1、微積分基本公式與不定積分微積分基本公式與不定積分第二節第二節三、微積分基本公式三、微積分基本公式 二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數 一、一、原函數與不定積分的概念原函數與不定積分的概念 第四四章 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數數. )0(1ln xxxxln是是x1在區間在區間), 0( 內的原函數內的原函數.如果在區間如果在區間I內，內，定義定義1可可導導函函數數)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數數)(xF就就稱稱為為)(xf一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念原函數存

2、在定理：原函數存在定理：簡言之：簡言之：連續函數一定有原函數連續函數一定有原函數.問題：問題：(1) 原函數是否唯一？原函數是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數）為任意常數）C那那么么在在區區間間I內內存存在在可可導導函函數數)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯系？若不唯一它們之間有什么聯系？關于原函數的說明：關于原函數的說明：（1）若若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數數.（2）若若 和和 都是都是 的原函數，的原函數，)(xF)(xG)(xf

3、則則CxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數定義定義2：在在區區間間I內內，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數數)(xf的的帶帶有有任任意意常數項的原函數常數項的原函數不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .例例1 1 (1)求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解(2)(2) 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx由不定積分的定義，

4、可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結論：結論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出積分公式.)1( 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數是常數););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx

5、說明：說明： xxx1)(ln, 0,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx(P190) dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 注意：注意：以上公式是求不定積分的基礎，以上公式是求不定積分的基礎，

6、必須熟記必須熟記！(14)shxdxchxC ；(15)chxdxshxC 此性質可推廣到有限多個函數之和的情況此性質可推廣到有限多個函數之和的情況性質性質2.32.3（ 線性性質）線性性質） 不定積分的運算性質12其其中中為為不不全全為為零零的的常常數數(,)kk12( )( )k f xk g x dx 12( )( )kf x dxkg x dx 例例2 求求1 xxdx （ ）（ ）2(3)2.xdxx 1xxdx （ ）32x dx 5225xC 解解（ ）2(3)692(1)xdxdxxxx .ln912Cxxx 例例2 (3) 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)2

7、5)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C221(1) (1)xxdxxx 2221xdxx （ ）211 ()1dxxx ln| |arctanxxC21(1)1dxx arctanxxC解解421xdxx 42111xdxx 思考思考22111 xdxx（）3arctanxxxC1 13 32211(1)xxdxxx （ ）例例3 求求2221xdxx （ ）例例4 求求解解21tan xdx （ ）21tan xdx （ ）22sin2xdx （ ）2sin2xdx （2 2）2(sec1)xdx tan xxC1(1cos )2x dx 1(sin)2xxC

8、 2213sincosdxxx （）221(3) sincosdxxx 2211()sincosdxxx cottanxxC 2212sincos22dxxx （ ）22cos21sincosxdxxx （）思考思考 求求 這種利用這種利用恒等變形恒等變形、積分性質積分性質及及基本積分公式基本積分公式進行積分的方法叫作進行積分的方法叫作直接積分法直接積分法。不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義: :)(xf的原函數的圖形稱為的原函數的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族. .yxo0 x的積分曲線積分曲線 . 橫坐標相同點

9、處的切線斜率相同橫坐標相同點處的切線斜率相同.例例5 5 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據題意知根據題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數的一個原函數.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy 設函數設函數)(xf在區間在區間,ba上連續，并且設上連續，并且設x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察定積分考察定

10、積分 xadttf)(記記,.)()(baxdttfxxa積分上限的函數積分上限的函數 如如果果上上限限x在在區區間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數，二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數（或變上限的定積分）（或變上限的定積分）)(xfy xbaoyxxx 證明證明: :若若（）,xa b 則有則有( )()( )xxxxxx x ( )d( )xxxaaf ttf t dt ( )xxxf t dtx ( )f 在在 與與之之間間()xxx li

11、m( )xf ( )f x 積積分分中中值值定定理理當當時時，xx ( )x ()( )limxxxxx lim( )xf 如如果果)(xf在在, ba上上連連續續， 定理定理2.42.4 )()()(xfdttfdxdxxa ，)(bxa ( )x 當當或或 時時 同同理理可可證證,.xab （積分上限函數的導數）（積分上限函數的導數）定理定理2.4 （積分上限函數的導數）（積分上限函數的導數）定理的重要意義：定理的重要意義：1、揭示了揭示了2、定積分與原函數之間的定積分與原函數之間的聯系聯系.注意注意:(1) 法則適用的條件法則適用的條件:( )( )f t dtf x dx被被積積表表達

