1、定義定義., , 22112121的的內內積積與與稱稱為為向向量量令令維維向向量量設設有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn ., 都是列向量都是列向量其中其中內積的矩陣表示內積的矩陣表示yxyxyxT .,)3(;,)2(;,)1(:),( zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 為為實實數數量量維維向向為為其其中中內內積積滿滿足足下下列列運運算算規規律律定義定義).(, 22221或范數或范數的長度的長度維向量維向量稱為稱為令令xnxxxxxxxn 向量的長度具有下列性質：向量的長度具有下列性質：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx 三三角角不不等

2、等式式齊齊次次性性時時當當時時當當非非負負性性 .,1為為單單位位向向量量稱稱時時當當xx ).0( , 1, 2時時當當從從而而有有不不等等式式向向量量的的內內積積滿滿足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx定義定義.,arccos ,0, 0的的夾夾角角與與維維向向量量稱稱為為時時當當yxnyxyxyx ., 0.,0,與與任任何何向向量量都都正正交交則則若若正正交交與與稱稱向向量量時時當當xxyxyx 所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基交基定理定理.,2121線

3、線性性無無關關則則零零向向量量是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的非非維維向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一個個規規范范正正交交基基是是則則稱稱兩兩兩兩正正交交如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設VeeeeeeRVVeeenrrnr 定義定義)., 2 , 1(, ,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表為為中中任任一一向向量量那那么么的的一一個個規規范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化方法.,2121范范正正交交化化這這個個基基規規只只需需把把的的一一個個規規范范正正交交基基要要求求的的一

4、一個個基基是是向向量量空空間間設設aaaVVaaarr.,.,;,;2121111122221111111212211等等價價且且與與兩兩兩兩正正交交則則取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第二步單位化第二步單位化.,1,1,1222111的的一一個個規規范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 定義定義.),( 1為為正正交交矩矩陣陣那那么么稱稱即即滿滿足足階階矩矩陣陣如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一個個規規范范正正交交基基向向量量構構成成向向量量空空間間行行個個列列的的正正交交矩矩陣陣

5、RnAn方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交（列）向量都是單位向量，且兩兩正交AA定義定義若為正交矩陣，則線性變換稱為若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換正交變換正交變換的特性在于保持線段的長度不變正交變換的特性在于保持線段的長度不變.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 則則有有為為正正交交變變換換設設PPxy 定義定義.,的的特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值稱稱為為量量非非零零向向的的特特征征值值稱稱為為方方陣陣這這樣樣的的數數那那么么成成立立使使關關系系式式維維非非零零列列向向量量和和如如果果數數階階矩矩陣陣是

6、是設設 AxAxAxxnnA .)(.0的的特特征征多多項項式式稱稱為為方方陣陣的的特特征征方方程程稱稱為為方方陣陣AEAfAEA .)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 則則有有的的特特征征值值為為若若個個特特征征值值有有階階方方陣陣.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值的特征值是是可逆時可逆時當當其中其中的特征值的特征值是是為任意自然數為任意自然數的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是則則的特征值的特征值是是設設AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 定理定理

7、., , , 21212121征征向向量量是是線線性性無無關關的的即即屬屬于于不不同同特特征征值值的的特特線線性性無無關關則則各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是與與之之對對應應的的特特征征個個特特征征值值的的是是方方陣陣設設ppppppmAmmmm 定理定理 屬于同一個特征值的特征向量的非零線性屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量組合仍是屬于這個特征值的特征向量定義定義.,.,11的的相相似似變變換換矩矩陣陣變變成成稱稱為為把把可可逆逆矩矩陣陣進進行行相相似似變變換換稱稱為為對對進進行行運運算算對對相相似似與與或或說說矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則

