1、1(1)5. 在下列句子中隨機(jī)地取一單詞在下列句子中隨機(jī)地取一單詞,以以X表示取到的單詞所包含的表示取到的單詞所包含的字母?jìng)€(gè)數(shù)字母?jìng)€(gè)數(shù),寫(xiě)出寫(xiě)出X的分布律并求的分布律并求E(X).“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”解解 共有共有8個(gè)單詞個(gè)單詞,隨機(jī)取到每個(gè)單詞的概率都是隨機(jī)取到每個(gè)單詞的概率都是1/8, X 2 3 4 9 pk 1/8 5/8 1/8 1/8 415819814853812)( XE 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里,某電某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X(以分計(jì)以分計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變

2、量,其概率密度為其概率密度為 其其它它, 030001500),3000(15000,)(221500115001xxxxxf求求E(X). dxxxfXE)()(解解dxxxdxx 3000150021500115000215001)3000(2230001500231500115000315001)1500(3232xxx 1500)1000()500(4500 X的分布律為的分布律為X的取值為的取值為2,3,4,9,6.7.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求求E(X),E(X2),E(3X2+5).解解 2 . 03 . 023

3、 . 004 . 0)2()(31 kkkpxXE8 . 23 . 023 . 004 . 0)2()(2223122 kkkpxXE4 .133 . 0 5233 . 0 5034 . 0 5) 2( 3) 53() 53(2223122 kkkpxXE或或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 3 2.8 + 5 =13.4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 0, 00,)(xxexfx求求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.解解dxxedxxxfXEx 02)(2)2(2)( 2 2)(20000 xxxxedxexeexddxeedxxfeeEx

4、xxX 0222)()(31310303 xxedxe8.設(shè)設(shè)( (X,Y)的分布律為的分布律為X 1 2 3 Y 0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 -1 0.2 0.1 0.0PX=i 0.4 0.2 0.41.0PY=j0.30.40.3(1)求求E(X),E(Y);(2)設(shè)設(shè)Z=Y/X,求求E(Z);(3)設(shè)設(shè)Z= (X- -Y)2,求求E(Z).解解(1)先求出關(guān)于先求出關(guān)于X,Y的邊緣分布律如右的邊緣分布律如右故故 E(X)=1 0.4+2 0.2+3 0.4=2E(Y)=-1 0.3+0 0.4+1 0.3=0(2)先求出先求出Z=Y/X的分布律如下的分布律如

5、下Zpk-10.2-1/20.1-1/30.000.41/30.11/20.110.1故故1511 . 011 . 0211 . 0314 . 000)31(1 . 0)21(2 . 0) 1()( ZE(3)先求出先求出Z=(X-Y)2的分布律如下的分布律如下Zpk220.2320.1420.0120.1220.0320.3020.1120.1220.1整理得整理得Zpk00.110.240.390.4故故 E(Z)=0 0.1+1 0.2+4 0.3+9 0.4=59.設(shè)設(shè)( (X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 010 ,12),(2xyyyxf求求E(X),E(Y),E(XY

6、),E(X2+Y2).xoy11y=x解解 如圖如圖,陰影部份是陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域不為零的區(qū)域 dxdyyxxfXE),()( 10410025/4412dxxdyyxdxx dxdyyxyfYE),()( 10410035/3312dxxdyydxx dxdyyxxyfXYE),()( 10510032/1312dxxdyyxdxx dxdyyxfyxYXE),()()(2222 1004100221212xxdyydxdyydxx 10101055515165325124dxxdxxdxx也可以先求邊緣概率密度也可以先求邊緣概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它,

7、010 ,412032xxdyyx dxyxfyfY),()( 其其它它, 010 , )(12121322yyydxyy dxxxfXEX)()( 1045/44dxx dyyyfYEY)()( 104353)5141(12)(12dxyy11. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計(jì)以年計(jì))服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, 概率密度為概率密度為 0,00,41)(4xxexfx工廠規(guī)定工廠規(guī)定,出售的設(shè)備若在售出一年出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需化費(fèi)廠方需化

8、費(fèi)300元元. 試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. .解解 設(shè)設(shè)Y(元元)表示廠方出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利表示廠方出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利,則則 Y只能取兩個(gè)值只能取兩個(gè)值: Y=100 和和 Y=100-300= -200 .而而 Y=100 時(shí)時(shí),設(shè)備的壽命必須在一年以上設(shè)備的壽命必須在一年以上,即即X 1故故 PY=100=PX 1411441141)( eedxedxxfxx而而 PY= -200=1-PY=100411 e或或 =PX0是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X).解解 法一法一:利用利用2022 dtet令令t=x/ ,則則20222 dxe

9、x dxxxfXE)()()(2222202022 xxexddxex 202022222 dxexexx dxxfxXE)()(22)(22222022023 xxedxdxex 2022020222202222222 xxxedxxeex22224)()()( XEXEXD法二法二:利用利用 函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì).)21 (, 1) 1 (),() 1(),0( ,)(01 aaaadtetata令令 t=x2/2 2 ,則則dttdxtx2,2 dtetdttteXEtt 0210222)( 2)21(212)23(2 22020223322)2(222)2()( dtted

