1、1 . 設總體 X 服從正態分布其中 是已知的而是未知的 ,(1) 求(2) 指出解解:之中那些是統計量,(1) 2( ,),N 的聯合概率密度函數;那些不是統計量,2習題習題6 6 答案與提示答案與提示(36)(36)的一個樣本, 231232123132123,3 ,min(,),iiXXXXXXXXXX123(,)X XX2( ,)N 為什么?123,XXX32211()231().2iiXe123(,)XXX1232123123( ,; ,)( )()()XXXf x x xfxfxfx 222312222()()()222111222xxxeee來自該總體的一個樣本.123(,)XX

2、X因為是來自正態總體所以獨立同分布,其聯合概率密度函數為(2) 都是統計量,因為它們不含未知參數.設總體 X 服從參數為 p 的(01)分布,2.含有未知參數(1) 221niiX而不是統計量,2.(2) 其中p 未知, 因為其中12321231323,3 , min(,),XXXXXXXXX123(,)XXX是取自該總體的一個樣本.212112312() , 3, min(,) max(,)XXpXXXXXX寫出該樣本的樣本空間和聯合概率密度函數;指出之中那些是統計量,那些不是統計量, 為什么?(3) 如果(0,1,0)是該樣本的一個觀測值, 那么此樣本平均值和樣本方差分別是多少？ 不是統計

3、量,解解:11(010).33X (1)(2)而是統計量,( , , ): , ,(0,1)x y zx y z 1231233123( ,; )(1),0,1,1,2,3.xxxxxxif x x xpppxi因為其中含有(3)22221111(0)(1)(0) 3 1333S 1 141()2 9991 62 921212312() , min(,) max(,)XXXXXXX13pX1.3因為其中不含有未知參數 .未知參數 p . 求 X 的經驗分布函數并作圖 . 0,4x 1,4010 x 10( )Fx 3. 隨機地觀察總體 X ,得10個數據如下;3.2 , 2.5 , 4 , 解

4、解:經驗分布函數為:將數據按從小到大的順序重新排列為:2, 0210 x4, 22.510 x2.5 , 0 , 3 , 2.5 , 4 , 2 , 2 .4 , 0 , 2 , 2 , 2.5 , 2.5 , 2.5 , 3 , 3.2 , 4 .7, 2.5310 x8, 33.210 x1,4x 9, 3.2410 x經驗分布函數圖形為:41x3y110210410710910810o42 2.53.2(1)測得20個毛坯質量(單位:g) 如下:185,187,192,195,200,202,202,205,206,207,1(185187227)20X 及二階中心矩；求樣本均值、樣本方

5、差、樣本的二階原點矩4.207,208,210,214,215,215,216,218,218,227.(2)樣本值按區間(183.5,192.5,(192.5,201.5,(201.5,210.5(210.5,219.5,(219.5,228.5分為5組, 寫出分組統計表(包括各組范圍、組中值、頻數、頻率、直方圖縱坐標)并畫出直方圖.解：解： (1)2221(185206.45)(187206.45)201S 2(227206.45) 樣本均值樣本方差206.45118.99722221(185187227 )20M 樣本二階中心矩樣本二階原點矩(2)各組范圍組中值2221(185206.4

6、5)(187206.45)20M 2(227206.45) 42734.65113.048頻數頻率直方圖縱坐標183.5 192.5192.5 201.5201.5 210.5210.5 219.5219.5 228.5224215206197188328610.150.100.400.300.053/1802/1808/1806/1802/180畫直方圖183.5oxy192.5 201.5 210.5 219.5228.58180618031802180(1)從某校中隨機抽出100名學生測量其身高情況得(單位:cm):1(156 10160 1416426100X 5.(2)作出學生身高的

7、直方圖計算樣本均值和樣本方差(各組以組中值作為樣本中的數值)解：解：(1)222110(156166)14(160166)1001S 22226(164166)28(168166)12(172166)樣本均值樣本方差16633.78學生數身高158 162154 158162 166166 170170 174174 178178 18210142628128216828172 12176 81802) 228(176166)2(180166) 各組范圍組中值頻數頻率直方圖縱坐標154 158158 162162 166166 170170 17417216816416015610142628

