1、等 差 數 列鄭州一中鄭州一中第一課時第一課時問題問題：觀察下面的數列并思考這些數列有什么共同特點？：觀察下面的數列并思考這些數列有什么共同特點？1111(1) 21, 21 , 22, 22, 23, 23, 24, 24;2222(2) 38, 40, 42, 44,分析：分析：對于數列對于數列(1)(1)，從第二項起每一項與前一項的差都等于，從第二項起每一項與前一項的差都等于 ； 12對于數列對于數列(2)(2)，從第二項起每一項與前一項的差都等于，從第二項起每一項與前一項的差都等于2 2 ； 對于數列對于數列(3)(3)，從第二項起每一項與前一項的差都等于，從第二項起每一項與前一項的差

2、都等于500500； 總結：總結： 這些數列這些數列從第二項起，每一項與前一項的差都等于從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數同一個常數. 一、等差數列的定義一、等差數列的定義 一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于前一項的差等于同一個常數同一個常數，那么這個數列就叫做，那么這個數列就叫做等差等差數列數列，這個常數叫做等差數列的，這個常數叫做等差數列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d 表示表示. 如果等差數列如果等差數列 的首項是的首項是 ，公差是，公差是 ，那么根，那么根據等差數列的定義可以得到以下結論：據等差

3、數列的定義可以得到以下結論：na 1ad數列數列 為等差數列為等差數列na nn 12132nn 1n 1nnn 1aaddn2aaaaaa(n2)aaaa(n2). ，為為常常數數例例1判斷下面數列是否為等差數列判斷下面數列是否為等差數列.(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,;(2) 1, 2, 4, 7, （2 2）不是）不是. .因為從第因為從第2項起后項與前項的差是：項起后項與前項的差是：1，2， 3，4，5，是常數，但不是同一常數是常數，但不是同一常數. .解：解： （1 1）是）是. .因為從第因為從第2項起后項與前項的差都是項起后項與前項的差都是1，符，符 合等

4、差數列的定義合等差數列的定義. . （3 3）是）是. .因為從第因為從第2項起后項與前項的差都是項起后項與前項的差都是0，符，符 合等差數列的定義合等差數列的定義. .注注： 1、等差數列要求從第、等差數列要求從第2項起，后一項與前一項項起，后一項與前一項. 2、作差的結果要求是、作差的結果要求是二、等差數列的通項公式二、等差數列的通項公式 如果等差數列如果等差數列 的首項是的首項是 ，公差是，公差是 ，那么根，那么根據等差數列的定義有：據等差數列的定義有：na 1ad213243nn 1aadaadaadaad將左邊的將左邊的n-1個式子迭加可得：個式子迭加可得：n12132nn 1n1a

5、a(aa ) (aa )(aa)(n 1)d,aa(n 1)d.：即即故：等差數列的通項公式是故：等差數列的通項公式是 n1aa(n1)d. 當當n =1時，上式兩邊都等于時，上式兩邊都等于 a1 . nN*，公式成立，公式成立. 即這個等差數列的首項是即這個等差數列的首項是2，公差是，公差是3.例例2在等差數列在等差數列 中，已知中，已知 求首項求首項 與公差與公差d.na 512a10, a31,1a解：由題意可知解：由題意可知11a4d10,a11d31.解得：解得：1a2,d3. 注：注：等差數列的通項公式等差數列的通項公式 a an n = a = a1 1+(n-1)d +(n-1

6、)d 中，中，a an n, a, a1 1, , n n，d d 這四個變量這四個變量 ，知道其中三個量就可以求余，知道其中三個量就可以求余下的一個量，下的一個量，知三求一知三求一. . 三等差中項三等差中項 如果如果 a, A, b 成等差數列，那么成等差數列，那么 A 叫做叫做 a 與與 b 的的等差中項等差中項 .由等差中項的定義可知，由等差中項的定義可知， a, A, b 滿足關系：滿足關系：abbAAaAb2Aa (a2Ab)2 或意義：意義： 任意兩個數都有等差中項，并且這個等差中項是任意兩個數都有等差中項，并且這個等差中項是唯一的唯一的.當當 a=b 時，時，A = a = b

7、 .例例3已知數列的通項公式為已知數列的通項公式為 ，其中，其中 p, q, 是是 常數，且常數，且 ，那么這個數列是否一定是等差數，那么這個數列是否一定是等差數 列？如果是，其首項與公差是什么？列？如果是，其首項與公差是什么？ napnqp0分析：由等差數列的定義，要判斷分析：由等差數列的定義，要判斷 是不是等差數列，是不是等差數列， 只要看只要看 是不是一個與是不是一個與n 無關的無關的 常數就行了常數就行了.na nn 1aa(n2)解：取數列解：取數列 中的任意相鄰兩項中的任意相鄰兩項 與與na n 1ana (n2),nn 1aa(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 這是一個

8、與這是一個與 n 無關的常數，所以無關的常數，所以 是等差數列，是等差數列，公差是公差是p. 在通項公式中令在通項公式中令 n1，得，得 ，所以這個，所以這個等差數列的首項是等差數列的首項是 p+q，公差是，公差是 p.na 1apq注：等差數列的通項公式可以表示為注：等差數列的通項公式可以表示為 ，其中，其中 p, q 是常數是常數. 當當 時，它是關于時，它是關于 n 的一次式，的一次式， 因此從圖像上看，表示這個數列的各點均在一次函因此從圖像上看，表示這個數列的各點均在一次函 數數 的圖像上，其坐標為的圖像上，其坐標為 .napnqp0ypxqn(n,a ) 1 1、等差數列的概念、等差數列的概念. .必須從第必須從第2 2項起后項減去前項，項起后項減去前項，并且差是同一常數并且差是同一常數. .四小結四小結 2 2、等差數列的通項公式、等差數列的通項公式 an n = = a1 1+(