1、課程名稱： ?隨機過程? 課程設計論文 題 目: 平穩時間序列的AR(p)模型的預報學 院： 理學院 專 業： 數學與應用數學 班 級： 10-2班 學生姓名： 徐杰 學生學號： 2021027053 指導教師： 蔡吉花 2021年 12 月 20 日目 錄任務書 3 摘 要41.根本原理 1 1.1 AR(p)模型的定義 12.問題的分析與求解 2 2.1 模型的識別 2 2.1.1 AR(p)序列的自相關函數2 2.1.2 AR(p)模型的偏相關函數32.1.3 模型階數確實定42.2 樣本的自相關和偏相關函數 4 2.3 AR(p)模型的參數估計 5 2.4 AR(p)模型的預報62.5

2、 最小方差預報 6 2.6 AR(p)序列的預報63.計算程序與結果73.1 舉例：地震震級的預測 73.2 問題分析73.3 模型的求解與其結果 73.3.1 模型的識別程序73.3.2 模型階數及確定103.3.3 樣模型預報公式103.3.4 模型預報114.預期結論與展望 114.1 結論114.2 展望11參考文獻12附錄13評 閱 書 17 ?隨機過程? 課程設計任務書姓名徐杰學號2021027053指導教師蔡吉花設計題目利用平穩時間序列的AR(P)模型的預報理論要點 時間序列分析是根據系統觀測得到的時間序列數據判別時間序列模型以及怎樣確定模型的參數和階數，確定平穩時間序列模型的類

3、型，看是否是要研究的AR(p)模型.然后運用此模型進行相關分析。設計目標 通過課程設計，獨立完成所給出的課題。通過課題的理論設計和在計算機中實驗調試代碼，加深計算理論知識的理解，培養計算軟件開發的實踐技能，提高分析解決具體問題的能力。研究方法步驟獲取被觀測系統時間序列數據。根據數據作相關圖，進行相關分析，求自相關函數和偏相關函數。判斷該數據符合AR(p)模型,最后由參數估計求出AR(p)模型，并進行預報。預期結果 由的一組平穩時間序列的數據，編寫matlab程序求出自相關函數和偏相關函數,并且畫圖判別平穩時間序列符合AR(p)模型,由參數估計求出AR(p)模型.方案與進步的安排課程安排一周，分

4、 4 次完成：第一次1天：審題并查找相關資料第二次2-3天：對相關資料進行整理和分析第三次 (4-6天)：編寫程序進行求解并撰寫論文第四次7 天：對論文進行整體檢查和排版參考資料1張善文，雷英杰，馮有前.MATLAB在時間序列分析中的應用.西 安電子科技大學出版社.2007.42劉次華.隨機過程.華中科技大學出版社.2021.83MATLAB根底及數學軟件 陽明盛 熊西文 林建華 大連理工大學出版社 2003填寫時間 摘 要 在人們的社會活動和科學實驗中，經常會碰到按照一定的順序觀察的到的數據，如股票市場的每日波動，氣象變化，某工廠裝船貨物數量的月度序列，公路事故的周度序列，某化工生產按小時觀

5、測的產量，等等，且這些數據之間具有相依性。人們要根據這些數據進行觀察、研究，尋找它的變化開展規律來擬合某種最優的數學模型，用以預測未來的開展趨勢。 平穩時間序列在自然科學、工程技術及社會、經濟學的建模分析中起著非常重要的作用，平穩時間序列的AR(p)模型的主要分析方法是：通過分析平穩時間序列的統計規律，構造擬合它的最正確線性模型，利用模型預報時間序列的未來取值，或用來進行分析和控制。 本文主要研究自回歸模型(線性模型)，首先對AR(p)模型的理論作相關分析，包括模型的識別、模型的定階方法、求樣本的自或偏相關函數、模型的參數估計以及模型的預報。再通過引例，用Matlab程序對四川地震震級數據進行

