令令 ，代入上式，得，代入上式，得 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的

52、橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響Ship Vibration假設上述方程的解是假設上述方程的解是 xCxCxCxCxW24231211coshsinhcossin)(式中式中 4422442142,420)(, 0)(0220 xxdxxWdxW0422244WdxWddxWd以簡支梁為例，其邊界條件是以簡支梁為例，其邊界條件是 0)(, 0)(22lxlxdxxWdxW 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響Ship Vibration將將 代入代入4個邊界條件，得個邊界條

53、件，得利用利用 和和 的系數的行列式為零的條件，得到頻的系數的行列式為零的條件，得到頻率方程率方程由于由于 及及 不為零，因此不為零，因此 xCxCxCxCxW24231211coshsinhcossin)(0sinhsin0sinhsin022231211231142lClClClCCC0)(, 0)(0220 xxdxxWdxW0)(, 0)(22lxlxdxxWdxW0sinhsin)(212221ll21,l2sinh0sin1l 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響1C3CShip Vibration

54、解出解出 , 3 , 2 , 11)(42222224421iEIiTlAEIlilii當當 時，上式即為無軸向力時簡支梁的固有頻時，上式即為無軸向力時簡支梁的固有頻率。如果梁的兩端受到軸向拉力率。如果梁的兩端受到軸向拉力 的作用，梁的的作用，梁的剛度增加，因此梁的固有頻率增加剛度增加，因此梁的固有頻率增加 ；如果將拉力；如果將拉力改為壓力，即用改為壓力，即用 代替代替 ，則固有頻率減小。，則固有頻率減小。當當 時梁將失穩而破壞，臨界壓力時梁將失穩而破壞，臨界壓力0sin1lT0T0)(122EIiTl22lEITTT 3.4 3.4 轉動慣量和剪切變形以及軸向力對梁的橫向轉動慣量和剪切變形以

55、及軸向力對梁的橫向自由振動的影響自由振動的影響 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法Ship Vibration瑞利法瑞利法如果不考慮阻尼的影響，根據能量守恒定律，則如果不考慮阻尼的影響，根據能量守恒定律，則系統的最大動能應該等于系統的最大勢能。瑞利系統的最大動能應該等于系統的最大勢能。瑞利法正是從這一定律出發，估算梁的第一階固有頻法正是從這一定律出發，估算梁的第一階固有頻率（基頻）率（基頻） 。假設梁在假設梁在 處的位移是處的位移是 Ship Vibration 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法x)cos()()sin()(

56、),(txWtwtxWtxwdxAWTdxAWtdxtwATlll022max02220221)(cos2121梁的動能是梁的動能是 梁的勢能等于應變能梁的勢能等于應變能 Ship VibrationdxdxWdEIUdxdxWdEItdxxwEIUlll0222max02222022221)(sin2121maxmaxUT令令 ，可以求得，可以求得 dxAWdxdxWdEIWRll0202222)()(WR利用上式求固有頻率的方法稱為瑞利法。利用上式求固有頻率的方法稱為瑞利法。 稱稱為瑞利商。為瑞利商。 dxAWTl022max21 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動

57、的近似解法瑞利商有幾個重要特性：瑞利商有幾個重要特性：（1）如果假設的振型函數）如果假設的振型函數 與某一階的主振與某一階的主振型相同，則瑞利商就是相應階主振動的特征值；型相同，則瑞利商就是相應階主振動的特征值；（2）瑞利商在固有振型附近具有平穩值，即如）瑞利商在固有振型附近具有平穩值，即如果假設的振型與固有振型相差一個一階微量，則果假設的振型與固有振型相差一個一階微量，則瑞利商與特征值相差一個二階微量；瑞利商與特征值相差一個二階微量；（3）此平穩值是一個極小值，即瑞利商的極小）此平穩值是一個極小值，即瑞利商的極小值就是相應階主振動的特征值。值就是相應階主振動的特征值。Ship Vibrati

58、on)(xW 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法一般在選擇振型函數時，最好是既滿足幾何邊界一般在選擇振型函數時，最好是既滿足幾何邊界條件，又滿足力邊界條件，這樣可以得到比較好條件，又滿足力邊界條件，這樣可以得到比較好的近似結果。但至少要滿足幾何邊界條件，不然的近似結果。但至少要滿足幾何邊界條件，不然會使計算結果誤差過大，以致毫無意義。由于高會使計算結果誤差過大，以致毫無意義。由于高階振型函數較難選取，因此瑞利法一般僅用于求階振型函數較難選取，因此瑞利法一般僅用于求解第一階固有頻率。對于梁，通常將振型函數解第一階固有頻率。對于梁，通常將振型函數 取為靜撓度曲線就

59、可以得到精度較好的基取為靜撓度曲線就可以得到精度較好的基頻。當假定的振型函數偏離真實振型時，相當于頻。當假定的振型函數偏離真實振型時，相當于給系統施加了約束，也就相當于給系統增加了剛給系統施加了約束，也就相當于給系統增加了剛度，所以計算得到的固有頻率偏高。因此，選用度，所以計算得到的固有頻率偏高。因此，選用不同的振型函數而得到不同的計算結果時，應該不同的振型函數而得到不同的計算結果時，應該取最小的值。取最小的值。Ship Vibration)(xW 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法梁的橫向自由振動的近似解法如果在梁上有附加質量或彈性支承，則只要在計如果在梁上有附加質量或彈性支承，則只

60、要在計算梁的動能和勢能時計入附加質量的動能和彈性算梁的動能和勢能時計入附加質量的動能和彈性支承的勢能就可以了。例如在梁上支承的勢能就可以了。例如在梁上 處有集中質處有集中質量量 ，則梁的最大動能是，則梁的最大動能是 在梁上在梁上 處有拉壓彈簧常數為處有拉壓彈簧常數為 和扭轉彈簧常數和扭轉彈簧常數為為 的彈性支承時，則梁的最大勢能是的彈性支承時，則梁的最大勢能是Ship Vibrationix), 2 , 1(iminiiilxWmdxAWT12022max)(21ixikik220222max)()(21dxxdWkxWkdxdxWdEIUiiiil 3.5 3.5 梁的橫向自由振動的近似解法