1、v1.0可編輯可修改【證法1】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a + b ,所以面積相等.即2212a b 4 - ab c214 ab2整理得 a2b2c2【證法2】（鄒元治證明以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積Lab把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上,12B、F、C三點在一條直線上，G G D三點在一條直線上 v Rt AHAE 叁 Rt AEBF,v1.0可

2、編輯可修改/ AHE = /BEF/AEH + / AHE = 90o/ AEH + / BEF = 90oZ HEF = 180o 90o = 90o一四邊形EFGK一個邊長為c的 正方形.它的面積等于c2.Rt A GDH0 Rt A HAE,/ HGD = /EHA/HGD + /GHD = 90o/EHA + / GHD = 90o又: /GHE = 90o ,/ DHA = 90o + 90o = 180o . ABC皿一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 a b,2,1,2a b 4 -ab c2222./.a b c .【證法3(趙爽證明)以a、b為直角邊(b>a),

3、以c為斜邊作四個全等直角三角形，則每個直角1ab, ，一 ,一 .三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀Rt A DAH 0 Rt A ABE,/ HDA = /EAB22cCav1.0可編輯可修改v / HAD + / HAD = 90o ,/ EAB + / HAD = 90o ,. ABC皿一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.ef = fg =GH =HE = b a , / HEF = 90o . EFGH一個邊長為b a的正方形,它的面積等于33ccCa1 1,24 -ab b a2【證法4】（1876年美國總統Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作

4、兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積2ab.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使v Rt A EAD 0 Rt A CBE,/ ADE = / BECv /AED + /ADE = 90o ,. /AED + /BEC = 90o .丁. /DEC = 180o 90o = 90o . A DEO一個等腰直角三角形,1 c2它的面積等于2c .又: /DAE = 90o , /EBC = 90o. AD/ BCABCD是一個直角梯形，它的面積等于1 2c2,222 . /. a b c【證法5】（項明達證明）做兩個全等的直角三角形,設它們的兩直角邊長分別為a、b （b>a）,斜

5、邊長為c.再做一個邊長c的正方形.把它們拼成如圖所示多邊形,過點Q作QP/ BC交AC于點P.使E、A、C三電在一條直線上.ba過點B作BML PQ垂足為M再過點v1.0可編輯可修改F作FN! PQ垂足為N/ BCA = 90o , QP/ BC,/ MPC = 90o , v BMI±PQ/BMP = 90o , BCPM1一個矩形，即/ MBC = 90o .v /QBM + /MBA = /QBA = 90o ,/ABC + /MBA = /MBC = 90o. /QBM = /ABC 又: /BMP = 90o , B BCA = 90o , BQ = BA = c, Rt

6、A BMQ0 Rt A BCA同理可證 RtAQNF 0 Rt A AEF【證法6】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長 分別為a、b ,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的 一個多邊形，使D E、F在一條直線上.過C作AC 的延長線交DF于點P.V D、E、F 在一條直線上,Rt AGEF 應 Rt A EBD,丁. /EGF = /BEDv /EGF + /GEF = 900/BED + /GEF = 90°/BEG =180) 90o = 90o .又= AB = BE = EG = GA = c ,. ABE%一個邊長為c的正方形.丁. /ABC + /CB

7、E = 90o .v Rt A ABC 0 Rt A EBD/. /ABC = / EBD丁. /EBD + /CBE = 90o .即 / CBD= 9Gb .又 : /BDE = 90o , /BCP = 90o , BC = BD = a .44v1.0可編輯可修改BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFB一個邊長為b的正方形.22-1、一一， -a b S 2 -ab, 設多邊形GHCB的面積為S,則2c2 S 21ab【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 H、C、B二點在一條直線上，連結BF、CD 過 C作 CLA DE 交AB

8、于點M交DE于點L.V AF = AC , AB = AD, /FAB = / GAD A FAB 0 A GAD1 2a: A FAB的面積等于2,A GAD勺面積等于矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM勺面積=a2.2同理可證，矩形MLEB勺面積=b .V正方形ADEB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB勺面積c2 a2 b2 ,即 a2 b2c2.【證法8】（李銳證明）56v1.0可編輯可修改Q又. / QMF = Z ARC = 90 0 ,QM = AR = a Rt A QMF Rt A ARC即 S4S6SiS2S32S4 S5 aSiS6b S3S7S8又; S7S2S

