1、http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法1一、利用極坐標系一、利用極坐標系計算二重積分計算二重積分二、小結二、小結第二節第二節 二重積分的計算法二重積分的計算法(2)http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法2D rdrr drddrr 2221)(21 ddrddrr2)(21 ddrr Ddyxf ),(一、利用極坐標計算二重積分一、利用極坐標計算二重積分 d d Ao.)sin,cos( Ddrdrrrf 極坐標下的極坐標下的面積元素面積元素)( ddro rdrdd drrddr http:/mooker.80.hk二重積分的計算法

2、二重積分的計算法3.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式(1)區域特征如圖區域特征如圖(極點在區域外極點在區域外), ).()(21 r Ddyxf ),(.)sin,cos( Ddrdrrrf o AD)(2 r)(1 rhttp:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法4AoD)( r.)sin,cos()(0 rdrrrfd(2)區域特征如圖區域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(極點在區域邊界上極點在區域邊界上)DA

3、O )( rhttp:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法5 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標系下區域的面積極坐標系下區域的面積. Drdrd (3)區域特征如圖區域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0(極點在區域內部極點在區域內部) 注注一般一般,在極坐標系下計算在極坐標系下計算:積分積分再對再對先對先對 rhttp:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法6思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)

4、(rDoyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(二重積分的計算法二重積分的計算法http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法77直角坐標系與極坐標系中直角坐標系與極坐標系中圓的方程圓的方程直角坐標直角坐標)0( a極坐標極坐標222ayx a ,)(222ayax .222axyx cos2a ).22( ).20( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxyaa2 http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法88 ,)(222ayax .222axyx cos2a ).232( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxya a2 ,)

5、(222aayx .222ayyx sin2a ).0( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxya2a http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法99 ,)(222aayx .222ayyx sin2a ).2( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxy a2 a http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法101.當區域是圓或圓的一部分當區域是圓或圓的一部分,或者區域或者區域D的的邊界方程用極坐標表示較簡單邊界方程用極坐標表示較簡單.何時采用極坐標系來計算何時采用極坐標系來計算? ?2.當被積函數為當被積函數為)(),(),(22xyfyxfyxf 等

6、形式等形式.http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法11解解在極坐標系下在極坐標系下 sincosryrx例例 寫出積分寫出積分的的極坐標二次積分極坐標二次積分 Dyxyxfdd),(其中積分區域其中積分區域形式形式,10 ,11),(2 xxyxyxDyxO11122 yx1 yxD 122yx 1yx Dyxyxfdd),( rrrrfd)sin,cos(d 1 cossin1 02 http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法12計算計算,dd)(22yxyxD 為由圓為由圓其中其中D所圍成的平面閉區域所圍成的平面閉區域.例例yyxyy

7、x4,22222 及直線及直線, 03 yx03 xy03 yx解解03 xyxOyyyx222 yyx422 32 61 sin4 r sin2 ryxyxDdd)(22 rrrdd2 )32(15 sin4 sin26 3 http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法13解解在極坐標系下在極坐標系下dxdyeDyx 22 arrdred0202 ).1(42ae 例例 計算計算,dd22yxeDyx 其中其中D:,222ayx . 0, 0 yxaDyxO:D,20 ar 0注注: 利用例利用例2可得到一個在概率論與數理統計及工程上可得到一個在概率論與數理統計及工程

8、上非常有用的反常積分公式非常有用的反常積分公式2d02 xexhttp:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法14解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2二重積分的計算法二重積分的計算法http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法15 Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re yxeDyxdd22 )1(2ae 222:ayx

9、D 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4 Ryye0d2 二重積分的計算法二重積分的計算法0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD對稱性對稱性質質0 ,0| ),(RyRxyxS http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法16,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 概率積分概率積分夾逼定理夾逼定理,時時當當 R,時時故當故當 R即即4)d(202 Rxxe所求反常積分所求反常積分2d02 xex),

10、1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI二重積分的計算法二重積分的計算法http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法17)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA,雙紐線雙紐線求曲線求曲線)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.(如圖）如圖）例例解解在極坐標系下在極坐標系下1DxyOA)33(2 a Dyxdd 2cos20dd46aarr yxdd41D面積面積http:/mooker.80.hk二