8、120.100.140.260.280.120.0250.0350.0650.070.03174 178178 182176180820.080.020.020.005畫直方圖154oxy158 162 166 170 1740.05178 182擊中靶子的環數如下某射手進行20次獨立、重復射擊,6.解：解：試寫出樣本的頻率分布,再寫出經驗分布函數并作其圖像.頻數環數210987654309420頻數環數2109876543094200.1頻率0.15000.10.450.20,4x 0.1 , 46x20( )Fx 經驗分布函數為:0.3 , 67x0.75 , 79x0.9 , 910 x

9、1 ,10 x 經驗分布函數圖形為:y0.1xo0.750.310.947689107. 試證明證證:22211()()()nniiiiXXXan Xa其中a 是根據題目所選定的一常數以便化簡計算.21()niiXX21()()niiXaXa221()2()()() niiiXaXa XaXa2211()2()()()nniiiiXaXaXan Xa2211()2()()()nniiiinXaXaXan Xan22111()2 ()()()nniiiiXan XaXnan Xan221()() .niiXan Xa證畢.2221()2 ()()niiXan Xan Xa設樣本8.樣本平均值和樣

10、本方差簡化計算如下:證證:的平均值作變換12(,)nXXX2,xS得到X它的平均值試證明:為樣本,和樣本方差,iiXaYc12,nY YYY和樣本方差2.yS22,.xyXacY ScS12(,)nXXX則樣本均值為11,niiXXn作變換,iiXaYc得到12,nY YY則11niiYYn11niiXanc11()niiXanc111niiXnancnc11 1niiaXc nc1,aXcc,cYXa.XacY2211()1nyiiSYYn證畢.211()1niiXaYnc211()1niiXacYncc211()1niiXaXancc211()1niiXXnc22111()1niiXXcn

11、221,xSc222.xySc S(已證明)XacY容量為10的樣本頻數分布為:9.解：解：試用變換作化簡計算,頻 數樣本值223.526.128.230.4341X用上題的方法2.S110(23.527)35,Y 10(27)iiYX求樣本均值和樣本方差210(26.127)9,Y 310(28.227)12,Y 410(30.427)34.Y 1127( 352( 9 3)12434 110 10X 127( 70274834)100270.1526.8522212( 351.5)3( 91.5)101yS 489.166211()489.1664.891710100 xySS1( 35)

12、2( 9)3 12434 1)1.510Y 224(121.5)(341.5) 為來自總體 X 的樣本,10. 設總體 X 服從參數為 p 的(01)分布,的數學期望和方差.(1)12(,)nXXX樣本均值X(2)所以樣本方差求:2S的數學期望.解解:(),E Xp()(1).D Xpp(1,2, )iX in11()()niiE XEXn由于所以X獨立且同服從參數為 p 的(1) 樣本均值因為總體 X 服從參數為 p 的(01)分布,12(,)nXXX是來自總體 X 的樣本,(01)分布.的數學期望為:11()niiE Xn1npn. p(2) 樣本方差11()()niiD XDXn2S22

13、11()() )1niiE SEXXn211()niiD Xn21(1)nppn(1).ppn的數學期望為:211() )1niiEXXn2211()1niiEXnXn2211()()11niinE XE Xnn21(1)()11nppnppnnn(1).pp222(1)()()()ppE XD XEXpn2(1)111npppnpnnn(1)(1)1pp nn設總體X 的概率密度為|,| 1( )0,xxf x其它11.X解解:2S1250,XXX為取自X 的一個樣本,(1) 試求:(2) 的數學期望與方差;(1)11()|0.E Xx x dx22()()()D XE XEX的數學期望.4

14、 102|4x121|xx dx1302x dx由于1250,XXX為取自X 的一個樣本,所以iX1,2,50i 獨立且與總體X 同分布.505011111()()()5000.505050iiiiE XEXE X5011()()50iiD XDX1.2則有50211()50iiDX50211()50iiD X250 1/2501.100書末答案有誤書末答案有誤2()E X502211()() )49iiE SEXX(2)502211(50)49iiEXX22211()()()0.22iiiE XD XEX50 1/2501494910050221150()()4949iiE XE X2221