9、8S5S4S6bSiS6S3S7S8 . SiS4S3S2S5=c2設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b （b>a）,斜邊的長為c.做三個邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數字表示面積的編號 （如圖） ZTBE = / ABH = 900 ,/ TBH = Z ABE又 /BTH = / BEA = 90 0 , BT = BE = b , Rt A HBT 9 Rt A ABE. HT = AE = a .GH = GT HT = b a.又 /GHF + Z BHT = 90 0 ,/DBC + / BHT = ZTBH + Z

10、BHT = 90 0 ,/ GHF = / DBC DB = EB ED = b a, / HGF = / BDC = 900 , Rt A HGF 9 Rt A BDC 即 S7 S2 .過 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = Z BEA = 90 0 ,可知 / ABE= / QAM 而 AB = AQ = c ,所以 Rt A ABE Rt A QAM .又 RtAHBT 9 Rt A ABE 所以 Rt A HBT Rt A QAM.即 S8 S5 .由 Rt A ABE 9 Rt A QAM 又得 QM = AE = a , / AQM = / BAEZ AQM + Z

11、FQM = 900 , Z BAE + Z CAR = 90 0 , Z AQM = /BAE/ FQM = / CARcA ba2-aabaa1 ab266 c1 ab22,22即 a b c .【證法9】（辛卜松證明）v1.0可編輯可修改設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD 把正77方形ABCD；iJ分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形把正方形ABCD；iJ分成上方右圖所示的幾個部分，.22. 2ABC面面積為 a b a b 2 ab ;2ab c2.則正方形ABCM面積為,212a b 4 -ab c 2a2 b2 2ab 2ab c2a2

12、 b2 c2,.【證法10】(楊作玫證明) 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b (b>a),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF,AC, AF交GT于F, AF交DT于R 過B作BP!AF,垂足為P.為E, DE交AF于Hv / BAD = 90o , / PAC = 90o ,丁. /DAH = /BAC又: /DHA = 90o , /BCA = 90o ,AD = AB = c , Rt A DHA 0 Rt A BCADH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個矩形, 所以 Rt A

13、 APB 0 Rt A BCA 即 PB =v1.0可編輯可修改CA = b , AP= a,從而 PH = ba.v Rt A DGT 0 Rt A BCA ,Rt A DHA 0 Rt A BCA Rt A DGT 0 Rt A DHA.DH = DG = a , / GDT = / HDA.又: /DGT = 90o , /DHF = 90o , /GDH = /GDT + /TDH = / HDA+ /TDH = 90o , DGFH一個邊長為a的正方形.GF = FH = a . TF±AF, TF = GTGF = ba . TFPB是一個直角梯形，上底TF=b a,下底

14、 BP= b,高 FP=a + (ba).用數字表示面積的編號（如圖）,則以c為邊長的正方形的面積為SiS2S3S4S5S8S3S4abab2 1ab2，S5S8S9S3S4b21 -ab 2S8, b2SiS888把代入,c2S18. b2 S2b2S9 一Si b2S8S8S92 av1.0可編輯可修改【證法11(陳杰證明) 設直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b(b>a),斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、使E、H、M三點在一條直線上.用數b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀, 字表小面積的編號（如圖）.在EH = b上截取ED = a,連結DA DG則 AD = c

15、 .V EM = EH + HM = b + a , ED = a ,DM = EM-ED = b a a = b .又: /CMD = 9Gb , CM = a,/ AED = 90o , AE = b ,Rt A AED 0 Rt ADMC丁. /EAD = /MDC DC = AD = c.v /ADE + ZADC+/MDC =180 ,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90o ,/ ADC = 90o .作AB/ DC CB/ DA則ABCD1一個邊長為c的正方形./ BAF + / FAD = / DAE + / FAD = 90o ,/ BAFW DAE連2g FB,在 A ABF和 A ADE,v AB =AD = c , AE = AF = b , / BAF之 DAE A ABF