1、1一、直線的方向向量。一、直線的方向向量。對于空間任意一條直線對于空間任意一條直線 ，我們把與直線，我們把與直線 平行的平行的非零向量非零向量 叫做叫做直線直線 的一個方向向量的一個方向向量。lldl一條直線一條直線 有無窮多個方向向量，這些方向有無窮多個方向向量，這些方向向量是相互平行的；直線向量是相互平行的；直線 的方向向量的方向向量 也是所有與也是所有與 平行的直線的方向向量。平行的直線的方向向量。lldl如何刻畫空間直線的方向？如何刻畫空間直線的方向？2例例1:已知長方體已知長方體ABCDABCD的棱長的棱長AB=2,AD=4,AA=3.建系如圖建系如圖,求下列直線的一個方求下列直線的

2、一個方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).),30,0()1(AA).30 , 0( AAdAA 的的一一個個方方向向向向量量是是直直線線).3 , 0 , 4()2(CBd).3 , 2 , 4()3(CAd).3, 2 , 4()4(DBd3例例2:已知所有棱長為已知所有棱長為 的正三棱錐的正三棱錐A-BCD,試建立試建立空間直角坐標系空間直角坐標系,確定各棱所在直線的方向向量確

3、定各棱所在直線的方向向量.aABCDEFxyz(O)解解:建系如圖建系如圖,則則B(0,0,0)、).0 ,2,23()0 , 0(aaCaD、),0 ,2,63().0 ,2, 0(.aaFaEBCDFBDE則則的中心的中心是等邊是等邊的中點，的中點，為為設設 ,3632222aaaCFACAF ).36,2,63(aaaA4BEFxyz(O).36,2,63(aaaA)0 , 0(aD).0 ,2,23(aaC);0 , 1 , 0(BDd);0 , 1 , 3(BCd);0 , 1 , 3(CDd);22 , 3, 1 (BAd);20 , 1 (ACd).22, 3, 1(ADd5如何

4、刻畫平面的方向？如何刻畫平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：叫做叫做那么向量那么向量垂直，垂直，面面如果它所在的直線與平如果它所在的直線與平對于非零的空間向量對于非零的空間向量nn ,.的的一一個個法法向向量量平平面面 例例3：長方體中，求下列平面的一個法向量：長方體中，求下列平面的一個法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234).1 , 0 , 0(1 n）解解：（6xyzABCDABCD234則則的的一一個個法法向向量量為為設設平平面面),()2(wvunAACC . 00ACnAAnACnAAn),0 ,

5、2 , 4(),30 , 0( ACAA 020002)4(0)3(00vuwwvuwvu, 21 vu取取).0 , 2 , 1( nAACC的的一一個個法法向向量量平平面面7xyzABCDABCD234的的一一個個法法向向量量，是是平平面面設設),()3(ACDwvun 00ADnACnADnACn),3, 0 , 4(),0 , 2 , 4( ADAC.342034024 uwuvwuvu, 4, 6, 3 wvu得得取取).4,6 ,3( nACD 的的一一個個法法向向量量平平面面8基本命題基本命題1：兩條直線平行或重合的充要條件是它們兩條直線平行或重合的充要條件是它們的方向向量互相平

6、行。的方向向量互相平行。基本命題基本命題2：一條直線與一個平面平行或在一個平面一條直線與一個平面平行或在一個平面內的充要條件是這條直線的方向向量垂內的充要條件是這條直線的方向向量垂直于該平面的法向量直于該平面的法向量 .基本命題基本命題3： 兩個平面平行或重合的充要條件是它們兩個平面平行或重合的充要條件是它們的法向量互相平行的法向量互相平行.nmn0mnnmm9例例4：在正方體中，：在正方體中，E、F分別為分別為BC和和BB的中點，的中點，求證：求證： ADFE.xyzAB證：設正方體的邊長為證：設正方體的邊長為1，建系如圖，建系如圖，則則A(1,0,0)、D(0,0,1)、).21, 1 ,

7、 1()1 , 1 ,21(FE、),21, 0 ,21(),1 , 0 , 1( FEDA,21DAFEDAFE .FEDADAEF顯然不重合，顯然不重合，與與ABCDCDEF10例例5：在長方體：在長方體ABCD-ABCD中，中，., 31,31,DDCCEFDBFBDAEADBDAFEcAAbABaAD平平行行于于平平面面直直線線求求證證：且且上上的的點點，、分分別別是是、 xyzABABCDCDEF),0 , 0 , 0( )0 ,( ), 0 , 0()0 , 0 ,( DbaBcDaA、證證：建建系系如如圖圖，則則),0 ,32,32()3, 0 ,32(baFcaE、).3,32

8、, 0(cbEF .)0 , 0 , 1(,的的一一個個法法向向量量是是平平面面軸軸垂垂直直于于平平面面DDCCnDDCCx .0nEFnEF 內內，不不在在平平面面又又顯顯然然DDCCEF.DDCCEF平面平面直線直線11例例6:已知長方體的棱已知長方體的棱 AD=4,AB=2,AA=3,求證平面求證平面ABD平面平面CDBxyzABCDABCD證：建系如圖，證：建系如圖，B(4,2,3)、C(0,2,3)、D(0,0,3)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、D(0,0,0).).3 , 0 , 4(),0 , 2 , 4(),0 , 2 , 4(),3 , 2 , 0( CBBDDBBA).,(),(22221111wvunwvunBCDBDA 為為的的法法向向量量分分別別和和平平面面設設平平面面 . 02403211111111vuDBnwvBAnDBnBA