6、分析，先將數據標準化，然后求出其變自相關函數和偏相關函數，再畫出圖像，根據圖像判別相關函數的拖尾、截尾性，最后確定一個具體的AR(p)模型。然后確定階數P,再用矩估計法求出其參數估計值，最后確定AR(p)模型的預報式子，對四川地震震級進行預報，根據所給的數據，對下個時段震級的大小進行預測。關鍵字：自相關函數，偏相關函數，AR(p)模型，平穩時間序列，地震預報18利用平穩時間序列的AR(P)模型的預報1.根本原理 對于一個平穩時間序列預測問題，首先考慮的是尋求與它擬合最好的預測模型。而模型的識別與階數確實定那么是選擇模型的關鍵。本節我們主要研究的是AR(p)模型預報，所以我們得對AR(p)序列作

7、相關分析，討論其理論自相關函數和偏相關函數所具有的特性，從而找到識別模型的方法。1.1 AR(P)模型的定義設為零均值的實平穩時間序列，階數為p的自回歸模型定義為，(1.1) 其中=，=0，s>t.模型1.1簡記為ARp.它是一個動態模型，是時間序列自身回歸的表達式，所以稱自回歸模型。滿足AR(p)模型的隨機序列稱為AR(p)序列,其中，k=1,2,.,p稱為自回歸系數。從白噪聲序列所滿足的條件看出，之間互不相關，且與以前的觀測值也不相關，亦稱為新信息序列，在時間序列分析的預報理論中有重要作用。AR(p)模型的三個限制條件：條件一：。這個限制條件保證了模型的最高階數為p.條件二：=，這個

8、限制條件實際上是要求隨機干擾序列為零均值白噪聲序列。條件三：。這個限制條件說明當期的隨機干擾與過去的序列值無關。為了方便起見，引進延遲算子概念。令.一般有，稱B為一步延遲算子，為k步延遲算子。于是，式子1.1可以寫成 ， 1.2其中 . 1.3對于1.2式的AR(p)模型，假設滿足條件：的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，那么稱此條件為AR(p)模型的平穩性條件.當模型1.2滿足平穩性條件時，存在且一般是B的冪級數，于是1.1式又可以寫成是，稱為逆轉形式.模型1.2可以看做是把相關的變為一個互不相關的的系統。2.問題的分析和求解2.1 模型的識別 AR(p)序列的自相關函數對于零均值的時間

9、序列，因為此時的，所以，即自相關函數與協方差函數相同，記協方差函數為，用除得標準自相關函數=/,簡稱它為自相關函數。所以AR(p)序列的自相關函數計算如下：用乘模型1.11兩邊，再取均值，得，k>0,除以可得，2.1即 ，k>0.令1.21式的k=1,2,.,p，得，寫成矩陣為= 2.22.2式稱為AR(p)序列的自相關函數。AR(p)序列的自相關函數不能在某步之后截尾，而是隨k增大逐漸衰減，但受負指數函數控制.這種特性稱為托尾性。2.1.2 AR(p)模型的偏相關函數從概率論可知，在給定隨機變量W的條件下，隨機變量U與V的聯合條件密度函數為f(u,vw),那么U與V的偏相關函數定

10、義為,類似地，在零均值平穩時間序列中，給定與之間的偏相關函數定義為 (2.3)設是零均值的平穩序列，它滿足AR(k)模型，即 用乘上兩邊，當給定時，取條件期望得=因為k0時，且有,故,k=1,2,. 2.4根據12.3式，顯然即為AR(p)序列的偏相關函數，同時它又是AR(k)模型的最后一個自回歸系數。 為了探討AR(p)序列的偏相關函數的特性，考慮對的最小方差估計，即要求確定，使min 根據AR(p)模型定義，有 =+因為=0j0,故+顯然，要使，應取，這說明AR(p)序列有且由2.4式，即為偏相關函數。當kp時，有=0，換句話說，AR(p)序列的偏相關函數為，0,.,0,即偏相關函數在k步