15、1()()()0.100100E XD XEX1.2(3)| 0.02PX 1| 0.02PX ()0.021|1()10XE XPD X 1(2 (0.2)1) 22 (0.2) 220.57930.8414中隨機抽取一容量為36的樣本,12.在總體解解:落在50.8到53.8之間的概率.2(52,6.3 )XN因為總體且樣本容量為36,求樣本均值X26.3(52,).36XN53.85250.8526.3/66.3/6 50.853.8PX查表0.95637+0.872910.82932(52,6.3 ),XN所以樣本均值(1.71)( 1.14) (1.71)1(1.14) (1.71)

16、(1.14)1 13.才能使以下各式成立:試問樣本容量n 分別取多大時,12(,)nXXX設( ,4)N為來自總體的一個樣本,2(1)(| )0.1 ;EX(3)| 0.10.95.PX4()0.1,D Xn(2)(|)0.1 ;EX(1) 解解:1,40.1n40.n 由于4( , ).XNn2(| )()0.1 ,EXD X而總體( ,4),XN其樣本均值則有(2) 由于4( , ),XNn則(0,1).2/XNn令,2/Xun所以(|)|( )E uuu du22022uuedu2.222202()22uued 2202|2ue 40,2n解不等式254.65255.n (3) 22|2

17、XXnunn要使即要| 0.10.95,PX也即要解得 由于222(|)(|)0.12EXE unn|0.10.95,2/2/XPnn0.1210.95,2/n 0.10.975,2/n0.11.96,2/n1.9639.2,0.05n 239.21537.n 14.設( ),t t n證明2(1, )t Fn .證證:由于( ),t t n則存在相互獨立的隨機變量XY與其中(0,1),X N2( ),Y n使得( ),Xt t nY n而22,XtYn又由(0,1),X N得22(1),X由 F 分布的定義可得2(1, )t Fn .證畢.15.(1)并寫出其分布密度函數:解解:2(0,)N

18、12(,)nXXX設為來自總體的一個樣本,試問下列統計量從什么分布?21211;niiYX22211() .niiYXn2(0,) (1,2, ).iXNin因為0(0,1),iXN22212111() ( ).nniiiiXYXniX21(0,),niiXNn(2)(1)12(,)nXXX是來自總體2(0,)N的一個樣本,所以(2)且相互獨立.而10(0,1),niiXNn22212211()(1).niniiiXYXnn 16.122,(2)nXXXn 設是來自總體的簡單隨機樣本,2( ,) (0)N 211,2niiXXn求統計量21(2)nii niYXXX的數學期望 E (Y).2(

19、 ,),1,2,2 .iXNin 由于解解:所以iX且,1,2, .iii nYXXin12,nY YY相互獨立.其樣本均值為122,(2)nXXXn 是來自總體2( ,)N 的樣本,若記則獨立同分布.且( )()()2 .iii nE YE XE X222( )()()2.iii nD YD XD X即有2(2 ,2),1,2, .iYNin而若將1111()2.nniii niiYYXXXnn12,nY YY2(2 ,2)YN的樣本,視為總體則有：所以22211() (1).2niiYYn故2211() 1.2niiEYYn221() 2(1).niiEYYn22211( )(2) ()2

20、(1).nnii niiiE YEXXXEYYn證證:922271() ,2iiSXY27891(),3YXXX122(),YYZS自由度為2 的t 分布.17. 設是來自正態總體 X 的簡單隨機樣本, 129,XXX11261(),6YXXX129,XXX相互獨立, 證明統計量 Z 服從 2( ,),XN 2( ,),1,2,9.iXNi L設總體129,XXX是總體 X 的樣本, 則 且 211261() ( ,).66YXXXN227891() ( ,).33YXXXN由于12YY與相互獨立, 所以2212(0,),63YYN即212(0,),2YYN922271()2iiSXY證畢.

21、由2211()1niiSXXn可知222(1)(1),nSn時, 根據 t 分布的定義知 122() (2).YYZtS12(0,1)./2YYN2222(2).S時, 1222/22/2YYS21222/2YYS與的相互獨立性,由18.的一個分別表示該樣本的均值和方差,解解:設2( ,)N 為來自正態總體的一個樣本,2nXS和且試求統計量21( ,),nXN 是取自正態總體因為 121,nnXXXX與11nnXXnTSn獨立,12(,)nXXX的抽樣分布.12(,)nXXX2( ,)N 樣本,11niiXXn是樣本均值, 所以2( ,).XNn又21( ,),nXN 且121,nnXXXX與相互獨立,則1nXX與也相互獨立,故211(0,),nnXXNn12(0,1),1nXX