8、則稱稱使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階矩矩陣陣都都是是設設BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩陣之間的相似具有矩陣之間的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)對稱性；對稱性；(3)(3)傳遞性傳遞性.,)2( 2121個特征值個特征值的的是是則則相似相似與對角矩陣與對角矩陣若若nAAnn 若與相似，則與的特征多項式若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同相同，從而與的特征值亦相同ABAABB)1(.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk 則有則有為對角陣為對角陣使使若有可逆陣若有可逆陣特別地特別地則則若若(4)

9、(4)能對角化的充分必要條件是有個線能對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量性無關的特征向量AAn(5)(5)有有 個互異的特征值，則個互異的特征值，則 與對角陣相似與對角陣相似AAn.)1(實實數數實實對對稱稱矩矩陣陣的的特特征征值值為為.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向實實對對稱稱矩矩陣陣的的屬屬于于不不同同.,)3(個個線線性性無無關關的的特特征征向向量量的的必必有有則則對對應應重重特特征征值值的的是是實實對對稱稱矩矩陣陣若若rrA .,.)4(1對對角角陣陣個個特特征征值值為為對對角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得則則必必有有正正交交陣陣稱稱陣陣階階實

10、實對對為為即即若若實實對對稱稱矩矩陣陣必必可可對對角角化化nAAPPPnA 定義定義.2 22 ),( ,1, 1311321122222221112121稱稱為為二二次次型型的的二二次次齊齊次次函函數數個個變變量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn ., .,的的秩秩的的秩秩稱稱為為二二次次型型稱稱陣陣對對的的二二次次型型稱稱為為對對稱稱陣陣的的矩矩陣陣為為二二次次型型稱稱其其中中二二次次型型可可記記作作fAAffAAAAxxfTT 二次型與它的矩陣是一一對應的二次型與它的矩陣是一一對應的.,;,稱稱為為實實二二次次型型是是實實數數時時當當稱稱為為復復二

11、二次次型型是是復復數數時時當當fafaijij定義定義).( 2222211或或法法式式稱稱為為二二次次型型的的標標準準形形只只含含平平方方項項的的二二次次型型ykykykfnn ).()(,)1(ARBRBAACCBCT 且且亦亦為為對對稱稱陣陣則則陣陣為為對對稱稱如如果果令令任任給給可可逆逆矩矩陣陣.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中化化為為標標準準形形使使有有正正交交變變換換總總任任給給實實二二次次型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij .,)3(變變換換換換一一般般而而言言不不是是正正交交此此時時所所用用的的

12、可可逆逆線線性性變變形形二二次次型型化化為為標標準準拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把定義定義., 0)(, 0;,),0)0(0)(, 0,)(是負定的是負定的并稱對稱矩陣并稱對稱矩陣為負定二次型為負定二次型則稱則稱都有都有如果對任何如果對任何是正定的是正定的稱對稱矩陣稱對稱矩陣并并為正定二次型為正定二次型則稱則稱顯然顯然都有都有如果對任何如果對任何設有實二次型設有實二次型AfxfxAffxfxAxxxfT .,),0(),0(,212122222112222211數數的的個個數數相相等等中中正正中中正正數數的的個個數數與與則則及及使使及及實實的的可可逆逆變變換換有有兩兩個個它它的的秩

13、秩為為設設有有實實二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf .2)(; ;,21量量化化線線性性變變換換的的不不變變它它們們是是二二次次型型對對于于非非退退差差的的符符號號稱稱為為稱稱為為負負慣慣性性指指數數數數稱稱為為正正慣慣性性指指中中正正數數的的個個數數frpprpNpsNprpkkkr 注意注意;,:)1(npnAxxfT 即即正正慣慣性性指指數數個個系系數數全全為為正正它它的的標標準準形形的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件實實二二次次型型;:)2(特特征征值值全全為為正正的的是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條件件對對稱稱