11、重積分的計算法二重積分的計算法184因被積函數因被積函數422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD極坐標極坐標 計算計算16:22 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在積分域內變號在積分域內變號.2xoyD1http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法19例例 求球體求球體22224azyx 被圓柱面被圓柱面xayx222 )0( a所截得的所截得的(含在柱面內的含在柱面內的)立體的體積立體的體積. 解解 由對稱性可知只需求第一卦限由對稱性可知只需求第一卦限部分體積部分體積

12、V1, DyxyxaVdd44222xzoy2a14VV 被積函數被積函數( (曲頂曲頂) )為為: :)(4),(222yxayxfz 積分區域積分區域( (底底) )為為: :0,2:22 yaxyxD.cos20 ,20: arD Drrra dd4422http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法20 DrrraV dd4422 20d4 cos2022d4arrra d)sin1(3322033 a)322(3323 axzoy2a0,2:22 yaxyxD.cos20 ,20: arD http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法21

13、0.811.521D2DR DyxdxdyeI)(22 Drrdrde 2 Rrrdred02/4/2 Rre0)21(42 )1(82Re 例例 將累次積分：將累次積分： 22222202200yRxRRyRyxydxedyedxedye化為極坐標下的累次積分，并計算化為極坐標下的累次積分，并計算. .解解，很明顯很明顯21DDD http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法22二重積分計算步驟及注意事項二重積分計算步驟及注意事項 畫出積分域畫出積分域 選擇坐標系選擇坐標系 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計算要簡便：

14、計算要簡便：積分域分塊要少積分域分塊要少累次積好算為妙累次積好算為妙圖示法圖示法不等式不等式( 先積一條線先積一條線, 后掃積分域后掃積分域 )充分利用對稱性充分利用對稱性http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法23 二重積分的計算規律二重積分的計算規律再確定再確定交換積分次交換積分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序寫出積分域先依給定的積分次序寫出積分域D的的不等式不等式, 并畫并畫D的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數為如被積函數為圓環域時圓環域時,或積分域為或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arc

15、tanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標計算則用極坐標計算;二重積分的計算法二重積分的計算法http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法24 3. 注意利用對稱性質注意利用對稱性質,數中的絕對值符號數中的絕對值符號.以便簡化計算以便簡化計算;4. 被積函數中含有絕對值符號時被積函數中含有絕對值符號時, 應應將積分域分割成幾個子域將積分域分割成幾個子域, 使被積函數在使被積函數在每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函二重積分的計算法二重積分的計算法http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法25二重積分在

16、極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）二、小結二、小結 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法26oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d 將將直角坐標系直角坐標系下累次積分下累次積分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化為化為極坐標系極坐標系下的下的累次積分累次積分.原式原式=2 r21

17、 r1練習練習http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法27.22| ),(,22xyxyxDxdxdyID 其中其中計算計算yxo解解.)1, 1(一象限的交點為一象限的交點為易知此二圓周在第易知此二圓周在第,40:1 D 222 yxxyx222 .cos22 rI是偶函數，是偶函數，關于關于軸對稱軸對稱關于關于yxyxfxD ),(,1D)1 , 1(A cos2240cos2rdrrd.2 練習練習http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法28 三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 .sin,cosryrx間的關系為間的關系為坐標

18、與極坐標之坐標與極坐標之平面上同一個點，直角平面上同一個點，直角的一種變換，的一種變換，坐標平面坐標平面到直角到直角平面平面上式可看成是從極坐標上式可看成是從極坐標xoyro 換是一對一的換是一對一的，且這種變，且這種變平面上的一點平面上的一點成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點面上的一點平平即對于即對于),(),(yxMxoyrMro http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法29.),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDD

19、vuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續偏導數上具有一階連續偏導數在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變為變為平面上的閉區域平面上的閉區域將將連續，變換連續，變換上上平面上的閉區域平面上的閉區域在在設設定理定理http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法30例例解解所圍成的閉區域所圍成的閉區域線線軸和直軸和直軸、軸、由由其中其中計算計算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 則則,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即http:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法31),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 eehttp:/mooker.80.hk二重積分的計算法二重積分的計算法32例例解解所圍成的閉區域所圍成的閉區域橢圓橢圓為為其中其中計算計算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,co