11、截尾，其截尾的k值就是模型的階數。這是AR(p)序列具有的本質特性。 模型階數確實定 模型的識別，是根據理論自相關函數或偏相關函數是否截尾來判斷的。但是，在實際中，人們所獲得的觀測數據只是一個有限長度N的樣本值由它們算出的樣本自相關函數和樣本偏相關函數只是和的估計值。由于樣本的隨機性，其估計總可能有誤差。對于AR(p)序列，當kp時，可能不會全為零，而是在零附近波動。以下我們討論的是如何用樣本自相關函數和樣本偏相關函數來推斷模型的階。2.2 樣本自相關函數和樣本偏相關函數設有零均值平穩時間序列的一段樣本觀測值樣本協方差函數定義為 ，k=0,1,.,N-1易知，是的無偏估計，但不一定是非負定的，

12、故常用如下估計式代替:,k=0,1,.,N-1 (2.5)同理樣本自相關函數定義為，k=0,1,.,N-1 (2.6)(2.5)式是的有偏估計，但是非負定的。事實上，設當tN或t0時，對于任意的m個實數 有 =0.實際問題中，N一般取得較大不少于50,故2.5式看做是漸近無偏的。由于2.5式的估計誤差隨k增大而增大，一般取kN/4(常取k=N/10左右)由2.6式計算得后，代入2.5式即得的值。2.3 AR(p)模型的參數估計設的擬合模型為此時要估計的參數為和，將Yule-Walker方程寫成矩陣形式：，那么將各參數換成它們的估計，可得= 2.7=-= (2.8)2.7和2.8式是AR(p)模

13、型全部參數的估計公式。2.4 AR(p)模型的預報根據時間觀測數據，建立一個與實際問題相適應的模型后，就可以利用過去和現在的觀測值，對該序列未來時刻的取值進行估計，即預報。2.5 最小方差預報設是零均值平穩序列，并假定它是正態的，令表示用時刻t及t之前的全部觀測數據，即的取值對未來時刻的的取值所作的預報。現在的問題是，要找出一個如下形式的線性函數使預報的均方誤差=4.11這樣的稱為的線性最小方差預報。2.6 AR(p)序列的預報 假設為AR(p)序列，AR(p)序列的最正確預報遞推公式為由此可見，()僅僅依賴于的N時刻以及以前時刻的p個值。這就是說，只要知道這p個時刻的觀測值，無需掌握更多的歷

14、史資料就可以根據上述公式求得任意步的最優預報。因此AR(p)模型的預報計算簡單，正因為AR建模與AR預報的簡單性，它成為預報問題中應用最為廣泛的時序模型。3.計算程序與結果3.1 舉例:地震震級的預測 以下采用的數據是1970年1月1日至1982年12月31日期間的實測的四川地區的地震震級見表1，平均每15天進行1次測量，共有323個數據。本文將利用表中的數據建立該地地震等級的隨機線性模型，并對下幾個時段的震級進行預測。 表格 1 1970年1月1日到1982年12月31日期間四川地區的地震震級實測值4.46.24.74.85.44.24.14.05.54.34.25.54.24.65.95.

15、75.45.04.75.44.24.45.45.44.04.95.24.84.44.64.25.65.65.74.67.94.24.44.05.06.04.84.34.65.56.53.84.03.94.24.74.24.75.85.04.44.04.44.44.24.53.94.34.23.64.04.75.73.77.14.34.04.44.44.25.03.84.24.15.74.85.05.23.94.55.24.74.94.63.94.34.03.93.84.14.34.36.24.84.54.44.24.35.34.93.84.34.44.64.33.63.97.25.04.94.

16、34.14.85.96.74.77.25.15.25.26.75.64.75.14.54.74.64.94.54.16.45.04.14.04.24.14.44.93.94.84.35.14.44.34.74.84.94.44.54.95.14.24.44.34.44.34.14.44.14.24.74.95.45.64.14.74.44.13.54.63.14.34.53.24.93.84.43.73.73.04.03.24.33.53.93.73.03.54.54.23.23.03.35.03.83.13.74.14.04.24.04.33.85.83.84.04.34.33.43.24.