14、矩矩陣陣AA)., 2 , 1( , 0)1( ,:; 0,; 0; 0 ,:)(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而偶數階主子式為正而偶數階主子式為正式為負式為負奇數階主子奇數階主子是是為負定的充分必要條件為負定的充分必要條件對稱矩陣對稱矩陣即即的各階主子式都為正的各階主子式都為正要條件是要條件是為正定的充分必為正定的充分必對稱矩陣對稱矩陣霍爾維茨定理霍爾維茨定理一、證明所給矩陣為正交矩陣一、證明所給矩陣為正交矩陣二、將線性無關向量組化為正二、將線性無關向量組化為正交單位向量組交單位向量組三、特征值與特征向量的求法三、特征值與

15、特征向量的求法四、已知的特征值，求與四、已知的特征值，求與相關矩陣的特征值相關矩陣的特征值AA五、求方陣的特征多項式五、求方陣的特征多項式六、關于特征值的其它問題六、關于特征值的其它問題七、判斷方陣可否對角化七、判斷方陣可否對角化八、利用正交變換將實對稱八、利用正交變換將實對稱矩陣化為對角陣矩陣化為對角陣九、化二次型為標準形九、化二次型為標準形AA;, 2 , 1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki 或或交條件交條件元素滿足正元素滿足正或行或行證明矩陣的各列證明矩陣的各列方法方法.,2EAAATT 驗驗證證然然后后先先求求出出根根據據正正交交陣陣的的定定義義方方法法

16、.)/(2,為為正正交交矩矩陣陣證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為維維列列向向量量是是設設aaaaEAnEnaTT 例例1 1證明證明.,EAAAATT 證證義義驗驗然然后后根根據據正正交交矩矩陣陣的的定定先先驗驗證證)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA .)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是正交矩陣是正交矩陣時時特別當特別當aaEAaaTT , 0為一非零數為一非零數aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAA

17、TTTTT .是正交矩陣是正交矩陣故故A將線性無關向量組化為正交單位向量組，可將線性無關向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與單位化單位化.,1001,0101,0011321向向量量組組求求與與之之等等價價的的正正交交單單位位無無關關向向量量組組是是線線性性已已知知向向量量 例例2 2解一解一先正交化，再單位化先正交化，再單位化;)1(11 取取,)2(12212正交正交與與使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故得得交交正正與與且且令令, , )3(123322113 kk,

18、21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故得得單單位位化化將將,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 解二解二同時進行正交化與單位化同時進行正交化與單位化并單位化得并單位化得取取,)1(11 111 ;002121 得得正正交交與與使使得得令令,)2(12212 k,21 k,21 .06261612 ,0121212 得得正正交交與與且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21 ,61 .23)32(1)32(1)32(13 ,13131313 .,321為所求之向量組為

19、所求之向量組則則 第三步第三步將每一個特征值代入相應的線性方程組，將每一個特征值代入相應的線性方程組，求出基礎解系，即得該特征值的特征向量求出基礎解系，即得該特征值的特征向量第一步第一步計算的特征多項式；計算的特征多項式；A第二步第二步求出特征多項式的全部根，即得的全部求出特征多項式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A.3242024233和和特特征征向向量量的的全全部部特特征征值值階階實實矩矩陣陣計計算算 A例例3 332422423)( AEf.)1( )8(2 解解第一步計算的特征多項式第一步計算的特征多項式A.,)(的全部特征值的全部特征值即即的全部根的全部根求出特征多項式求出特征多

20、項式第二步第二步Af ., 1, 8, 0)(321全全部部特特征征值值的的為為解解之之得得令令Af .0)(, 811的一個基礎解系的一個基礎解系求相應線性方程組求相應線性方程組對對 xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A , 0524, 0282, 0425321321321xxxxxxxxx.2121 個基礎解系個基礎解系化簡求得此方程組的一化簡求得此方程組的一).0(81111數數為為實實的的全全部部特特征征向向量量為為屬屬于于 kk .021,101:, 0424, 022, 0424:0)(, 122321321321232 基礎解系基礎解系求解得此方程組的一個