10、ttetXEtt19.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從服從 分布分布,其概率密度為其概率密度為 0, 0, 0,)(1)(1xxexxfx 其中其中 0, 0是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X).解解 0)(1)()(dxexdxxxfXEx 令令 t=x/ , 則則 x= t, dx= dt , )()1()()(0dtetXEt 0122)(1)()(dxexdxxfxXEx 222012)1()()1()1()()2()( dtettD(X)=E(X2)- -E(X)2= ( +1) 2- 2 2= 2討論討論:(1)當(dāng)當(dāng) =1時(shí)時(shí),得到參數(shù)為得到參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,E(X)= ,D

11、(X)= 2 .(2)當(dāng)當(dāng) =n/2, =2時(shí)時(shí),得到自由度為得到自由度為n的的 2分布分布,E(X)=n,D(X)=2n .19.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布服從幾何分布,其分布律為其分布律為PX=k=p(1-p)k-1 ,k=1,2,其中其中0p1是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X).解解 先復(fù)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)先復(fù)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)當(dāng)當(dāng)|x|Y=PX-Y0=PZ20=1-PZ2 09798.0)05.2(11)1525800(1 PX+Y1400=1-PX+Y 14001539.08461.01)02.1(1)152513601400(1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立相

12、互獨(dú)立,且且 XN(720, 302), YN(640, 252) ,求求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布的分布,并求概率并求概率PXY,PX+Y1400.解解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 .E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2 720+640=2080D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4 900+625=4225=652故故 Z1N(2080,652)22.(2)28.28.設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量( (X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 01,1),(22yxyxf 試驗(yàn)證試驗(yàn)證X和和Y是不

13、相關(guān)的是不相關(guān)的, 但但X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的.解解 先求邊緣概率密度先求邊緣概率密度, dyyxfxfX),()(xy1-121xy 21xy 其其它它, 011,12121122xxdyxx dxyxfyfY),()(同理同理 其其它它, 011,12121122yydxyy 顯然顯然,在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi),即即 時(shí)時(shí), 122 yx 1),()1)(1 (4)()(222 yxfyxyfxfYX因此因此X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. dxxxfXEX)()(012211 dxxx 同理同理0)()( dyyyfYEY dxdyyxxyfXYE),()(0111112

14、2 xxydyxdx Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 0)()(),( YDXDYXCovXY 因此因此X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的.29. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X,Y的分布律為的分布律為X -1 0 1 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 -1 1/8 1/8 1/8PX=i 3/8 2/8 3/81.0PY=j3/82/83/8驗(yàn)證驗(yàn)證X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的, 但但X和和Y不是相不是相互獨(dú)立的互獨(dú)立的. 解解 先求出關(guān)于先求出關(guān)于X,Y的邊緣分布律如右的邊緣分布律如右顯然顯然,對(duì)每一組對(duì)每一組(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有都

15、有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此因此X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的.0831820831)( XE0831820831)( YE81)1(0811)1(810)1(81)1()1()( XYE08101811181)1(18110000 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 0)()(),( YDXDYXCovXY 因此因此X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的.30.設(shè)設(shè)A和和B是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的兩個(gè)事件的兩個(gè)事件,且且P(A)0,P(B)0并定義隨機(jī)變量并定義隨機(jī)變量X,Y如右如右X=1, 若若A發(fā)生發(fā)生0, 若若A不發(fā)生不發(fā)生Y=1, 若若B發(fā)生發(fā)生0, 若若B不

16、發(fā)生不發(fā)生證明證明,若若 XY=0,則則X和和Y必定相互獨(dú)立必定相互獨(dú)立.證證 PX=1=P(A), 故故PX=0=1-P(A),PY=1=P(B), 故故PY=0=1-P(B),由此得由此得X,Y的邊緣分布并設(shè)其聯(lián)合分布如右的邊緣分布并設(shè)其聯(lián)合分布如右X 0 1 Y 0 a11 a12 1 a21 a22PX=i 1-P(A) P(A)1.0PY=j 1-P(B)P(B)由表中得由表中得 a11+a21=1-P(A) a12+a22=P(A) a11+a12=1-P(B) a21+a22=P(B) 顯然顯然E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而而 E(XY)=0 0 a11+1 0 a1

17、2+0 1 a21+1 1 a22=a22 由于由于 XY=0,故故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,從而有從而有 a22=E(XY)=E(X)E(Y)=P(A)P(B)代入代入得得 a12=P(A)-a22=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B) 代入代入 a21=P(B)-a22=P(B)-P(A)P(B)=1-P(A) P(B)代入代入a11=1-P(B)-a12=1-P(B)P(A)1-P(B)=1-P(A)1-P(B) 由此可見(jiàn)完全滿(mǎn)足由此可見(jiàn)完全滿(mǎn)足PX=i,Y=j=PX=iPY=j(i,j=0,1), X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立31.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量

18、(X,Y)具有具有概率密度概率密度 其其它它, 010 ,| , 1),(xxyyxf求求E(X),E(Y),Cov(X,Y).解解 如圖如圖,陰影部份是陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域不為零的區(qū)域GxyGx=yx=-y11-10 dxdyyxxfXE),()( 10210322dxxdyxdxxx dxdyyxyfYE),()(010 xxydydx dxdyyxxyfXYE),()(010 xxydyxdxCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.法一法一:法二法二:先求出邊緣概率密度先求出邊緣概率密度(利用利用p86.14的結(jié)果的結(jié)果) 其其它它, 010 ,21)(xxdyxfxxX 其其它它, 01| |,|1)(yyyfY dxxxfXEX)()(322102 dxx dyy