17、03.03.83.23.04.03.33.54.03.74.53.03.53.93.04.03.63.53.83.03.73.73.03.64.03.53.53.54.16.93.83.24.03.64.04.33.03.03.43.73.23.53.85.03.62.44.54.03.43.23.33.73.43.03.04.73.23.53.14.73.13.03.73.24.43.24.23.44.03.54.14.04.14.85.44.94.24.15.24.03.93.93.74.74.04.43.93.84.83.93.93.84.23.94.53.94.14.04.75.23.

18、14.15.03.74.63.14.44.33.2 問題分析首先對數據進行零均值化，將原數據在不改變其自相關函數系數及偏相關函數系數的前提下，化成便于計算的新數據，然后再計算新數據的自相關函數及偏相關函數，并根據所給數據對該數據允許的誤差范圍進行判定，確定其符合的時間序列模型，求出模型中的參數。3.3 模型的求解與其結果 模型的識別程序：z=4.4 6.2 4.7 4.8 5.4 4.2 4.1 4.0 5.5 4.3 4.2 5.5 4.2 4.6 5.9 5.7 5.4 5.0 4.7 5.4 4.2 4.4 5.4 5.4 4.0 4.9 5.2 4.8 4.4 4.6 4.2 5.6

19、5.6 5.7 4.6 7.9 4.2 4.4 4.0 5.0 6.0 4.8 4.3 4.6 5.5 4.1 4.0 4.1 4.8 5.4 4.9 4.2 4.1 5.2 4.0 3.9 3.9 3.7 4.7 4.0 6.5 3.8 4.0 3.9 4.2 4.7 4.2 4.7 5.8 5.0 4.4 4.0 4.4 4.4 4.2 4.5 3.9 4.3 4.2 3.6 4.0 4.7 5.7 3.7 7.1 4.3 4.0 4.4 4.4 4.2 4.4 3.9 3.8 4.8 3.9 3.9 3.8 4.2 3.9 4.5 3.9 4.1 4.0 4.7 5.2 5.0 3.8

20、4.2 4.1 5.7 4.8 5.0 5.2 3.9 4.5 5.2 4.7 4.9 4.6 3.9 4.3 4.0 3.9 3.8 4.1 4.3 4.3 6.2 4.8 4.5 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 3.8 4.3 4.4 4.6 4.3 3.6 3.9 7.2 5.0 4.9 4.3 4.1 4.8 5.9 6.7 4.7 7.2 5.1 5.2 5.2 6.7 5.6 4.7 5.1 4.5 4.7 4.6 4.5 4.9 4.1 6.4 5.0 4.1 4.0 4.2 4.1 4.4 4.9 3.9 4.8 4.3 5.1 4.4 4.3 4.7 4.8 4.9

21、4.4 4.5 4.9 5.1 4.2 4.4 4.3 4.4 4.3 4.1 4.4 4.1 4.2 4.7 4.9 5.4 5.6 4.1 4.7 4.4 4.1 3.5 4.6 3.1 4.3 4.5 3.2 4.9 3.8 4.4 3.7 3.7 3.0 4.0 3.2 4.3 3.5 3.9 3.7 3.0 3.5 4.5 4.2 3.2 3.0 3.3 5.0 3.8 3.1 3.7 4.1 4.0 4.2 4.0 4.3 3.8 5.8 3.8 4.0 4.3 4.3 3.4 3.2 4.0 3.0 3.8 3.2 3.0 4.0 3.3 3.5 4.0 3.7 4.5 3.0

22、3.5 3.9 3.0 4.0 3.6 3.5 3.8 3.0 3.7 3.7 3.0 3.6 4.0 3.5 3.5 3.5 4.1 6.9 3.8 3.2 4.0 3.6 4.0 4.3 3.0 3.0 3.4 3.7 3.2 3.5 3.8 5.0 3.6 2.4 4.5 4.0 3.4 3.2 3.3 3.7 3.4 3.0 3.0 4.7 3.2 3.5 3.1 4.7 3.1 3.0 3.7 3.2 4.4 3.2 4.2 3.4 4.0 3.5 3.1 4.1 5.0 3.7 4.6 3.1 4.4 4.3;>> m=mean(z)m =4.3152for k=1:3