21、求解得此方程組的一個的一個基礎解系的一個基礎解系求相應線性方程組求相應線性方程組同理對同理對xxxxxxxxxxAE., 1 32332232是是不不全全為為零零的的實實數數的的全全部部特特征征向向量量為為的的屬屬于于于于是是kkkkA .,0,;321332211是不全為零的實數是不全為零的實數為實數為實數里里這這的全部特征向量為的全部特征向量為從而從而kkkkkkA .,121量量的的特特征征值值與與特特征征向向求求的的特特征征向向量量為為于于屬屬的的全全部部特特征征值值為為階階方方陣陣設設APPAniin 例例4 4解解.1式式它它們們有有相相同同的的特特征征多多項項只只需需證證明明有有

22、相相同同的的特特征征值值與與首首先先證證明明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 AAPAEP 1),( fAEA .,121的的全全部部特特征征值值就就是是APPn .1的特征向量的特征向量屬于屬于其次求其次求 iAPP , iiiA iiAPPE)(1 又又, 0)( iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP iiPAPPE11)( ),()(111 iiiPPAPP 即即 iiPPAEP11)( , 0)(1 iiAEP.11的的特特征征向向量量屬屬于于是是故故 iiAPPP .,)2( ;)1( :,)(,10111的特征多項式的特征多項式求求非奇異時

23、非奇異時當當的特征多項式的特征多項式求求求求其特征多項式為其特征多項式為階方陣階方陣是是設設AAAaaaAEfnATnnnA 例5例5解解AEfTAT )()1(.有相同的特征多項式有相同的特征多項式與與AAT)(AET AE ),( fA A則則的的全全部部特特征征值值是是設設,)2(21An )1()1)(1(21 n ,111211的的全全部部特特征征值值是是An 的特征多項式為的特征多項式為故故A1 AEfA1)(1 .1001101aaaaannn AA的行列式的行列式用特征根計算方陣用特征根計算方陣1.5;,5, 2, 1, 13,323321EABAABA 求求設設個個特特征征值

24、值為為它它的的階階矩矩陣陣是是設設 例例6 6解解.21AAAn來來計計算算要要關關系系的的行行列列式式與與特特征征值值的的重重利利用用 ,5)(23xxxf 令令,321的的全全部部特特征征值值是是因因為為A 故故部部特特征征值值的的全全是是所所以以.5)()31)(23BAAAfifi )(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( .5EA 下下面面求求方法一方法一,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的的所所有有特特征征值值為為所所以以, 2, 1, 1321 的所有特征值為的所有特征值為因為因為A)(5AgEA .72)2()1()1(

25、ggg方法二方法二, 2, 1, 1321 的的所所有有特特征征值值為為因因為為A. 22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,52EAAB ,288 B但但),2)(1)(1()( AEfA所所以以方法三方法三, 2, 1, 1321 的的所所有有特特征征值值為為因因為為A.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA的的可可逆逆性性來來討討論論的的特特征征值值用用方方陣陣AkEA ,2., 0,;, 0,可逆可逆的特征值時的特征值時不是不是當當不可逆不可逆的特征值時的特征值時是是當當AkEAkEAkAkEAkEAk

26、?, 1,)2( ?8 ,)1( ,2是是否否可可逆逆且且的的特特征征值值是是設設是是否否可可逆逆若若階階方方陣陣為為設設EAAAEEAnA 例例7 7解解, 1, 121 的的特特征征值值為為A,)1(2EA .8可可逆逆從從而而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak ., 1,均均可可逆逆對對一一般般地地AkEk 于于是是的的特特征征值值不不是是所所以以因因為為,1, 1)2(A .均為可逆矩陣均為可逆矩陣故故EA . 0)1( , 01 AEAE,)1()(EAAEAEn 又又; 0 EA,)1()(EAEAAEn , 0 EA.),(0,)2(?)1(.00221100不可對角化不

27、可對角化證明證明且至少有一且至少有一如果如果可對角化可對角化在什么條件下在什么條件下階下三角陣階下三角陣是是設設AjiaaaaAnAjinn 例8例8A解解(1)可對角化的充分條件是有個互異的可對角化的充分條件是有個互異的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的的所所有有特特征征值值得得.,), 2 , 1,( 可可對對角角化化時時即即當當時時當當Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令.)2(用用反反證證法法.)1(),(,21