12、達式式必必須須是是“”或或“”,.)sin(0baxdttxdxdx計計算算例如：例如：解：解：, txu令令,uxt則則duudttxxx00sin)sin(則則duux0sinxxududxddttxdxd00sin)sin(.sinx為為內內層層函函數數的的復復合合可可以以看看作作一一個個以以)(d)()(xttfxa 函函數數，即即).(,)()(xudttfuua 復復合合結結構構為為則則知知，則則由由復復合合函函數數的的求求導導法法dxduttfudxduduudttfxuaxa d)(dd)(d)(dd)( ).()()()(xxfxuf ?d)(dd)( xattfx 思考：思

13、考：證：證：)()(d)(dd)(xxfttfxxa推廣：推廣： (1)(1)()(d)(dd)(xxfttfxbx(2)(2) 如如果果)(tf連連續續，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數數)(xF 為為推廣：推廣： )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF(3)(3)例例632(1)xtade dtdx 2sin(3)ln(2)xxdtdtdx 0(5)( )xd

14、xf t dtdx 623xx eln(sin2)x cosx22 ln(2)xx0( )( )xf t dtxf x 0 ( )xdx f t dtdx 0( )xxf t dt （）設設，求求20(4)cos(0),()xyt dtyy (0)cos01, ()cos1yy 02(2)1xdt dtdx 21x 2( )cosy xx 所確定的函數所確定的函數求由方程求由方程1sin2210 dtttdtexyt.)(dxdyxfy的導數的導數 解解求導得求導得方程兩邊關于方程兩邊關于 x，02sin222 xxxdxdyey.sin222yexxdxdy 例例7 積分上限函數求導公式的應

15、用舉例積分上限函數求導公式的應用舉例 21222coscoscostduuuttytx，設設222dyd ytdxdx 求求及及在在處處的的值值解解2( )2 sinx ttt ，tdxdy ，因此因此22 dxdy例例8 222221( )cos2sincos22y ttttttt ，22sin2tt 22d ydx.21222 dxyd(0)t dydtdtdx 212 sintt ，例例9 9 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xe

16、xxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用型不定式，應用洛必達法則洛必達法則.例例10.10. 確定常數確定常數 a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c證法一：證法一： xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)

17、()()()(200 xxdttfdttftxxf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內內為為單單調調增增加加函函數數.證法二：證法二：2000)()()()()()( xxxdttfdttftxfdttfxfxxF，200)()()()( xxdttfdttftxxf( )0(0).Fxx ，再由再由積分中值定理積分中值定理，得，得( )(0,)F x 故故在在內內為為單單調調增增加加函函數數. .)., 0(,

18、 0)()()()(0 xfxxdttftxx證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf又又)(xF在在1 , 0上上為為單單調調增增加加函函數數., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令上上連連續續，且且在在顯顯然然1 , 0)(xF. 0)(0,1), F使使則則由由零零點點定定理理可可知知定理定理2.52.5三、微積分基本公式（牛頓三、微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）萊布尼茨公式）( )= ( )|( )( )bbaaf x dx

19、F xF bF a ( (N NL L公式公式) )上上的的一一個個在在區區間間是是連連續續函函數數設設,)()(baxfxF原原函函數數，那那么么)()()(aFbFdxxfba ( (微積分基本公式微積分基本公式) ) ( )baF x注注(1)(1)揭揭示示了了定定積積分分與與原原函函數數的的聯聯系系ab (2)(2)公公式式對對“”也也成成立立. .提提供供了了求求定定積積分分的的一一個個簡簡便便的的算算法法. .解解例例13120(1) x dx 20(3) 1sin xdx 121(2) dxx 120(1) x dx 1301 3x1 =3121(2) dxx 12 ln| | x =- ln 220(3) 1sin xdx 0 |cos|x dx 202 coscosxdxxdx 202 sinsinxx 2 例例14 設設 ，求，求 . 215102)(xxxxf， 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx.6 xyo12120 = 5x xdttfxFxxxxxf02)()(2110)(，求求，設設解解時，時，當當10 x xdttfxF0)()(，331x 例例15 0,2在在上上的的表表達達式式并并討討論論其其連連續續性性 xdtt02