23、23w(k)=z(k)-m;end w 【具體操作程序見附錄A】因為本文中的n=323,所以取k=n/10,所以k=30.ACF=autocorr(w,30)ACF = Columns 1 through 12 1.0000 0.3411 0.3323 0.3181 0.3495 0.3457 0.3064 0.2904 0.2760 0.3595 0.2474 0.2370Columns 13 through 24 0.2536 0.2870 0.2814 0.2688 0.2677 0.2880 0.2545 0.2261 0.1832 0.2499 0.2389 0.1916Column

24、s 25 through 31 0.2318 0.2346 0.1585 0.2189 0.1771 0.1493 0.1906>> autocorr(w,30)，得到以下圖：>>PartialACF=parcorr(w,30)PartialACF = Columns 1 through 12 1.0000 0.3411 0.2447 0.1810 0.1939 0.1600 0.0836 0.0583 0.0376 0.1591 -0.0203 -0.0138 Columns 13 through 24 0.0361 0.0704 0.0579 0.0587 0.06

25、23 0.0862 0.0001 -0.0041 -0.0585 0.0480 0.0209 -0.0359 Columns 25 through 310.0661 0.0567 -0.0822 0.0600 -0.0035 -0.0430 0.0075>> parcorr(w,30),得到以下圖：>> subplot(121);autocorr(w,30) >> subplot(122); parcorr(w,30)得到如下比照圖：由圖中可以看出自相關函數拖尾，偏相關函數截尾，所以該模型是AR(p)模型。 模型階數確實定及程序：【程序見附錄B】 樣本的自相

26、關函數圖形如下：根據算出的樣本偏相關函數可知在k=p=1處截尾，易知當時，平均20個中至多有一個使，那么認為截尾在k=p=5處，所以可以判斷模型為AR(5)模型。 模型的預報公式： 對于AR(5)模型計算參數參數估計值，我們采取矩估計的方法，得到如下估計值：=所以AR(5)模型的預報公式為： 模型預報 由于前面AR(5)模型的預報公式可對以后幾個小時地震等級的值進行預測，利用,可得到以下幾個時段每15天一個時段的地震等級的預測值：.4.預期結果與展望4.1 結論 本文通過對所給的時間序列進行標準化，然后利用Matlab軟件求出其自相關函數和其偏相關函數，并畫出圖形比照，通過觀察圖形，知道了該模

27、型的自相關函數拖尾，而偏相關函數截尾，正好符合我們所研究的AR(p)模型，然后對該模型進行階數確實定以及參數估計，最后給出了該AR(p)模型的預報公式，通過預報公式，我們可以對任何一個時間段的地震震級進行預測。4.2 展望 本文通介紹了AR(p)模型的一些根本公式，通過對四川地震震級的預測數據，我們用軟件做出了標準化后的樣本的自相關函數與偏相關函數圖，通過圖像我們了解了該模型是哪類模型，通過平穩時間序列的分析，我們就能對各個時間段進行預報，并且通過建立模型使預報更簡單。平穩時間序列的預測模型可以應用到好多領域，例如股票市場行情的預報、期貨市場的預報以及我們最熟悉的天氣預報，這些平穩時間序列的模

28、型對我們預測未來的開展趨勢起到了決定性作用。參考文獻1何書元.應用時間序列分析.北京大學出版社.2003.92張善文，雷英杰，馮有前.MATLAB在時間序列分析中的應用.西 安電子科技大學出版社.2007.43劉次華.隨機過程.華中科技大學出版社.2021.84陽明盛，熊西文，林建華.MATLAB根底及數學軟件.大連理工大學出版社.20035吳懷宇.時間序列分析與綜合.武漢大學出版社.2004.126邊馥萍，侯文華，梁馮珍.數學建模方法與算法.高等教育出版社.2005.57王燕.應用時間序列分析.中國人民大學出版社.附錄A.平穩時間序列的標準化程序：for k=1:323w(k)=z(k)-m