28、1的特征值的特征值是是使使則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣可對角化可對角化若若AnidiagAPPPAin 所所以以可可知知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP ,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000對對角角化化不不可可故故矛矛盾盾這這與與至至少少有有一一個個Ajiaji .,0202120221為為對對角角陣陣使使求求正正交交變變換換設設實實對對稱稱陣陣ATTTA 例例9 9解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步

29、步AxAEi 得得由由對對, 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基礎解系解之得基礎解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx得得由由對對, 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解解之之得得基基礎礎解解系系得得由由對對, 0)2(, 23 xAE , 022, 0232, 0243232121xxxxxxx.2213 解之得基礎解系解之得基礎解系., 3 , , .321兩兩正正交交故故它它們們必必兩兩量量個個不不同同特特征征值值的的特特征征向向的的屬屬于于是是因因為為將將特特征征向向量量正正交交化化第第三三步步

30、A .將特征向量單位化將特征向量單位化第四步第四步得得令令, 3 , 2 , 1, iiii .3/23/23/1,3/23/13/2,3/13/23/2321 ,22121212231),(321 T作作.2000100041 ATT則則.2),(2231321為標準形為標準形用正交變換化用正交變換化xxxxxxf 例10例10.001010100,001010100),(),(321321321 AAxxxxxxxxxxxfT得得實實對對稱稱矩矩陣陣解解第一步將表成矩陣形式第一步將表成矩陣形式f. 1, 1, 0)1( )1(.3212 得得由由的所有特征值的所有特征值求出求出第二步第二步

31、AEA.010,101 , 0)(.211 得得它它的的基基礎礎解解系系解解方方程程組組求求正正交交矩矩陣陣第第三三步步xAET.010,2/102/1, 0,2221112121 得得將它們單位化將它們單位化正交正交與與得得單位化單位化得它的基礎解系得它的基礎解系解方程組解方程組,101 , 0)(33 xAE.2/102/1333 .100010001,),(,132121331為對角陣為對角陣且且為正交矩陣為正交矩陣令令正交正交與與 ATTTT .)(.232221yyyyyyATTyfTyxTTT 作正交變換作正交變換第四步第四步.282102),(.,313221232221321x

32、xxxxxxxxxxxf 性性變變換換并并求求相相應應的的線線準準形形用用配配方方法法化化二二次次型型為為標標例例1 11 1解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(., 應的線性變換應的線性變換并作相并作相的項集中進行配方的項集中進行配方中含中含將將第一步第一步xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作線性變換作線性變換,100010111 , 11 pxpy即即.69),(32232221321yyyyyxxxf 得得.,692

33、32232221并并作作相相應應的的線線性性變變換換項項集集中中進進行行配配方方的的中中含含將將第第二二步步yyyyyyf , 2221為為所所求求標標準準形形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相相應應的的線線性性變變換換為為.)3(32221yyyf 一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3232分分) )特征向量是特征向量是的特征值是的特征值是則方陣則方陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣是是階方陣階方陣是是設設, 2,A,n. 1 AABAAA的的特特征征值值為為則則的的特特征征值值為為三三階階方方陣陣2332, 2 , 1, 1. 2AABA 的的特特征征且且設設ABA 200031141,201034011. 3 yxyBxA,1000000210100002. 4則則相相似似與與已已知知矩矩陣陣 的的矩矩陣陣是是二二次次型型232123222143212432,. 5xxxxxxxxxxxf .4225,. 6323121232221321是是正正定定的的實實二二次次型型時時當當xxxxxtxxxxxxxf 的的特特征征值值為為那那么么二二重重和和值值為為B),( 12對應的二次型是對應的二次型是矩陣矩陣 314122421. 7A二、計算題（共二、計算題（共40分）分）.2)2( ;)