29、;end>> ww =Columns 1 through 12 0.0848 1.8848 0.3848 0.4848 1.0848 -0.1152 -0.2152 -0.3152 1.1848 -0.0152 -0.1152 1.1848Columns 13 through 24 -0.1152 0.2848 1.5848 1.3848 1.0848 0.6848 0.3848 1.0848 -0.1152 0.0848 1.0848 1.0848Columns 25 through 36 -0.3152 0.5848 0.8848 0.4848 0.0848 0.2848 -0

30、.1152 1.2848 1.2848 1.3848 0.2848 3.5848Columns 37 through 48 -0.1152 0.0848 -0.3152 0.6848 1.6848 0.4848 -0.0152 0.2848 1.1848 -0.2152 -0.3152 -0.2152Columns 49 through 60 0.4848 1.0848 0.5848 -0.1152 -0.2152 0.8848 -0.3152 -0.4152 -0.4152 -0.6152 0.3848 -0.3152Columns 61 through 72 2.1848 -0.5152

31、-0.3152 -0.4152 -0.1152 0.3848 -0.1152 0.3848 1.4848 0.6848 0.0848 -0.3152Columns 73 through 84 0.0848 0.0848 -0.1152 0.1848 -0.4152 -0.0152 -0.1152 -0.7152 -0.3152 0.3848 1.3848 -0.6152Columns 85 through 96 2.7848 -0.0152 -0.3152 0.0848 0.0848 -0.1152 0.0848 -0.4152 -0.5152 0.4848 -0.4152 -0.4152Co

32、lumns 97 through 108 -0.5152 -0.1152 -0.4152 0.1848 -0.4152 -0.2152 -0.3152 0.3848 0.8848 0.6848 -0.5152 -0.1152Columns 109 through 120 -0.2152 1.3848 0.4848 0.6848 0.8848 -0.4152 0.1848 0.8848 0.3848 0.5848 0.2848 -0.4152Columns 121 through 132 -0.0152 -0.3152 -0.4152 -0.5152 -0.2152 -0.0152 -0.015

33、2 1.8848 0.4848 0.1848 0.0848 -0.1152Columns 133 through 144 -0.0152 0.9848 0.5848 -0.5152 -0.0152 0.0848 0.2848 -0.0152 -0.7152 -0.4152 2.8848 0.6848Columns 145 through 156 0.5848 -0.0152 -0.2152 0.4848 1.5848 2.3848 0.3848 2.8848 0.7848 0.8848 0.8848 2.3848Columns 157 through 168 1.2848 0.3848 0.7

34、848 0.1848 0.3848 0.2848 0.1848 0.5848 -0.2152 2.0848 0.6848 -0.2152Columns 169 through 180 -0.3152 -0.1152 -0.2152 0.0848 0.5848 -0.4152 0.4848 -0.0152 0.7848 0.0848 -0.0152 0.3848Columns 181 through 192 0.4848 0.5848 0.0848 0.1848 0.5848 0.7848 -0.1152 0.0848 -0.0152 0.0848 -0.0152 -0.2152Columns

35、193 through 204 0.0848 -0.2152 -0.1152 0.3848 0.5848 1.0848 1.2848 -0.2152 0.3848 0.0848 -0.2152 -0.8152Columns 205 through 216 0.2848 -1.2152 -0.0152 0.1848 -1.1152 0.5848 -0.5152 0.0848 -0.6152 -0.6152 -1.3152 -0.3152Columns 217 through 228 -1.1152 -0.0152 -0.8152 -0.4152 -0.6152 -1.3152 -0.8152 0

36、.1848 -0.1152 -1.1152 -1.3152 -1.0152Columns 229 through 240 0.6848 -0.5152 -1.2152 -0.6152 -0.2152 -0.3152 -0.1152 -0.3152 -0.0152 -0.5152 1.4848 -0.5152Columns 241 through 252 -0.3152 -0.0152 -0.0152 -0.9152 -1.1152 -0.3152 -1.3152 -0.5152 -1.1152 -1.3152 -0.3152 -1.0152Columns 253 through 264 -0.8152 -0.3152 -0.6152 0.1848 -1.3152 -0.8152 -0.4152 -1.3152 -0.31